COURS DE GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE, 1ÈRE ANNÉE, OPTION HUMANITÉS SCIENTIFIQUES

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC

📐 PRÉLIMINAIRES

0.1. Préface et Note aux Enseignants

Ce manuel matérialise la mise en œuvre du Programme National du Domaine d’Apprentissage des Sciences pour la première année des Humanités Scientifiques en République Démocratique du Congo. Il répond à l’exigence de standardisation des savoirs géométriques et trigonométriques sur l’ensemble du territoire national. L’ouvrage structure les apprentissages autour de la résolution de problèmes spatiaux et métriques, abandonnant l’abstraction pure au profit d’une géométrie active et instrumentale. Nous présentons ici une progression didactique rigoureuse qui lie les concepts théoriques aux réalités techniques et environnementales de la RDC.

0.2. Objectifs Généraux du Cours

L’enseignement de la géométrie et de la trigonométrie vise à développer chez l’élève la capacité de se repérer dans l’espace, de modéliser des formes physiques et de quantifier des grandeurs inaccessibles à la mesure directe. Le cours doit permettre à l’apprenant de maîtriser les transformations du plan, d’utiliser le calcul vectoriel comme outil de démonstration et de manipuler les rapports trigonométriques pour résoudre des problèmes d’ingénierie et d’architecture. L’objectif ultime réside dans l’acquisition d’un raisonnement déductif structuré et d’une rigueur démonstrative sans faille.

0.3. Profil de Sortie de l’Élève

Au terme de la première année des Humanités Scientifiques, l’élève démontrera sa compétence à identifier et construire des figures géométriques complexes par isométrie et homothétie. Il utilisera avec aisance le calcul vectoriel pour prouver l’alignement de points ou le parallélisme de droites. Il appliquera les théorèmes de Thalès et de Pythagore dans des contextes variés, allant de l’arpentage de terrains agricoles dans le Kwilu à la conception de charpentes à Kinshasa. Enfin, il maîtrisera le cercle trigonométrique pour déterminer les mesures d’angles et de côtés dans des figures planes.

0.4. Méthodologie et Évaluation

La méthodologie préconisée est l’Approche Par les Situations (APS). Chaque chapitre débute par une situation-problème concrète nécessitant la mobilisation de nouveaux savoirs géométriques. L’enseignant guidera l’élève de l’observation empirique vers la formalisation mathématique. L’évaluation sera continue et diversifiée, intégrant des tâches de construction graphique précise, des démonstrations théoriques et la résolution de problèmes numériques appliqués à des contextes réels congolais.

🔄 PARTIE 1 : TRANSFORMATIONS DU PLAN ET CALCUL VECTORIEL

Cette première partie établit les fondements de la géométrie dynamique. Elle étudie comment les figures se déplacent, se transforment et conservent leurs propriétés à travers les isométries et les homothéties. Elle introduit simultanément l’outil vectoriel, indispensable pour modéliser les déplacements et les forces, créant ainsi un pont solide entre la géométrie pure et la physique mécanique.

Chapitre 1 : Isométries Planes et Homothéties

1.1. Définitions et Caractéristiques des Isométries

Nous définissons l’isométrie comme une transformation bijective du plan qui conserve les distances. L’étude se focalise sur les trois types fondamentaux : la translation, caractérisée par un vecteur directeur ; la rotation, définie par un centre et un angle orienté ; et la symétrie (axiale et centrale). L’élève apprend à identifier les invariants de chaque transformation : conservation de l’alignement, des angles et des aires. Nous analysons les motifs des tissus Wax produits à Kisangani pour illustrer la composition de ces isométries dans les arts décoratifs.

1.2. Construction des Figures par Isométrie

Cette section développe la dextérité graphique de l’élève. Nous détaillons les protocoles de construction de l’image d’un point, d’un segment, d’une droite et d’un polygone par translation, rotation et symétrie. L’élève utilise la règle, le compas et le rapporteur avec une précision millimétrique. Nous appliquons ces constructions à l’élaboration de plans de pavage pour des cours d’écoles à Lubumbashi, démontrant l’utilité pratique des transformations pour couvrir une surface sans lacune ni superposition.

