COURS DE MATHEMATIQUES, 3EME ANNEE DE L’ENSEIGNEMENT SECONDAIRE
Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC
Préliminaires
1. Avant-propos
Ce manuel, conçu pour la troisième année de l’enseignement secondaire, constitue le socle de fin du premier cycle, consolidant les acquis et ouvrant sur des notions mathématiques plus formelles. En parfaite adéquation avec le Programme National congolais, il vise à équiper l’élève d’outils d’analyse et de raisonnement robustes. L’ambition de cet ouvrage est de structurer la pensée de l’élève pour qu’il puisse non seulement résoudre des problèmes mathématiques, mais aussi modéliser, analyser et interpréter des situations complexes du monde réel, qu’il s’agisse de l’optimisation des flux économiques entre le port de Matadi et la capitale Kinshasa ou de l’analyse de données démographiques pour la planification sanitaire dans la province de la Tshopo.
2. Objectifs et Compétences Visées
Au terme de cette année charnière, l’élève doit avoir atteint une maîtrise affirmée de l’abstraction mathématique. Les compétences visées sont explicitement détaillées : la capacité à résoudre des systèmes d’équations et des inéquations pour modéliser des problèmes à plusieurs contraintes ; la maîtrise de la géométrie analytique pour traduire des problèmes géométriques en calculs algébriques ; l’aptitude à analyser les fonctions affines et de référence pour décrire des phénomènes de variation ; et une compréhension approfondie de l’analyse de données statistiques. Ce manuel structure l’acquisition de ces compétences pour préparer l’élève aux exigences du cycle supérieur et à une citoyenneté active et éclairée.
3. Démarche Pédagogique et Évaluation
La méthodologie adoptée est résolument active, favorisant la construction du savoir par l’élève lui-même. Chaque chapitre est initié par une situation-problème stimulante, ancrée dans un contexte congolais pertinent, qui crée un besoin intellectuel pour les nouveaux concepts à introduire. L’enseignant, en tant que médiateur, guide les élèves à travers les phases d’exploration, de conjecture, de validation et de conceptualisation. L’évaluation est conçue comme un processus continu et intégré à l’apprentissage. Elle combine des évaluations formatives, pour un ajustement en temps réel de l’enseignement, et des évaluations sommatives, qui mesurent le degré de maîtrise des compétences à travers des problèmes d’intégration complexes.
4. Révision des Acquis de la 2ème Année
Ce segment initial est une passerelle indispensable entre les acquis de la deuxième année et les nouveaux défis de la troisième. Il propose une révision structurée et approfondie du calcul littéral (développement, factorisation, identités remarquables), de la résolution d’équations du premier degré, de l’application des théorèmes de Pythagore et de Thalès, et de l’introduction à la trigonométrie et aux fonctions linéaires. Des exercices de synthèse permettent de réactiver ces compétences et de s’assurer que chaque élève dispose de la fondation solide requise pour aborder avec succès des concepts plus avancés comme les systèmes d’équations, les équations de droites et les fonctions affines.
Partie 1 : Activités Algébriques et Numériques 👑
Cette première partie étend considérablement le champ de l’algèbre et des nombres. L’élève découvre l’ensemble des nombres réels (ℝ), qui inclut les nombres irrationnels, complétant ainsi la droite numérique. Le calcul algébrique est porté à un niveau supérieur avec l’étude des polynômes et des fractions rationnelles, des objets mathématiques essentiels pour la modélisation. Les compétences en résolution de problèmes sont renforcées par l’introduction des inéquations et, surtout, des systèmes d’équations, qui permettent de traiter des situations impliquant plusieurs inconnues et plusieurs contraintes simultanément. Cette partie a pour objectif de donner à l’élève une aisance et une puissance de calcul qui le rendent capable de formaliser et de résoudre une large classe de problèmes quantitatifs.
Chapitre 1 : Calcul dans l’ensemble des réels (ℝ)
Ce chapitre vise à finaliser la construction des ensembles de nombres en introduisant les nombres réels. L’élève comprend que les rationnels ne suffisent pas à mesurer toutes les longueurs et découvre une nouvelle catégorie de nombres.
