COURS DE GEOMETRIE ET TRIGONOMETRIE, 3ÈME ANNÉE, OPTIONS SCIENTIFIQUES

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC

Préliminaires

Objectifs Généraux du Cours

Ce manuel vise la consolidation et l’approfondissement des concepts géométriques et trigonométriques essentiels pour la formation scientifique au niveau des humanités. Il structure l’acquisition des compétences nécessaires à la modélisation de l’espace, à l’analyse des configurations planes et spatiales, ainsi qu’à la maîtrise des outils trigonométriques indispensables aux études supérieures en sciences et technologies. L’approche privilégie la rigueur démonstrative et l’application concrète des théorèmes dans des contextes variés, allant de l’arpentage à la physique théorique.

Compétences Visées

À l’issue de ce parcours, l’apprenant développe une maîtrise opératoire de la géométrie analytique plane, lui permettant de traduire des problèmes géométriques en équations algébriques. Il acquiert une vision spatiale structurée par la géométrie descriptive et vectorielle, essentielle pour l’ingénierie et l’architecture. Enfin, il manie avec aisance les transformations trigonométriques, résolvant des équations complexes et modélisant des phénomènes périodiques ou statiques.

Méthodologie et Approche Pédagogique

L’enseignement s’articule autour de la résolution de situations-problèmes, ancrant chaque nouveau savoir dans une réalité tangible ou un défi intellectuel stimulant. La progression didactique favorise l’interaction entre l’intuition géométrique et la formalisation algébrique. Les exercices, gradués en complexité, sollicitent l’utilisation d’outils technologiques (calculatrices scientifiques, logiciels de géométrie dynamique) tout en exigeant une justification rigoureuse des démarches intellectuelles.

Matériel et Prérequis

L’exploitation optimale de ce cours requiert la maîtrise des acquis de la 2ème année scientifique, notamment en algèbre élémentaire et en géométrie plane classique. L’usage d’un matériel de dessin géométrique de précision (règle, équerre, compas, rapporteur) et d’une calculatrice scientifique est impératif pour les activités de construction et de calcul numérique.

Partie 1 : Géométrie Analytique Plane 📐

Cette première partie établit le pont fondamental entre la géométrie d’Euclide et l’algèbre de Descartes. Elle fournit aux apprenants les outils nécessaires pour traiter les figures géométriques par le calcul, en introduisant des systèmes de repérage et en étudiant les lieux géométriques fondamentaux que sont la droite et le cercle. L’accent est mis sur la capacité à passer fluidement d’une représentation graphique à sa formulation analytique et inversement.

Chapitre 1 : Systèmes de Coordonnées et Transformations du Plan (MM5.20, MM5.21)

1.1. Coordonnées cartésiennes d’un point du plan

Cette section formalise le repérage d’un point dans le plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé . Elle définit rigoureusement l’abscisse et l’ordonnée comme projections orthogonales sur les axes. L’étude s’étend aux calculs de distances entre deux points et aux coordonnées du point de division d’un segment selon un rapport donné, incluant le cas particulier du milieu. L’application s’illustre par la localisation précise de sites sur des cartes topographiques planes.

1.2. Coordonnées polaires

L’analyse se porte sur le système de coordonnées polaires , défini par un pôle et un axe polaire. La section détaille la relation biunivoque entre les coordonnées cartésiennes et polaires, établissant les formules de conversion  et . Les exercices pratiques incluent le positionnement de points pour la navigation et l’étude de courbes simples dont l’équation se simplifie en polaire, comme les spirales ou les rosaces.

1.3. Changement de repère par translation d’axes

Ce point traite de la modification des coordonnées d’un point fixe lorsque l’origine du repère est déplacée vers un nouveau point  sans rotation des axes. La section établit les formules de transformation reliant les anciennes coordonnées  aux nouvelles , soit  et . Cette technique simplifie l’étude des équations de courbes dont le centre de symétrie ne coïncide pas avec l’origine initiale.

1.4. Changement de repère par rotation et transformation mixte

La section aborde la rotation des axes d’un angle  autour de l’origine, modifiant l’orientation du repère. Elle développe les formules matricielles de rotation exprimant les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes. L’étude culmine avec la combinaison de translation et de rotation, permettant de placer n’importe quel repère dans une position optimale pour simplifier l’équation d’une conique ou d’une trajectoire complexe.

Chapitre 2 : La Droite dans le Plan Affine (MM5.22)

2.1. Équations de la droite

L’étude explore les différentes formes algébriques définissant une droite : équation vectorielle, paramétrique, cartésienne générale , et réduite . Chaque forme est analysée pour en extraire les informations géométriques telles que le vecteur directeur, le vecteur normal, la pente et l’ordonnée à l’origine. Cette diversité formelle permet d’adapter l’outil mathématique au type de problème rencontré, qu’il soit cinématique ou statique.