1.3. Notion et Propriétés de l’Homothétie

Nous introduisons l’homothétie comme une transformation qui agrandit ou réduit les figures géométriques à partir d’un centre  et selon un rapport . L’élève distingue l’homothétie directe () de l’homothétie inverse (). Nous étudions la conservation des angles et de l’alignement, ainsi que la modification des distances selon la valeur absolue du rapport . Cette étude constitue le fondement théorique nécessaire à la compréhension des plans à l’échelle et de la cartographie.

1.4. Procédés de Construction par Homothétie

L’élève apprend à construire l’image d’une figure géométrique par une homothétie donnée. Nous traitons les cas particuliers où le centre de l’homothétie est un sommet de la figure ou un point extérieur. Des exercices pratiques invitent l’élève à reproduire le plan d’une parcelle agricole du Kongo Central à différentes échelles, renforçant la compréhension du lien entre la réalité terrain et sa représentation graphique réduite.

Chapitre 2 : Vecteurs et Translation

2.1. Définition et Représentation du Vecteur

Nous définissons le vecteur comme l’objet mathématique caractérisant une translation. L’élève identifie les trois composantes indissociables d’un vecteur : la direction (droite porteuse), le sens (orientation sur la droite) et la norme (longueur). Nous insistons sur la notation  et sa représentation graphique par une flèche. Nous illustrons ce concept par le déplacement rectiligne d’une pirogue traversant le fleuve Congo, où le vecteur vitesse détermine la trajectoire et la rapidité.

2.2. Égalité Vectorielle et Vecteur Nul

Cette section établit les critères stricts de l’égalité entre deux vecteurs : même direction, même sens et même norme. L’élève comprend qu’un vecteur est libre et peut être représenté à partir de n’importe quel point du plan. Nous définissons le vecteur nul  comme l’élément neutre correspondant à une translation de déplacement nul. Cette notion est cruciale pour comprendre l’équilibre des forces en physique statique.

2.3. Vecteurs Opposés et Parallélogramme

Nous introduisons la notion de vecteurs opposés, ayant même direction et même norme mais des sens contraires. L’élève apprend à construire la somme de deux vecteurs et découvre la règle du parallélogramme : dire que  équivaut à dire que le quadrilatère  est un parallélogramme. Cette propriété géométrique devient un outil puissant pour démontrer la nature des quadrilatères sans recourir aux mesures de longueur.

2.4. Relation entre Vecteur et Translation

Nous formalisons le lien entre l’outil vectoriel et la transformation géométrique. La translation de vecteur  est l’application qui associe à tout point  le point  tel que . L’élève utilise cette définition pour résoudre des problèmes de construction d’images et pour démontrer des propriétés géométriques liées au parallélisme. L’étude des motifs de la vannerie artisanale du Kasaï permet d’identifier des translations répétitives définies par des vecteurs précis.

Chapitre 3 : Opérations sur les Vecteurs

3.1. Somme des Vecteurs et Relation de Chasles

Nous étudions l’addition vectorielle. L’élève maîtrise la construction de la somme  par la méthode du « bout à bout » (règle du triangle) et par la méthode du parallélogramme. Nous énonçons la relation de Chasles () comme principe fondamental de simplification vectorielle. Des applications concrètes sur les déplacements successifs de véhicules dans le réseau routier de Kinshasa permettent de visualiser le vecteur résultant.

3.2. Produit d’un Vecteur par un Réel

Nous définissons la multiplication d’un vecteur  par un nombre réel . L’élève analyse les caractéristiques du vecteur résultant  : même direction, norme multipliée par , et sens dépendant du signe de . Cette opération introduit la notion de colinéarité. Nous utilisons cette opération pour modéliser des vitesses proportionnelles ou des forces de même direction mais d’intensités différentes.

