COURS DE CALCULS PROFESSIONNELS (THÉORÈMES ET PENTES), 2ÈME ANNÉE, OPTION PLOMBERIE

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC

Préliminaires

Objectifs Pédagogiques Généraux

Ce manuel vise à doter l’apprenant des compétences mathématiques appliquées indispensables à l’exercice du métier d’installateur sanitaire. L’objectif consiste à transformer des concepts géométriques abstraits en outils concrets pour le dimensionnement, la coupe et l’assemblage de tuyauteries. À l’issue de ce cours, l’élève maîtrisera le calcul précis des dévoiements, l’établissement des pentes d’écoulement conformes aux normes d’hygiène et la détermination des volumes pour les réservoirs et fosses septiques. Ces compétences garantissent la réalisation d’ouvrages fonctionnels, durables et économes en matériaux.

Consignes de Sécurité et Précision

La rigueur dans les calculs constitue la première barrière de sécurité sur un chantier. Une erreur de dimensionnement ou de pente peut entraîner des ruptures de canalisations, des inondations ou des effondrements de structures de soutènement. L’usage de la calculatrice scientifique et la vérification systématique des résultats par des méthodes graphiques ou empiriques sont impératifs. Le respect des unités de mesure du Système International (SI) prévient les confusions coûteuses lors de l’approvisionnement en matériaux à Kinshasa comme à Lubumbashi.

Matériel Didactique Requis

L’apprentissage nécessite un équipement spécifique pour lier la théorie à la pratique :

• Calculatrice scientifique non programmable.
• Instruments de traçage (règle, équerre, compas, rapporteur).
• Instruments de mesure de chantier (mètre ruban, niveau à bulle, fil à plomb, niveau laser).
• Tables de conversion d’unités et abaques de pertes de charge.
• Cahier de calcul quadrillé pour les croquis cotés.

Méthodologie et Évaluation

L’approche pédagogique privilégie la résolution de problèmes issus de situations réelles rencontrées sur les chantiers congolais. Les exercices intègrent des contraintes de terrain, telles que les dénivelés accidentés du quartier Kyeshero à Goma ou les nappes phréatiques superficielles de la commune de Limete. L’évaluation se fonde sur la justesse des résultats numériques, la logique du raisonnement mathématique et la capacité à interpréter un plan d’installation sanitaire.

Partie I : Géométrie Fondamentale Appliquée à la Tuyauterie

Cette première partie établit les fondations mathématiques nécessaires à la compréhension spatiale des réseaux de plomberie. Elle explore les relations entre les distances et les angles, permettant au futur technicien de naviguer avec précision dans les trois dimensions d’un bâtiment, du sous-sol aux colonnes montantes.

Chapitre 1 : Le Théorème de Pythagore en Plomberie 📐

Ce chapitre traite de l’outil mathématique le plus sollicité dans le calcul des dévoiements et des changements de direction à 90 degrés.

1.1. Définition et Principe du Triangle Rectangle

Le théorème de Pythagore établit une relation immuable entre les côtés d’un triangle rectangle. Dans le contexte de la plomberie, ce triangle représente l’espace physique où une tuyauterie doit changer d’axe. L’hypoténuse correspond à la longueur réelle du tuyau de dévoiement (la « baïonnette »), tandis que les côtés adjacents représentent le décalage (l’écartement) et l’avancement. La maîtrise de ce principe permet de préfabriquer des pièces de raccordement avec une exactitude millimétrique avant même leur présentation sur le site d’installation.

1.2. Calcul de l’Hypoténuse pour les Dévoiements

Le calcul de l’hypoténuse détermine la longueur de coupe précise pour connecter deux conduites parallèles décalées. Cette compétence est cruciale lors du contournement d’obstacles structurels comme des poutres en béton armé ou des gaines de ventilation. L’application de la formule  permet d’obtenir la mesure exacte axe-à-axe. L’ajustement de cette mesure théorique en soustrayant les emboîtements des raccords garantit un assemblage sans contrainte mécanique.