1.1. Nombres irrationnels et ensemble ℝ
L’insuffisance de l’ensemble ℚ est mise en évidence par des exemples comme la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 () ou le périmètre d’un cercle de diamètre 1 (). Ces nombres, qui ne peuvent s’écrire sous forme de fraction, sont appelés irrationnels. L’union des rationnels et des irrationnels forme l’ensemble des nombres réels (ℝ), qui correspond à l’ensemble de tous les points de la droite graduée.
1.2. Ordre dans ℝ et intervalles
Les règles de comparaison et les propriétés des inégalités sont étendues à l’ensemble des réels. La notation des intervalles (bornés, ouverts, fermés, semi-ouverts) est introduite comme une manière efficace de désigner des sous-ensembles de ℝ. L’élève apprend à représenter ces intervalles sur la droite numérique et à utiliser les symboles d’union (∪) et d’intersection (∩).
1.3. Valeur absolue et distance sur la droite réelle
La valeur absolue d’un nombre réel est définie comme sa distance à zéro sur la droite numérique. Ses propriétés algébriques sont étudiées. Cette notion permet de définir la distance entre deux nombres réels et comme étant . Ces concepts sont fondamentaux pour l’analyse mathématique supérieure.
1.4. Racines carrées et calculs avec radicaux
Le calcul avec les racines carrées est approfondi. Des techniques comme la simplification de radicaux et l’expression d’un quotient avec un dénominateur entier (en utilisant l’expression conjuguée) sont enseignées. L’élève apprend à effectuer des additions, soustractions et multiplications d’expressions contenant des racines carrées.
Chapitre 2 : Calcul Algébrique : Polynômes et Fractions Rationnelles
Ce chapitre systématise et étend le calcul littéral vu en deuxième année, en introduisant formellement les notions de polynôme et de fraction rationnelle.
2.1. Opérations sur les polynômes
Un polynôme est défini comme une somme de monômes. L’élève apprend à effectuer les opérations de base sur les polynômes : addition, soustraction et multiplication. Une attention particulière est portée à la réduction et à l’ordonnancement des polynômes selon les puissances décroissantes de la variable.
2.2. Factorisation de polynômes
La factorisation, déjà abordée, est étendue à des cas plus complexes. En plus de la mise en évidence d’un facteur commun et de l’utilisation des identités remarquables, des techniques de factorisation de trinômes du second degré simples sont introduites, préparant le terrain pour la résolution d’équations quadratiques.
2.3. Fractions rationnelles : définition et simplification
Une fraction rationnelle est définie comme le quotient de deux polynômes. L’élève apprend que, comme pour les fractions numériques, une fraction rationnelle doit être définie sur un domaine où son dénominateur est non nul. La simplification de ces fractions passe par la factorisation du numérateur et du dénominateur.
2.4. Opérations sur les fractions rationnelles
Les opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sont étendues aux fractions rationnelles. L’addition et la soustraction requièrent la mise au même dénominateur, ce qui implique la recherche d’un plus petit commun multiple de polynômes, une compétence technique exigeante.
Chapitre 3 : Équations et Inéquations du Premier Degré
Ce chapitre approfondit la résolution d’équations et introduit un nouvel outil, les inéquations, qui permettent de modéliser des problèmes de comparaison et de contraintes (supérieur à, inférieur à).
3.1. Équations se ramenant au premier degré
L’élève apprend à résoudre des équations plus complexes que celles vues en deuxième année. Cela inclut les équations-produits nuls (), qui se résolvent en annulant chaque facteur, et les équations rationnelles simples, qui se ramènent à une équation du premier degré après mise au même dénominateur et simplification.
3.2. Inéquations du premier degré à une inconnue
Une inéquation est introduite et les règles de résolution sont établies. L’élève apprend la règle cruciale du changement de sens de l’inégalité lors d’une multiplication ou d’une division par un nombre négatif. L’ensemble des solutions est présenté sous forme d’intervalle et représenté sur la droite numérique.