3.3. Colinéarité et Alignement de Points

Cette section exploite le produit par un réel pour caractériser le parallélisme. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’il existe un réel  tel que . L’élève utilise cette propriété pour démontrer l’alignement de trois points , ,  (en prouvant que  et  sont colinéaires) ou le parallélisme de deux droites. C’est un outil de démonstration essentiel en géométrie analytique et synthétique.

3.4. Forme Vectorielle du Théorème de Thalès

Nous traduisons le célèbre théorème de Thalès en langage vectoriel. L’élève apprend à exprimer les relations de proportionnalité dans les configurations de triangles et de « papillons » à l’aide de vecteurs colinéaires. Cette approche vectorielle unifie la géométrie métrique et la géométrie de position, offrant une méthode élégante pour résoudre des problèmes de partage de segments ou de positions relatives sur des droites sécantes.

📐 PARTIE 2 : CONFIGURATION DU PLAN ET RELATIONS MÉTRIQUES

Cette partie se concentre sur la géométrie métrique et les propriétés des figures planes. Elle revisite et approfondit les théorèmes classiques de l’antiquité, essentiels pour le calcul de longueurs et d’aires. Elle aborde également la géométrie du cercle et les droites remarquables, fournissant les outils nécessaires à l’arpentage, à la construction et à l’analyse spatiale technique.

Chapitre 4 : Théorèmes de Thalès et de Pythagore

4.1. Le Théorème de Pythagore

Nous réaffirmons l’importance capitale de ce théorème dans le triangle rectangle. L’élève énonce la relation entre le carré de l’hypoténuse et la somme des carrés des cathètes. Nous insistons sur son utilisation pour calculer une longueur manquante dans une structure rectangulaire, comme les armatures d’un toit ou les diagonales d’une fondation en béton.

4.2. Le Théorème de Thalès (Direct)

Nous étudions les configurations de Thalès (triangle et sablier) générées par des parallèles coupant deux sécantes. L’élève écrit les égalités de rapports de longueurs et les utilise pour calculer des distances inaccessibles. Nous illustrons ce théorème par la méthode de détermination de la hauteur d’un arbre géant dans la forêt de l’Ituri en utilisant son ombre et un bâton de référence.

4.3. Réciproques des Théorèmes

Cette section traite de l’utilisation des théorèmes pour prouver des propriétés géométriques. L’élève utilise la réciproque de Pythagore pour vérifier si un triangle est rectangle (équerrage d’un mur) et la réciproque de Thalès pour démontrer que deux droites sont parallèles. Ces outils de vérification sont indispensables dans les métiers du bâtiment et du génie civil.

4.4. Rapport de Section et Applications

Nous approfondissons la notion de rapport de section découlant de Thalès. L’élève apprend à diviser un segment dans un rapport donné sans utiliser de règle graduée, uniquement par construction géométrique. Nous appliquons ces connaissances au partage équitable de terres arables en bandes parallèles, une problématique fréquente dans la gestion foncière rurale.

Chapitre 5 : Similitude des Triangles

5.1. Définition et Rapport de Similitude

Nous définissons deux triangles semblables comme des triangles dont les angles sont respectivement égaux et les côtés homologues proportionnels. L’élève comprend que la similitude est une généralisation de l’isométrie (où le rapport est 1) et de l’homothétie. Nous introduisons le coefficient de similitude  et son impact sur les longueurs () et les aires ().

5.2. Premier Cas de Similitude (AA)

Nous étudions le critère suffisant d’égalité de deux angles. L’élève démontre que si deux triangles ont deux angles respectivement égaux, alors ils sont semblables. C’est le cas le plus fréquemment utilisé. Nous exploitons ce cas pour résoudre des problèmes de visée optique et de triangulation topographique utilisés par les géomètres en RDC.

5.3. Deuxième Cas de Similitude (CAC)

Ce point aborde le critère liant un angle et les deux côtés qui le comprennent. L’élève vérifie la similitude si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés de longueurs proportionnelles. Cette méthode est appliquée dans l’analyse de structures en treillis où les mesures angulaires sont difficiles mais les longueurs accessibles.