2.2. Équation normale et forme de Hesse

Cette section introduit la forme normale de Hesse, , où  représente la distance de l’origine à la droite et  l’angle de la normale avec l’axe des abscisses. Elle permet de normaliser toute équation cartésienne, facilitant le calcul rapide de la distance d’un point à une droite et la détermination des bissectrices de deux droites sécantes.

2.3. Faisceaux de droites

L’analyse se concentre sur l’ensemble des droites passant par un point fixe (faisceau propre) ou parallèles à une direction donnée (faisceau impropre). La section développe l’équation globale d’un faisceau linéaire défini par deux droites de base . Cet outil puissant est utilisé pour résoudre des problèmes d’incidence sans nécessiter le calcul explicite du point d’intersection, optimisant ainsi les résolutions algébriques.

2.4. Applications métriques et positions relatives

Ce point synthétise les conditions analytiques de parallélisme et de perpendicularité entre deux droites à partir de leurs coefficients directeurs ou vecteurs normaux. Il inclut le calcul de l’angle formé par deux droites sécantes et la détermination de la distance d’un point à une droite. Ces notions trouvent une application directe dans les problèmes d’optimisation linéaire et de géométrie architecturale.

Chapitre 3 : Le Cercle et ses Relations (MM5.23, MM5.24)

3.1. Équation cartésienne et paramétrique du cercle

La section établit l’équation du cercle de centre  et de rayon  sous sa forme canonique  et développée . Elle traite également de la représentation paramétrique utilisant les fonctions trigonométriques. L’identification des caractéristiques du cercle à partir d’une équation du second degré constitue une compétence clé développée ici.

3.2. Positions relatives d’une droite et d’un cercle

L’étude analyse l’intersection d’une droite et d’un cercle en résolvant le système d’équations correspondant ou en comparant la distance du centre à la droite avec le rayon. Elle détaille les conditions de tangence, de sécante et de disjonction. La détermination des équations des tangentes à un cercle issues d’un point extérieur ou parallèles à une direction donnée est approfondie par la méthode du discriminant ou géométrique.

3.3. Positions relatives et intersection de deux cercles

Cette section examine les configurations possibles de deux cercles : extérieurs, tangents (intérieurement ou extérieurement), sécants ou intérieurs. La méthode de l’axe radical est introduite pour déterminer les coordonnées des points d’intersection. L’analyse algébrique permet de résoudre des problèmes de triangulation et de localisation par intersection de lieux géométriques circulaires.

3.4. Angles et faisceaux de cercles

Le chapitre se clôt sur l’étude de l’angle sous lequel deux cercles se coupent, défini par l’angle de leurs tangentes aux points d’intersection. La condition d’orthogonalité est mise en exergue. La notion de faisceau de cercles, engendré par deux cercles de base (cercle à points limites, cercles tangents, cercles sécants), est développée pour résoudre des problèmes complexes de familles de cercles partageant des propriétés communes.

Partie 2 : Géométrie Vectorielle, de l’Espace et Descriptive 🧊

Cette partie élève la réflexion géométrique à la troisième dimension. Elle consolide la maîtrise des vecteurs comme outils fondamentaux pour la physique et l’ingénierie, et introduit la géométrie descriptive pour la représentation plane rigoureuse des objets spatiaux. L’objectif est de développer une vision spatiale précise et la capacité de manipuler des objets 3D par le calcul et le dessin technique.

Chapitre 4 : Vecteurs et Produit Scalaire dans l’Espace (MM5.25, MM5.26)

4.1. Repérage et vecteurs de l’espace

L’extension du repérage au trièdre orthonormé  permet de définir les coordonnées  d’un point et les composantes d’un vecteur dans l’espace. La section généralise les notions de colinéarité, de coplanarité et de base vectorielle. Elle établit la relation de Chasles dans l’espace et les propriétés algébriques de l’addition vectorielle et de la multiplication par un scalaire.

4.2. Norme et distances dans l’espace

Ce point définit la norme euclidienne d’un vecteur dans l’espace à partir de ses composantes. Il dérive la formule de la distance entre deux points dans l’espace tridimensionnel. Ces outils sont appliqués à la détermination de lieux géométriques simples comme la sphère et à la résolution de problèmes de longueurs dans des polyèdres réguliers.