3.3. Tableaux de signes
Pour résoudre des inéquations-produits ou des inéquations-quotients, l’étude du signe d’une expression est nécessaire. La méthode du tableau de signes est introduite : on étudie le signe de chaque facteur séparément, puis on applique la règle des signes pour déterminer le signe global de l’expression.
3.4. Résolution de problèmes concrets
Cette section applique les équations et les inéquations à des problèmes de modélisation. Un exemple concret pourrait être de déterminer le nombre minimum d’articles à vendre pour qu’une coopérative de femmes à Gbadolite réalise un bénéfice, en modélisant les revenus et les coûts par des expressions du premier degré.
Chapitre 4 : Systèmes d’Équations du Premier Degré à Deux Inconnues
Ce chapitre introduit un outil puissant pour résoudre des problèmes où plusieurs quantités inconnues sont liées par plusieurs relations.
4.1. Modélisation et mise en système
Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues est présenté. L’élève apprend à traduire un problème concret, impliquant deux inconnues, en un tel système. Par exemple, trouver le prix d’un sac de riz et d’un bidon d’huile à Mbandaka, connaissant le coût total de deux achats différents.
4.2. Résolution par substitution
La méthode de substitution est la première technique de résolution algébrique enseignée. Elle consiste à exprimer une inconnue en fonction de l’autre dans une des équations, puis à substituer cette expression dans la seconde équation, ce qui la ramène à une équation à une seule inconnue.
4.3. Résolution par combinaisons linéaires (addition)
La méthode des combinaisons linéaires est une technique souvent plus efficace. Elle consiste à multiplier les équations par des coefficients choisis de manière à ce que l’addition (ou la soustraction) des deux équations fasse disparaître l’une des inconnues.
4.4. Interprétation graphique
L’élève découvre que chaque équation du premier degré à deux inconnues est l’équation d’une droite dans le plan. Résoudre le système revient donc à trouver les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites. Cette approche visuelle permet d’interpréter les différents cas possibles : une solution unique (droites sécantes), aucune solution (droites parallèles) ou une infinité de solutions (droites confondues).
Partie 2 : Activités Géométriques 📈
Cette deuxième partie du programme révolutionne l’approche de la géométrie en introduisant la géométrie analytique, qui établit un pont entre l’algèbre et la géométrie. Grâce à l’utilisation d’un repère orthonormé, les objets géométriques (points, droites, cercles) peuvent être décrits par des coordonnées et des équations. Les problèmes géométriques de distance, de parallélisme ou de perpendicularité se traduisent alors en calculs algébriques. L’étude des propriétés du cercle est approfondie, avec notamment les relations entre angles et arcs. Enfin, le chapitre sur les transformations est complété par l’étude de la rotation, permettant à l’élève de maîtriser l’ensemble des isométries planes de base.
Chapitre 5 : Géométrie dans un Repère Orthonormé
Ce chapitre établit les fondations de la géométrie analytique, en apprenant à utiliser les coordonnées pour décrire et analyser des figures géométriques.
5.1. Repérage et coordonnées
Le concept de repère orthonormé (deux axes perpendiculaires avec la même unité) est solidement établi. L’élève s’exerce à placer des points donnés par leurs coordonnées (abscisse, ordonnée) et à lire les coordonnées de points placés dans le repère.
5.2. Calcul de la distance entre deux points
La formule de la distance, , est établie en utilisant le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle judicieusement construit. L’élève apprend à appliquer cette formule pour calculer la longueur de n’importe quel segment dans le plan repéré.
5.3. Coordonnées du milieu d’un segment
Les formules donnant les coordonnées du milieu d’un segment, et , sont introduites et justifiées. Cette formule est un outil de base pour de nombreuses constructions et démonstrations.
5.4. Applications aux figures géométriques
Les formules de distance et de milieu sont utilisées pour résoudre des problèmes de géométrie par le calcul. L’élève apprend à démontrer la nature d’un triangle (isocèle, rectangle) ou d’un quadrilatère (parallélogramme, losange) en calculant les longueurs des côtés et des diagonales à partir des coordonnées de ses sommets. Un exemple serait de vérifier la forme rectangulaire d’une parcelle de terrain à Lubumbashi à partir des coordonnées GPS de ses coins.