5.4. Troisième Cas de Similitude (CCC)

Nous examinons le critère basé uniquement sur les longueurs. Deux triangles sont semblables si les longueurs de leurs trois côtés sont proportionnelles. L’élève apprend à identifier les côtés homologues en les classant par ordre de grandeur. Nous utilisons ce cas pour la fabrication de maquettes réduites de bâtiments ou d’ouvrages d’art.

Chapitre 6 : Droites et Distances dans le Plan

6.1. Distance d’un Point à une Droite

Nous définissons la distance d’un point à une droite comme la longueur du segment perpendiculaire abaissé de ce point sur la droite. C’est la distance minimale. L’élève apprend à construire cette perpendiculaire et à mesurer cette distance. Nous appliquons ce concept à l’implantation de bâtiments respectant un recul réglementaire par rapport à la voirie urbaine.

6.2. Droites Parallèles et Axe Médian

Nous étudions la distance constante entre deux droites parallèles. L’élève définit et construit l’axe médian, lieu géométrique des points équidistants de deux parallèles. Nous transposons cette notion géométrique au tracé d’axes routiers ou de canaux d’irrigation nécessitant une largeur constante sur de longues distances.

6.3. La Bissectrice d’un Angle

Nous définissons la bissectrice comme la demi-droite partageant un angle en deux angles adjacents isométriques. L’élève caractérise la bissectrice comme l’ensemble des points équidistants des côtés de l’angle. Nous pratiquons la construction précise à la règle et au compas. Cette notion est cruciale pour résoudre des problèmes de positionnement équidistant entre deux axes concourants (ex: routes).

6.4. Droites Remarquables du Triangle

Ce point synthétise les propriétés des médianes, médiatrices, hauteurs et bissectrices dans un triangle. L’élève identifie et construit les points de concours : centre de gravité, orthocentre, centre du cercle circonscrit et centre du cercle inscrit. Nous illustrons l’importance du centre de gravité pour l’équilibre de plaques triangulaires dans la construction métallique.

Chapitre 7 : Géométrie du Cercle

7.1. Tangente en un Point du Cercle

Nous définissons la tangente comme la droite unique ayant un seul point commun avec le cercle et étant perpendiculaire au rayon en ce point de contact. L’élève apprend à construire la tangente en un point donné du cercle. Nous étudions les propriétés mécaniques de la tangence, illustrées par le point de contact d’une roue de véhicule sur la chaussée asphaltée.

7.2. Tangentes Issues d’un Point Extérieur

Nous abordons la construction des deux tangentes menées d’un point extérieur à un cercle. L’élève utilise la propriété du cercle de diamètre reliant le point extérieur au centre pour localiser les points de contact précis. Nous démontrons l’égalité des distances entre le point extérieur et les deux points de contact, principe utilisé dans les systèmes de courroies et poulies.

7.3. Positions Relatives de Deux Cercles

Nous classifions les positions de deux cercles selon la distance entre leurs centres et la somme ou différence de leurs rayons : extérieurs, tangents extérieurs, sécants, tangents intérieurs, intérieurs. L’élève analyse les conditions d’existence de points d’intersection. Cette étude est appliquée à la conception d’engrenages mécaniques dans l’industrie.

7.4. Construction de Cercles Tangents

L’élève résout des problèmes de construction complexes, tel que tracer un cercle tangent à deux cercles donnés ou à une droite et un cercle. Nous mobilisons les notions de lieux géométriques (médiatrices, bissectrices, dilatation de rayons) pour trouver les centres des cercles solutions. Ces compétences sont requises dans le dessin technique de pièces mécaniques et l’architecture.

⭕ PARTIE 3 : LE CERCLE ET LA TRIGONOMÉTRIE

Cette dernière partie introduit l’étude des angles et de leurs mesures dans un cadre circulaire. Elle pose les bases de la trigonométrie, outil puissant permettant de relier les mesures angulaires aux mesures linéaires. L’élève y acquiert les compétences pour résoudre des triangles quelconques, indispensables en topographie, en navigation et en physique ondulatoire.