1.3. Détermination des Cathètes et Vérification d’Équerrage

La capacité à calculer la longueur d’un côté de l’angle droit connaissant l’hypoténuse et l’autre côté sert à vérifier l’implantation des murs et des appareils sanitaires. Sur un chantier de construction à Kisangani, où les angles des maçonneries peuvent être imprécis, le plombier utilise la règle du « 3-4-5 » (basée sur Pythagore) pour rétablir des angles parfaits de 90 degrés. Cette opération assure que les baignoires et les receveurs de douche s’insèrent correctement dans les coins des salles d’eau.

1.4. Application aux Diagonales de Pièces Carrées et Rectangulaires

Le calcul des diagonales permet le centrage rapide des réseaux d’évacuation et de distribution dans un local technique. Lors de la pose de collecteurs suspendus au plafond, la vérification de l’égalité des diagonales garantit le parallélisme des conduites par rapport aux murs. Cette méthode est indispensable pour l’implantation précise des attentes de sol avant le coulage de la dalle de béton, évitant ainsi des travaux de piquage ultérieurs coûteux et destructeurs.

Chapitre 2 : Les Théorèmes de Thalès et d’Euclide 🏗️

Ce chapitre aborde les lois de la proportionnalité et des relations métriques, essentielles pour le calcul des pentes progressives et la réduction d’échelles sur les plans.

2.1. Principes de Proportionnalité de Thalès

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs inconnues dans des configurations de lignes parallèles coupées par des sécantes. En plomberie, ce principe s’applique directement au calcul des dimensions sur des plans à échelle réduite par rapport à la réalité. Il sert également à déterminer les hauteurs de passage des tuyauteries sous des rampes d’escalier ou des toitures inclinées, assurant le respect des hauteurs sous plafond réglementaires.

2.2. Calcul des Hauteurs et Distances dans les Réseaux Ramifiés

L’application de Thalès facilite la répartition équitable des pentes sur des collecteurs horizontaux de grande longueur comportant plusieurs piquages verticaux. Dans les grands édifices publics comme les hôpitaux, cela permet de calculer l’élévation exacte de chaque culotte de raccordement pour maintenir une pente constante. Cette technique assure un écoulement gravitaire uniforme et prévient les zones de stagnation propices au développement bactérien.

2.3. Relations Métriques dans le Triangle Rectangle (Euclide)

Le théorème d’Euclide offre des relations supplémentaires entre la hauteur, les segments de l’hypoténuse et les cathètes. Ces formules sont utiles pour résoudre des problèmes complexes d’implantation où certaines mesures sont inaccessibles directement, par exemple lors de travaux de rénovation dans des vides sanitaires exigus. Elles permettent de déduire des dimensions critiques à partir de mesures partielles prises sur le terrain.

2.4. Division de Segments et Interpolation de Niveaux

La division géométrique d’un segment en parties égales, issue des principes de Thalès, est utilisée pour positionner régulièrement des colliers de fixation sur une conduite verticale ou horizontale. Cette méthode garantit une répartition uniforme de la charge de la tuyauterie sur le support (mur en briques cuites ou blocs de ciment). L’interpolation permet également de calculer les niveaux intermédiaires entre deux points de référence altimétrique donnés par le géomètre.

Chapitre 3 : Géométrie Circulaire, Angles et Arcs ⭕

Ce chapitre se concentre sur les éléments circulaires, omniprésents en plomberie à travers les tuyaux, les réservoirs et les opérations de cintrage.

3.1. Mesure et Conversion des Angles

La manipulation précise des angles est indispensable pour la réalisation de changements de direction autres que 90 degrés (coudes au 1/8, 1/16). L’apprenant doit maîtriser la conversion entre les degrés sexagésimaux, les grades et les radians, ainsi que l’usage du rapporteur d’angle. Cette compétence est sollicitée lors de la fabrication de pièces de forme sur mesure en acier galvanisé ou lors de l’assemblage de raccords PVC à angles spécifiques (15°, 30°, 45°, 67°30′, 87°30′).

3.2. Calcul de la Longueur d’Arc pour le Cintrage

Le cintrage des tubes en cuivre ou en acier nécessite le calcul préalable de la longueur de tube « consommée » dans la courbe. La formule de la longueur d’un arc de cercle () permet de déterminer la position exacte des repères de début et de fin de cintrage. Une maîtrise de ce calcul évite le gaspillage de tubes onéreux et assure que la pièce cintrée s’insère parfaitement entre deux points fixes, comme entre une chaudière et un mur.