Chapitre 6 : Équations de Droites
Ce chapitre établit le lien fondamental entre un objet géométrique, la droite, et un objet algébrique, l’équation du premier degré.
6.1. Le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine
L’équation réduite d’une droite, , est introduite. L’interprétation géométrique de ses coefficients est au cœur de la leçon : , le coefficient directeur, mesure la pente (l’inclinaison) de la droite, tandis que , l’ordonnée à l’origine, indique le point d’intersection avec l’axe des ordonnées.
6.2. Détermination de l’équation d’une droite
L’élève apprend les différentes méthodes pour déterminer l’équation d’une droite : à partir de deux points donnés, ou à partir d’un point et du coefficient directeur. La colinéarité des vecteurs est introduite comme un outil puissant pour établir ces équations.
6.3. Parallélisme et perpendicularité
Les conditions algébriques pour le parallélisme et la perpendicularité de deux droites sont établies. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur (). Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1 ().
6.4. Droites et systèmes d’équations
Le lien entre les systèmes d’équations et l’intersection des droites est approfondi. La résolution d’un système est interprétée comme la recherche du point d’intersection. L’équation cartésienne d’une droite, , est également introduite, montrant le lien direct avec la forme générale des équations dans un système.
Chapitre 7 : Géométrie du Cercle
Ce chapitre va au-delà de la simple définition du cercle pour explorer les relations métriques et angulaires qui le caractérisent.
7.1. Tangente à un cercle
La tangente en un point d’un cercle est définie comme l’unique droite qui touche le cercle en ce seul point. La propriété fondamentale est établie : la tangente en un point d’un cercle est perpendiculaire au rayon qui aboutit à ce point. L’élève apprend à construire la tangente à un cercle.
7.2. Angle au centre et angle inscrit
Les notions d’angle au centre (sommet au centre du cercle) et d’angle inscrit (sommet sur le cercle) qui interceptent le même arc sont définies. Le théorème de l’angle inscrit est établi : la mesure d’un angle inscrit est la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc.
7.3. Applications du théorème de l’angle inscrit
Plusieurs conséquences importantes de ce théorème sont explorées : deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure ; tout triangle inscrit dans un cercle et ayant un côté pour diamètre est un triangle rectangle.
7.4. Polygones réguliers
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont la même mesure. L’élève découvre que tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle. Des méthodes de construction du triangle équilatéral, du carré et de l’hexagone régulier à la règle et au compas sont étudiées.
Chapitre 8 : Transformations Géométriques Avancées
Ce chapitre complète l’étude des transformations planes de base en introduisant la rotation, ce qui permet à l’élève de disposer d’une vision complète des isométries.
8.1. La rotation : définition et propriétés
La rotation est définie par un centre, un angle et un sens (horaire ou antihoraire). Elle « fait tourner » la figure autour du centre. L’élève apprend à construire l’image d’un point et d’une figure simple par une rotation. Les propriétés de conservation (longueurs, angles, aires) sont mises en évidence.
8.2. Composition de transformations
L’élève explore ce qui se passe lorsqu’on applique plusieurs transformations successivement. Par exemple, la composée de deux symétries axiales d’axes parallèles est une translation, et celle de deux symétries d’axes sécants est une rotation.
8.3. L’homothétie
L’homothétie, déjà entrevue avec Thalès, est formalisée comme une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d’un centre et d’un rapport. L’élève étudie ses propriétés, notamment son effet sur les longueurs, les aires et les volumes, et la conservation du parallélisme.
8.4. Problèmes de construction et de reconnaissance
Cette section propose des problèmes de synthèse où l’élève doit utiliser les propriétés des différentes transformations (translations, rotations, symétries, homothéties) pour analyser des frises, des pavages ou pour réaliser des constructions géométriques complexes.
