Question 01 : Équation de fonctions (EXETAT 2012 – 2013)

On donne deux fonctions réelles f et g définies respectivement par f(x) = x – 2 et g(x) = (x^2 – 4) / (x + 1). L’équation f(x) = g(x) admet :

Deux solutions réelles dont l’une est nulle.
Deux solutions distinctes négatives.
Une solution nulle.
Une solution réelle négative.
Deux solutions réelles confondues.
Aucune bonne réponse.

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🔍 Diagnostic Immédiat : On cherche à résoudre une égalité entre une fonction affine et une fonction rationnelle. Le but est d’isoler x pour trouver le nombre et la nature des racines de l’équation.

📚 Rappel Théorique : Pour résoudre f(x) = g(x), on pose l’égalité et on cherche les valeurs de x qui annulent la différence. Attention au domaine de définition : x doit être différent de -1.

🛠️ Résolution « Pas à Pas » :

On pose l’équation : x – 2 = (x^2 – 4) / (x + 1)
On remarque que x^2 – 4 est une identité remarquable : (x – 2)(x + 2)
L’équation devient : x – 2 = [(x – 2)(x + 2)] / (x + 1)
Si x est différent de 2, on peut simplifier par (x – 2) : 1 = (x + 2) / (x + 1)
Cela donne : x + 1 = x + 2, ce qui est impossible (1 = 2).
La seule solution possible est donc la valeur qui rend la simplification impossible : x = 2.
Vérification : f(2) = 2 – 2 = 0 et g(2) = (4 – 4) / (2 + 1) = 0. C’est validé.
Puisque x=2 est la seule solution et qu’elle n’est pas nulle, la réponse correcte est l’option 6.

🚀 Analyse des Pièges : Le piège ici est de vouloir tout multiplier par (x+1) sans voir la simplification par (x-2). Si tu ne simplifies pas, tu obtiens une équation du second degré dont 2 est la seule racine valable.

🎯 Stratégie Exétat : Repère toujours les identités remarquables (a^2 – b^2) au numérateur. Elles sont là pour te simplifier la vie et gagner du temps !

Question 13 : Logarithmes et puissances (EXETAT)

La valeur de x satisfaisant l’équation log2(x) + log2(x – 2) = 3 est :

4
-2
2
4 et -2
8

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🔍 Diagnostic Immédiat : Équation logarithmique simple. On doit transformer la somme de logs en un seul log pour libérer x.

📚 Rappel Théorique : log(A) + log(B) = log(A * B). Et log_b(Y) = X signifie Y = b^X. Condition impérative : A > 0 et B > 0.

🛠️ Résolution « Pas à Pas » :

Condition de validité : x > 0 et x – 2 > 0 => x > 2.
L’équation devient : log2(x(x – 2)) = 3.
Passage à la puissance : x(x – 2) = 2^3 = 8.
x^2 – 2x – 8 = 0.
Racines : (x – 4)(x + 2) = 0 => x = 4 ou x = -2.
On vérifie la condition x > 2 : Seul x = 4 est valable. La réponse correcte est l’option 1.

🚀 Analyse des Pièges : Le distracteur « 4 et -2 » (option 4) est là pour ceux qui oublient que le logarithme d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels. Toujours poser le domaine d’abord !

🎯 Stratégie Exétat : En math, on ne commence jamais un log sans vérifier si x a le droit d’exister. C’est ton assurance-vie pour éviter les fausses solutions.

Question 19 : Géométrie Analytique – Cercle (EXETAT)

L’équation du cercle de centre C(2, -1) et de rayon R = 3 est :

x^2 + y^2 – 4x + 2y – 4 = 0
x^2 + y^2 + 4x – 2y – 4 = 0
x^2 + y^2 – 4x + 2y + 4 = 0
x^2 + y^2 – 2x + 4y – 4 = 0
x^2 + y^2 = 9

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🔍 Diagnostic Immédiat : Passage de la forme canonique à la forme générale d’une équation de cercle.

📚 Rappel Théorique : Forme canonique : (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2, où (a, b) est le centre.

🛠️ Résolution « Pas à Pas » :

On remplace : (x – 2)^2 + (y – (-1))^2 = 3^2.
(x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 9.
Développement : (x^2 – 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 9.
On regroupe : x^2 + y^2 – 4x + 2y + 5 = 9.
On égalise à zéro : x^2 + y^2 – 4x + 2y – 4 = 0. La réponse correcte est l’option 1.

🚀 Analyse des Pièges : Les signes sont les pires ennemis ici. (x – 2) devient -4x, mais (y + 1) devient +2y. Une petite erreur de signe et tu choisis l’option 2 ou 3 par mégarde.

🎯 Stratégie Exétat : Centre (a, b) positif ? Alors dans l’équation tu auras -2ax. Signes opposés ! C’est le moyen mémo-technique infaillible.

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