3.3. Périmètres et Surfaces des Sections Circulaires

Le calcul du périmètre (circonférence) est nécessaire pour déterminer la longueur de l’isolant thermique à enrouler autour d’une conduite ou pour tracer le développement d’une tôle destinée à former une virole. Le calcul de la surface de la section transversale () est la base fondamentale du dimensionnement hydraulique. Il permet de vérifier si la section de passage est suffisante pour le débit d’eau requis, influençant directement la vitesse d’écoulement et la pression.

3.4. Volumes Cylindriques et Capacité des Réservoirs

La détermination du volume des cylindres est essentielle pour calculer la capacité des chauffe-eau, des citernes de stockage d’eau potable et des fosses septiques circulaires. En connaissant le volume d’eau stocké, le technicien peut évaluer le poids total de l’installation en charge (1 litre d’eau = 1 kg) et dimensionner les supports et les socles en béton en conséquence. Cela est particulièrement pertinent pour les installations de châteaux d’eau domestiques fréquents dans les villes comme Mbuji-Mayi.

Partie II : Étude des Pentes et Inclinaisons Sanitaires

Cette partie traite de la dynamique des fluides par gravité. Elle définit les règles mathématiques régissant l’écoulement des eaux usées et pluviales, garantissant l’autocurage des conduites et la stabilité des ouvrages de maçonnerie associés.

Chapitre 4 : Notions Fondamentales de Pente et Rampe 📉

Ce chapitre définit les concepts physiques et mathématiques de l’inclinaison, distinguant les pentes fonctionnelles des rampes d’accès.

4.1. Définitions et Distinction Pente/Rampe

La pente désigne l’inclinaison donnée à une canalisation pour permettre l’écoulement des liquides sous l’effet de la gravité. La rampe se réfère généralement à une surface inclinée destinée au déplacement ou à l’accès. En plomberie, la confusion entre les deux peut mener à des erreurs d’interprétation des plans d’architecte. Une définition claire permet de distinguer l’inclinaison du radier d’une canalisation de l’inclinaison du terrain naturel ou d’une voie d’accès carrossable.

4.2. Expression des Pentes : Pourcentage, Degrés, mm/m

La pente s’exprime selon plusieurs unités qu’il convient de savoir convertir. Le pourcentage (%) est l’unité la plus courante sur les plans de bâtiment (ex: 2%). La valeur en millimètres par mètre (mm/m) est la plus pratique pour l’exécution sur chantier (ex: 2 cm/m). La conversion fluide entre ces unités permet au plombier de traduire une instruction de plan (1.5%) en une lecture directe sur son niveau ou son mètre pliant lors de la pose des colliers de fixation.

4.3. Pentes Minimales et Maximales selon les Matériaux

Chaque type de fluide et de matériau impose des limites de pente. Une pente trop faible (< 1%) risque de provoquer la stagnation des matières solides et l’obstruction des tuyaux (bouchage). Une pente trop forte (> 5%) peut entraîner une séparation entre l’eau et les matières solides, laissant ces dernières en dépôt, et provoquer une érosion prématurée des parois internes du tuyau. Le cours détaille les normes spécifiques pour le PVC, la fonte et le béton, adaptées aux contextes d’assainissement en RDC.

4.4. Relation entre Pente, Vitesse et Autocurage

L’objectif hydraulique de la pente est d’assurer une vitesse d’écoulement suffisante pour entraîner les sédiments (autocurage). La vitesse critique (généralement 0,6 à 0,7 m/s) dépend directement du calcul de la pente. L’apprenant calcule la pente nécessaire pour maintenir cette vitesse en fonction du diamètre du tuyau, assurant ainsi la pérennité du réseau d’évacuation, que ce soit pour des eaux vannes domestiques ou des eaux pluviales chargées de sable.

Chapitre 5 : Nomenclature et Calculs de Dénivelé ⛰️

Ce chapitre se focalise sur la terminologie technique du nivellement et les méthodes de calcul des différences de hauteur sur le terrain.