Partie 3 : Fonctions et Organisation des Données 🌐
Cette dernière partie du programme a pour but de développer la capacité de l’élève à modéliser des relations entre variables et à analyser des données de manière critique. L’étude des fonctions, initiée en deuxième année avec le cas linéaire, est étendue aux fonctions affines, qui modélisent une vaste gamme de phénomènes de croissance linéaire avec une condition initiale. Une première exploration des fonctions de référence non linéaires (carré, inverse) ouvre la voie à la modélisation de phénomènes plus complexes. En statistique, les outils d’analyse sont affinés avec l’introduction des indicateurs de dispersion comme les quartiles. Enfin, le calcul des probabilités est consolidé par l’étude d’expériences à plusieurs étapes, préparant l’élève à une meilleure compréhension du hasard et du risque.
Chapitre 9 : Fonctions Affines
Ce chapitre généralise l’étude des fonctions linéaires et constitue un outil de modélisation essentiel dans de nombreux domaines (économie, physique, etc.).
9.1. Définition et représentation graphique
Une fonction affine est définie par une expression de la forme . L’élève découvre que sa représentation graphique est une droite. Le rôle des coefficients est analysé : est le coefficient directeur (la pente) et est l’ordonnée à l’origine. Le cas des fonctions linéaires () et des fonctions constantes () est revu dans ce cadre plus général.
9.2. Détermination d’une fonction affine
L’élève apprend à déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de diverses informations : graphiquement, à partir de la pente et de l’ordonnée à l’origine, ou par le calcul, à partir des images de deux nombres distincts, ce qui revient à résoudre un petit système d’équations.
9.3. Sens de variation
Le lien entre le signe du coefficient directeur et le sens de variation de la fonction est établi. Si , la fonction est croissante (la droite « monte »). Si , la fonction est décroissante (la droite « descend »). L’élève apprend à dresser le tableau de variation d’une fonction affine.
9.4. Signe d’une fonction affine
Étudier le signe de revient à résoudre l’inéquation . L’élève apprend à trouver la valeur qui annule l’expression et à déterminer l’intervalle où la fonction est positive et celui où elle est négative. Ces résultats sont résumés dans un tableau de signes, un outil qui sera largement réutilisé.
Chapitre 10 : Notions de Fonctions de Référence
Ce chapitre offre une première ouverture sur le monde des fonctions non linéaires, en introduisant deux exemples fondamentaux.
10.1. La fonction carré
La fonction « carré » est définie par . L’élève étudie ses propriétés : elle est toujours positive, elle est décroissante sur les nombres négatifs et croissante sur les nombres positifs. Sa représentation graphique, la parabole, est tracée et ses éléments de symétrie sont mis en évidence.
10.2. La fonction inverse
La fonction « inverse » est définie par . Son domaine de définition (tous les réels sauf 0) est mis en évidence. L’élève découvre que cette fonction est toujours décroissante sur chacun des deux intervalles où elle est définie. Sa représentation graphique, l’hyperbole, est introduite.
10.3. Résolution graphique d’équations et d’inéquations
L’élève apprend à utiliser les représentations graphiques des fonctions pour résoudre des équations (du type ) et des inéquations (du type ). La solution est interprétée comme l’abscisse des points d’intersection ou des points de la courbe situés en dessous/au-dessus d’une certaine ligne.
10.4. Modélisation de situations simples
Cette section montre comment ces fonctions de référence peuvent modéliser des situations réelles. La fonction carré peut modéliser l’aire d’un carré en fonction de son côté. La fonction inverse peut modéliser le temps de parcours en fonction de la vitesse pour une distance fixe entre, par exemple, Bukavu et Goma.
Chapitre 11 : Statistique Descriptive Approfondie
Ce chapitre enrichit les outils d’analyse de séries statistiques, en se concentrant sur les indicateurs de dispersion qui décrivent comment les données s’étalent autour de la tendance centrale.
11.1. Caractéristiques de dispersion : quartiles et écart interquartile
Les quartiles ( et ) sont définis comme les valeurs qui divisent la série de données ordonnée en quatre groupes de même effectif. L’écart interquartile () est introduit comme une mesure de la dispersion des 50% de valeurs centrales, moins sensible aux valeurs extrêmes que l’étendue.