Chapitre 8 : Cercle Trigonométrique et Arcs

8.1. Le Cercle Orienté

Nous définissons le sens trigonométrique (anti-horaire) comme sens positif de parcours sur un cercle. L’élève apprend à orienter le plan et à distinguer les angles positifs des angles négatifs. Nous introduisons le cercle trigonométrique de rayon , support universel pour la définition des fonctions circulaires, indépendamment de la taille réelle des figures géométriques.

8.2. Unités d’Arcs et d’Angles

Nous présentons les différentes unités de mesure : le degré, le grade et surtout le radian. L’élève comprend la définition du radian comme l’angle interceptant un arc de longueur égale au rayon. Nous pratiquons la conversion fluide entre degrés et radians ( rad = 180°), compétence essentielle pour les mathématiques supérieures et la physique.

8.3. Détermination Principale et Enroulement

Nous expliquons le principe de l’enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique. L’élève apprend qu’un même point du cercle est associé à une infinité de valeurs réelles de la forme . Nous définissons la détermination principale d’un angle orienté dans l’intervalle  et entraînons l’élève à la calculer pour simplifier les expressions trigonométriques.

8.4. Repérage de Points sur le Cercle

L’élève apprend à placer avec précision des points remarquables sur le cercle trigonométrique correspondant aux angles usuels () et leurs associés dans les quatre quadrants. Cette maîtrise visuelle est indispensable pour la résolution future d’équations trigonométriques et la compréhension des symétries des fonctions sinus et cosinus.

Chapitre 9 : Rapports Trigonométriques

9.1. Sinus et Cosinus d’un Angle

Nous définissons le cosinus et le sinus d’un réel  comme les coordonnées (abscisse et ordonnée) du point image sur le cercle trigonométrique. L’élève étend ces définitions au-delà du triangle rectangle pour des angles quelconques. Nous étudions les signes de ces rapports selon le quadrant et leurs valeurs pour les angles remarquables.

9.2. Tangente et Cotangente

Nous introduisons la tangente () et la cotangente () géométriquement sur les axes tangents au cercle. L’élève identifie les valeurs interdites (pour  et ) et comprend l’interprétation graphique de ces rapports comme des segments sur des droites tangentes.

9.3. La Relation Fondamentale

Nous démontrons la relation pythagoricienne universelle : . L’élève utilise cette identité fondamentale pour calculer un rapport trigonométrique connaissant l’autre, en tenant compte du quadrant de l’angle. Nous dérivons également la relation , utile pour les calculs d’intégrales et de dérivées dans les années supérieures.

9.4. Résolution de Triangles Rectangles

Ce point final boucle la partie en revenant à l’application pratique dans le triangle rectangle. L’élève utilise les rapports trigonométriques pour calculer des longueurs de côtés et des mesures d’angles inconnus. Nous proposons des problèmes concrets : calcul de la hauteur d’une antenne de télécommunication à Mbandaka ou de la largeur d’une rivière inaccessible, en utilisant un théodolite et les concepts appris.

📚 ANNEXES

A.1. Formulaire de Trigonométrie

Un récapitulatif clair et structuré des valeurs remarquables (tableau des sinus, cosinus, tangentes des angles usuels) et des identités fondamentales. Cet outil sert de référence rapide pour les exercices et la résolution de problèmes.

A.2. Lexique de Géométrie

Un glossaire définissant les termes techniques clés (ex: isométrie, colinéaire, radian, orthocentre) pour assurer une précision langagière et conceptuelle tout au long de l’apprentissage.

A.3. Guide des Constructions Géométriques

Une série de fiches méthodes illustrant pas à pas les procédures de construction à la règle et au compas (médiatrice, bissectrice, tangentes, division de segment), favorisant l’autonomie de l’élève dans la réalisation graphique.