5.1. Terminologie du Nivellement : Radier, Génératrice, Fil d’eau

La précision exige un vocabulaire exact. Le « fil d’eau » (partie inférieure interne du tuyau) est la référence absolue pour le calcul gravitaire. Le « radier » désigne le fond de la tranchée ou de l’ouvrage. La « génératrice supérieure » est utilisée pour vérifier l’enrobage ou la hauteur de passage sous obstacle. La maîtrise de ces termes permet de communiquer efficacement avec les géomètres, les chefs de chantier et les opérateurs d’engins de terrassement lors de l’ouverture des fouilles.

5.2. Calcul du Dénivelé Total et Partiel

Le dénivelé est le produit de la longueur de la conduite par la pente unitaire (). Ce calcul permet de déterminer la différence d’altitude entre le point de départ et le point d’arrivée d’une canalisation. Le calcul des dénivelés partiels permet de vérifier l’altitude de la conduite à chaque point intermédiaire (regard de visite, té de raccordement), assurant que le réseau reste toujours en dessous du niveau des appareils sanitaires à desservir.

5.3. Utilisation du Niveau à Bulle et du Niveau à Eau

Les méthodes traditionnelles de contrôle de pente restent indispensables. Le niveau à eau (tuyau transparent rempli d’eau) permet de reporter des traits de niveau sur de grandes distances, contournant les obstacles visuels. L’usage correct du niveau à bulle, associé à des cales d’épaisseur calibrée, permet de régler la pente mètre par mètre. Ces techniques sont particulièrement adaptées aux chantiers résidentiels et aux zones rurales dépourvues d’équipements topographiques sophistiqués.

5.4. Introduction au Niveau Optique et Laser

Sur les grands chantiers et pour les collecteurs principaux d’égout public, l’utilisation de niveaux optiques (lunettes de chantier) ou laser est requise pour garantir la précision sur de longues distances. L’apprenant découvre le principe de la « hauteur d’appareil » et la lecture sur mire. Cette initiation prépare le technicien à implanter des réseaux d’assainissement extensifs avec une tolérance d’erreur minime, essentielle pour le raccordement aux égouts urbains existants.

Chapitre 6 : Fruits et Contre-Fruits en Ouvrage Sanitaire 🧱

Ce chapitre traite de l’inclinaison des parois verticales, une notion de maçonnerie essentielle pour la stabilité des ouvrages de rétention d’eau.

6.1. Définition et Utilité du Fruit

Le « fruit » désigne l’inclinaison donnée à la face extérieure d’un mur, de sorte que son épaisseur diminue avec la hauteur ou que la base soit plus large que le sommet. En construction sanitaire, donner du fruit à un mur de fosse septique ou de citerne enterrée augmente sa résistance à la poussée des terres environnantes. Cela stabilise l’ouvrage et prévient le basculement ou la fissuration sous la pression latérale du sol, fréquente lors des saisons des pluies intenses.

6.2. Le Contre-Fruit et les Parois Intérieures

Le contre-fruit (ou fruit intérieur) concerne l’inclinaison des faces internes. Dans les regards de visite et les chambres de décantation, une légère inclinaison des parois vers l’ouverture supérieure (forme tronconique) améliore la résistance structurelle de la voûte et réduit la quantité de béton nécessaire pour la dalle de couverture. De plus, des parois inclinées (dans les trémies par exemple) facilitent le glissement des matières solides vers le fond, optimisant le fonctionnement des décanteurs.

6.3. Calcul de Stabilité pour Fosses et Réservoirs

Bien que le calcul structurel complexe relève de l’ingénieur, le plombier doit comprendre les principes de base pour construire des petits ouvrages autonomes sûrs. Le calcul simplifié vérifie que le poids propre de la maçonnerie et la géométrie du fruit suffisent à contrer la poussée hydrostatique (quand le réservoir est plein) et la poussée des terres (quand il est vide). Cela est vital pour les fosses septiques maçonnées en blocs de ciment courantes dans les parcelles.