4.3. Produit scalaire dans l’espace

La section transpose la définition du produit scalaire au contexte spatial, en utilisant à la fois l’expression analytique  et la définition géométrique impliquant le cosinus de l’angle. Les propriétés de bilinéarité et de symétrie sont réaffirmées. L’application du produit scalaire permet de calculer des angles entre vecteurs de l’espace et de projeter orthogonalement des vecteurs sur des axes ou des plans.

4.4. Orthogonalité et applications métriques

L’étude se focalise sur la condition d’orthogonalité de deux vecteurs (produit scalaire nul). Cette propriété est exploitée pour démontrer des théorèmes de géométrie spatiale, caractériser des vecteurs normaux à des plans et calculer des distances d’un point à un plan ou d’un point à une droite dans l’espace. La section prépare le terrain pour la géométrie analytique de l’espace en définissant l’orientation et les angles solides.

Chapitre 5 : Géométrie Descriptive – Incidences (MM5.29, MM5.30)

5.1. Principes de la projection et de l’épure

Cette section introduit les fondements de la méthode de Monge : la double projection orthogonale sur deux plans perpendiculaires (horizontal et frontal). Elle définit l’épure, la ligne de terre et la représentation du point par ses deux projections. La maîtrise de la lecture et de la construction d’épures constitue le socle de la communication technique et architecturale.

5.2. Intersection droite-plan et visibilité

L’analyse porte sur la détermination graphique du point de percée d’une droite dans un plan quelconque. La méthode des plans auxiliaires projetants est détaillée pour résoudre ce problème classique. La section aborde également la convention de visibilité, permettant de distinguer les parties cachées et visibles des objets représentés, compétence cruciale pour la représentation réaliste des structures.

5.3. Intersection de deux plans

Ce point traite de la construction de la droite d’intersection entre deux plans définis par leurs traces ou par des éléments géométriques (droites, points). La méthode s’appuie sur la recherche des points d’intersection des traces homologues ou l’utilisation de plans auxiliaires horizontaux ou frontaux. L’application concerne les toitures, les talus et les intersections de surfaces planes en génie civil.

5.4. Positions relatives droites et plans

L’étude classifie les positions relatives : parallélisme strict, inclusion et sécante. Elle fournit les critères graphiques pour identifier des droites parallèles, des plans parallèles, et une droite parallèle à un plan sur une épure. La section aborde également la perpendicularité en géométrie descriptive, un concept non intuitif nécessitant des théorèmes spécifiques de conservation ou non de l’angle droit en projection.

Chapitre 6 : Polyèdres et Sections Planes (MM5.31)

6.1. Représentation des polyèdres usuels

La section développe la représentation en épure des prismes, pyramides, cubes et tétraèdres. Elle insiste sur la mise en place correcte des bases, des arêtes latérales et la détermination rigoureuse de la visibilité des contours apparents. L’objectif est de visualiser la structure interne et externe des solides à partir de leurs projections planes.

6.2. Sections planes des prismes et pyramides

L’analyse se concentre sur la section d’un polyèdre par un plan quelconque. Les méthodes des arêtes latérales et des homologies sont explorées pour construire le polygone de section. Cette compétence est appliquée à la coupe des matériaux en menuiserie et en construction métallique, permettant de déterminer les formes réelles des faces coupées.

6.3. Vraies grandeurs et développement

Ce point enseigne les méthodes de rabattement, de rotation ou de changement de plan pour déterminer la vraie grandeur d’un segment, d’une face ou d’une section plane oblique par rapport aux plans de projection. Le développement des surfaces latérales des polyèdres tronqués est abordé, essentiel pour la fabrication de pièces en tôlerie ou en cartonnage.

6.4. Problèmes métriques sur les polyèdres

La section applique les acquis précédents au calcul de volumes, d’aires latérales et totales des solides simples et tronqués. Elle intègre la vérification graphique par la géométrie descriptive et la vérification numérique par la géométrie analytique spatiale, consolidant ainsi la double approche géométrique et calculatoire.

Partie 3 : Trigonométrie et Applications 📐

Cette dernière partie approfondit l’étude des fonctions circulaires et de leurs propriétés. Elle dépasse le cadre du triangle rectangle pour explorer la trigonométrie analytique, permettant la résolution d’équations complexes et l’étude de triangles quelconques. Ces outils sont indispensables pour la physique (ondes, électricité) et l’analyse mathématique.

Chapitre 7 : Formules Trigonométriques Fondamentales (MM5.32)

7.1. Formules d’addition et de soustraction

La section démontre et applique les formules de développement de ,  et . Ces identités permettent de calculer les valeurs exactes des lignes trigonométriques pour des angles composés et de simplifier des expressions complexes intervenant dans l’étude des oscillations et des ondes.