11.2. Le diagramme en boîte (boîte à moustaches)
Le diagramme en boîte est une représentation graphique qui synthétise une série statistique en utilisant cinq valeurs clés : le minimum, le premier quartile (), la médiane, le troisième quartile () et le maximum. L’élève apprend à construire et à interpréter ce diagramme, qui permet de visualiser rapidement la dispersion et la symétrie des données.
11.3. Comparaison de séries statistiques
Les outils statistiques (moyenne, médiane, quartiles, diagrammes en boîte) sont utilisés pour comparer deux ou plusieurs séries de données. Par exemple, comparer les notes de deux classes différentes, ou la production de deux sites miniers dans la province du Lualaba.
11.4. Effet d’une transformation affine sur les caractéristiques
Cette section explore comment les caractéristiques d’une série (moyenne, écart-type) sont modifiées lorsqu’on applique une transformation affine à toutes les données (par exemple, si on augmente toutes les notes de 10%).
Chapitre 12 : Probabilités et Dénombrement
Ce chapitre consolide les notions de probabilité en s’intéressant à des expériences aléatoires composées de plusieurs étapes.
12.1. Expériences aléatoires à deux épreuves
Des expériences comme le lancer de deux dés ou le tirage successif de deux boules dans une urne sont étudiées. L’élève apprend à représenter toutes les issues possibles à l’aide d’un tableau à double entrée ou d’un arbre de probabilités.
12.2. Utilisation de l’arbre de probabilités
L’arbre de probabilités (ou arbre pondéré) est un outil puissant pour calculer des probabilités dans des expériences à plusieurs étapes. L’élève apprend la règle de calcul des probabilités le long d’un chemin (produit des probabilités) et pour obtenir la probabilité totale d’un événement (somme des probabilités des chemins menant à cet événement).
12.3. Événements et opérations
Le vocabulaire des événements est enrichi : intersection (« A et B »), union (« A ou B »), événement contraire (« non A »). Les formules de base, comme , sont introduites dans des cas simples.
12.4. Simulations et estimation de probabilités
L’élève découvre que la probabilité d’un événement peut être estimée par la fréquence d’apparition de cet événement lors d’un grand nombre de répétitions de l’expérience. Le principe de la simulation (manuelle ou informatique) est introduit comme une méthode pratique pour approcher des probabilités difficiles à calculer.
Annexes
1. Formulaire de Synthèse
Cette annexe constitue un aide-mémoire complet des formules et théorèmes essentiels du premier cycle du secondaire. Elle inclut les identités remarquables, les formules de géométrie analytique (distance, milieu), les conditions de parallélisme et de perpendicularité, les théorèmes du cercle, les propriétés des fonctions de référence, et les formules statistiques de base. C’est un outil indispensable pour les révisions de fin de cycle.
2. Fiches Méthodologiques
Cette section propose des fiches pratiques décrivant pas à pas les méthodes de résolution pour les tâches les plus complexes de l’année : comment résoudre un système d’équations, comment déterminer l’équation d’une droite, comment construire un tableau de signes, comment calculer les quartiles d’une série, comment utiliser un arbre de probabilités, etc. Ces fiches servent de guide procédural pour l’élève.
3. Lexique Thématique
Un lexique approfondi définit tous les termes techniques introduits durant les trois années du premier cycle. Organisé par thèmes (algèbre, géométrie, fonctions, statistiques), il permet à l’élève de revoir et de maîtriser le vocabulaire précis et rigoureux des mathématiques, une condition essentielle pour la réussite dans le cycle supérieur.
4. Problèmes d’Intégration et Corrigés
Cette dernière annexe propose une série de problèmes de synthèse transversaux, du type de ceux rencontrés lors des examens de fin de cycle. Ces problèmes exigent la mobilisation de compétences issues de différents chapitres. Des corrigés détaillés sont fournis, mettant l’accent non seulement sur la solution, mais aussi sur la démarche de modélisation, la stratégie de résolution et la qualité de la rédaction.