6.4. Intégration du Fruit dans le Drainage Périphérique

Lors de la construction de murs de soutènement avec fruit, l’installation d’un système de drainage à la base est cruciale pour évacuer les eaux d’infiltration et réduire la pression hydraulique derrière le mur. Le technicien apprend à positionner le drain par rapport à la fondation inclinée du mur, assurant la protection de l’ouvrage sanitaire contre l’humidité et les infiltrations parasites qui pourraient saturer le terrain.

Partie III : Applications Techniques et Dimensionnement

Cette dernière partie synthétise les acquis géométriques et l’étude des pentes pour les projeter dans la réalité complexe des installations sanitaires complètes.

Chapitre 7 : Application des Théorèmes aux Réseaux Complexes 🛠️

Ce chapitre met en œuvre Pythagore et la trigonométrie pour résoudre les défis de tuyauterie industrielle et domestique avancée.

7.1. Calcul des Dévoiements Spatiaux (Rolling Offsets)

Le dévoiement spatial (ou « baïonnette tournante ») survient lorsqu’une tuyauterie doit changer de direction simultanément dans le plan horizontal et le plan vertical. Le calcul nécessite une double application du théorème de Pythagore : d’abord pour trouver le décalage diagonal dans le plan de section, puis pour calculer la longueur réelle de la pièce de raccordement. C’est une compétence experte requise dans les chaufferies et les stations de pompage encombrées.

7.2. Écartement des Conduites Parallèles (Spread Calculation)

Lorsque plusieurs tuyaux parallèles changent de direction ensemble (nappe de tuyauterie), l’espacement entre eux change s’ils ne sont pas calculés correctement. Pour maintenir un entraxe constant avant et après le coude, les longueurs des tubes doivent être ajustées. Le calcul trigonométrique détermine la différence de longueur exacte entre le tuyau intérieur et le tuyau extérieur du virage, assurant une esthétique professionnelle et un supportage uniforme.

7.3. Lyres de Dilatation et Ancrages

Les variations de température provoquent la dilatation des métaux. La lyre de dilatation est une configuration géométrique (souvent en forme de U ou d’oméga) qui absorbe cet allongement. Le calcul des dimensions de la lyre (longueur des bras) repose sur la quantité de dilatation prévue et les propriétés élastiques du matériau. Un dimensionnement correct prévient la déformation destructive des tuyauteries d’eau chaude sanitaire ou de vapeur.

7.4. Optimisation des Coupes et Gestion des Chutes

L’application rigoureuse des théorèmes permet de créer des plans de coupe (calepinage) qui minimisent les déchets de tuyaux. En calculant précisément toutes les longueurs nécessaires avant de commencer la découpe, l’élève apprend à imbriquer les segments courts dans les barres standard de 6 mètres. Cette gestion rationnelle des matériaux est un impératif économique majeur sur les chantiers en RDC où le coût des matériaux importés est élevé.

Chapitre 8 : Calculs Hydrauliques d’Évacuation 💧

Ce chapitre lie la pente géométrique aux performances hydrauliques, dimensionnant le réseau pour qu’il fonctionne sans obstruction ni bruit.

8.1. Relation Débit-Diamètre-Pente

Le choix du diamètre d’un tuyau d’évacuation ne se fait pas au hasard. Il existe une corrélation étroite entre le débit d’eau à évacuer (fonction du nombre d’appareils), le diamètre intérieur du tuyau et la pente disponible. L’utilisation d’abaques ou de formules simplifiées permet de déterminer la combinaison optimale qui assure l’évacuation rapide sans remplir totalement la section du tuyau (pour laisser circuler l’air).

8.2. Calcul du Coefficient de Remplissage

Pour les eaux usées, les tuyaux ne doivent jamais fonctionner à section pleine (sauf systèmes sous vide ou pompage). Le calcul du taux de remplissage (généralement visé à 50% ou 70% de la hauteur) garantit la ventilation du réseau. Une bonne ventilation, assurée par ce dimensionnement, prévient le désiphonnage des appareils sanitaires et les remontées de mauvaises odeurs dans les habitations.

8.3. Gestion des Ressauts Hydrauliques

Un changement brutal de pente (d’une pente forte à une pente faible) crée un ressaut hydraulique, zone de turbulence où l’eau ralentit brusquement et dépose ses sédiments. Le calcul permet d’identifier ces zones à risque et de prévoir des regards de visite ou des chambres de chasse automatiques à ces endroits précis. C’est essentiel pour les raccordements entre les descentes verticales d’immeubles et les collecteurs horizontaux en sous-sol.