7.2. Formules de duplication et de linéarisation

L’étude s’étend aux formules de l’angle double (, , ) et aux formules de carnot (linéarisation des carrés). La section aborde également les formules de l’angle moitié, essentielles pour l’intégration et la résolution de certaines équations géométriques. La maîtrise de ces transformations est cruciale pour la simplification algébrique.

7.3. Transformation en  et équations paramétriques

Ce point présente les formules universelles exprimant le sinus, le cosinus et la tangente en fonction de . Cette technique de rationalisation est particulièrement puissante pour résoudre des équations trigonométriques ou pour calculer des intégrales de fonctions trigonométriques rationnelles.

7.4. Formules de Simpson et transformation somme-produit

La section développe les formules de transformation de produits en sommes et de sommes en produits (formules de Simpson). Ces outils sont appliqués à la factorisation d’expressions trigonométriques pour la résolution d’équations  et à l’étude des phénomènes de battements en acoustique ou en électricité.

Chapitre 8 : Équations et Inéquations Trigonométriques (MM5.33, MM5.34)

8.1. Équations élémentaires et réductibles

L’analyse débute par la résolution des équations de base (, , ) et la détermination de l’ensemble des solutions sur  ou sur un intervalle donné. Elle progresse vers les équations réductibles au second degré par changement de variable, nécessitant une bonne maîtrise des identités fondamentales.

8.2. Équations linéaires en sinus et cosinus

Cette section traite de la résolution de l’équation classique . La méthode de l’angle auxiliaire (transformation en une fonction sinus ou cosinus unique) est privilégiée. L’étude inclut la discussion de l’existence des solutions en fonction des paramètres ,  et  (condition ).

8.3. Équations homogènes et symétriques

Le point aborde les équations homogènes par rapport à  et , résolubles par division par une puissance de  pour se ramener à une équation en . Les équations symétriques en  et  sont traitées par le changement de variable  ou , illustrant des stratégies de résolution avancées.

8.4. Résolution des inéquations trigonométriques

La section finalise le chapitre par l’étude des inéquations trigonométriques élémentaires et composées. La résolution s’appuie systématiquement sur le cercle trigonométrique pour visualiser les arcs solutions. L’accent est mis sur l’écriture correcte des intervalles de solutions modulo , compétence délicate mais essentielle pour l’analyse de signes de fonctions dérivées.

Chapitre 9 : Résolution des Triangles et Applications (MM5.35)

9.1. Relations métriques dans le triangle rectangle

Rappel et approfondissement des relations dans le triangle rectangle, incluant les projections et les relations de hauteur. Cette section sert de base pour décomposer les triangles quelconques en triangles rectangles élémentaires pour la démonstration des théorèmes généraux.

9.2. Théorème des sinus (Loi des sinus)

La section énonce et démontre la loi des sinus : . Elle explore les cas d’application (deux angles et un côté, deux côtés et l’angle opposé) et discute le cas ambigu où deux solutions triangulaires sont possibles. L’application se fait dans des contextes de triangulation géodésique.

9.3. Théorème du cosinus (Loi des cosinus)

L’étude porte sur la loi des cosinus (généralisation du théorème de Pythagore) : . Ce théorème est appliqué pour résoudre un triangle connaissant trois côtés ou deux côtés et l’angle compris. La section inclut le calcul des médianes par le théorème de la médiane.

9.4. Applications topographiques et calcul d’aires

Ce dernier point intègre l’ensemble des outils trigonométriques pour résoudre des problèmes concrets d’arpentage : calcul de la distance entre deux points inaccessibles, mesure de la hauteur d’un édifice, calcul de l’aire d’un terrain triangulaire quelconque (formule de Héron, formule trigonométrique ). L’approche est résolument pratique et orientée vers l’ingénierie civile et la géographie.

Annexes

Bibliographie

Cette section liste les ouvrages de référence conformes au programme national, incluant les manuels de mathématiques agréés par le Ministère de l’Enseignement Primaire, Secondaire et Technique (MEPST), ainsi que les ouvrages classiques de géométrie et trigonométrie utilisés pour la conception du cours.

Index

L’index alphabétique recense les termes techniques, les théorèmes clés (Thalès, Pythagore, Al-Kashi, Simpson, etc.) et les concepts fondamentaux (produit scalaire, épure, rotation, etc.) pour permettre une navigation rapide et efficace dans le manuel.

Webographie

Une sélection rigoureuse de ressources numériques est proposée, comprenant des liens vers des simulateurs de géométrie dynamique (type GeoGebra), des plateformes de cours en ligne validées, et des bases de données d’exercices corrigés pour renforcer l’apprentissage autonome des élèves.