8.4. Dimensionnement des Collecteurs d’Eaux Pluviales

Le climat tropical de la RDC impose des contraintes sévères pour l’évacuation des pluies. Le calcul des sections de gouttières et des descentes d’eaux pluviales se base sur la surface de toiture collectée et l’intensité pluviométrique locale (très élevée à Kisangani ou Kinshasa). L’application des formules de débit permet d’éviter les débordements de chéneaux qui endommagent les façades et les fondations des bâtiments.

Chapitre 9 : Tracé, Implantation et Devis 📝

Ce chapitre final connecte tous les calculs précédents à la phase d’exécution et de chiffrage commercial du projet.

9.1. Tracé des Réseaux sur le Terrain (Implantation)

L’implantation consiste à matérialiser physiquement les axes calculés sur le sol ou les murs. L’apprenant utilise les cotes cumulées et les repères d’altitude pour tracer les parcours de tuyauterie à la craie ou au cordeau traceur. La précision du tracé, vérifiée par les diagonales et les niveaux, est la condition sine qua non pour que les réservations dans le béton et les percements de murs soient positionnés correctement du premier coup.

9.2. Calcul des Points de Pénétration et Réservations

Le passage des tuyaux à travers les murs, planchers et poutres nécessite des réservations (trous) plus larges que le tuyau lui-même (pour l’isolation et le jeu mécanique). Le calcul précis des coordonnées de ces pénétrations, en tenant compte des pentes et des angles d’attaque, évite d’affaiblir la structure du bâtiment par des percements erratiques. C’est une coordination essentielle avec le génie civil.

9.3. Élaboration de Croquis Isométriques Cotés

Le dessin isométrique (représentation 3D sans perspective fuyante) est le langage universel du tuyauteur. L’élève apprend à convertir un plan d’architecture 2D en un schéma isométrique de tuyauterie (« spool »). Ce schéma intègre toutes les longueurs de coupe calculées (axe-à-axe) et les orientations des raccords. Il sert de guide de fabrication en atelier et de document de référence pour le montage sur site.

9.4. Métré Quantitatif et Estimation des Coûts

La dernière étape est la transformation des plans et calculs en une liste de matériel (BOM – Bill of Materials). En additionnant les longueurs linéaires de tubes par diamètre et en comptabilisant chaque raccord (coudes, tés, réductions), le technicien établit un devis précis. L’ajout de coefficients de perte (chutes de coupe, casse) permet d’estimer le coût réel du chantier, une compétence clé pour l’auto-employabilité et la gestion d’une petite entreprise de plomberie.

Annexes

Annexe A : Formulaire de Géométrie et Trigonométrie

Cette section regroupe de manière synthétique toutes les formules indispensables : Pythagore, les fonctions trigonométriques (Sinus, Cosinus, Tangente) pour le calcul des dévoiements, les formules d’aires (cercle, triangle, trapèze) et de volumes (cylindre, prisme). Elle sert d’aide-mémoire rapide pour l’élève en situation d’examen ou de chantier.

Annexe B : Tableaux de Conversion et Unités Usuelles

Un guide pratique pour convertir les unités impériales (pouces, pieds) souvent présentes sur les vannes et raccords importés, vers le système métrique (mm, m). Il inclut également les correspondances entre les diamètres nominaux (DN) et les diamètres extérieurs réels des différents matériaux (Acier, Cuivre, PVC pression, PEHD).

Annexe C : Abaques de Pentes et Débits pour le PVC

Des graphiques visuels permettant de lire directement le débit admissible d’un tuyau PVC en fonction de son diamètre et de sa pente. Ces abaques sont adaptés aux normes d’assainissement en vigueur et simplifient le dimensionnement rapide sans calculs complexes.

Annexe D : Lexique Technique Illustré

Un glossaire définissant les termes techniques vernaculaires et officiels utilisés sur les chantiers en RDC (ex: « coude », « manchon », « mamelon », « chasse », « regard »). Il précise le sens exact des mots pour éviter les malentendus lors de la communication technique.