COURS DE MATHEMATIQUES, 4EME ANNEE DE L’ENSEIGNEMENT SECONDAIRE
Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC
Préliminaires
1. Avant-propos
Ce manuel, spécifiquement conçu pour la quatrième année de l’enseignement secondaire, marque l’entrée de l’élève dans le cycle long et pré-universitaire. Il est scrupuleusement aligné sur le Programme National de la République Démocratique du Congo et vise à opérer la transition d’un savoir mathématique appliqué vers une compréhension plus formelle et structurée de la discipline. L’objectif de cet ouvrage est de forger des esprits capables de raisonnement abstrait et de démonstration rigoureuse, des compétences indispensables pour aborder les études supérieures scientifiques et techniques et pour contribuer à l’innovation dans des secteurs clés pour le pays, de l’ingénierie civile à Kinshasa à la modélisation des écosystèmes dans le parc de la Salonga.
2. Objectifs et Compétences Visées
Au terme de cette année d’étude, l’élève devra faire preuve d’une maturité mathématique accrue. Les compétences ciblées incluent la maîtrise complète de l’étude des polynômes du second degré, tant sur le plan algébrique que graphique ; la capacité à analyser une fonction numérique (domaine de définition, parité, variations) ; l’utilisation experte du produit scalaire pour résoudre des problèmes de géométrie métrique et analytique ; et la généralisation de la trigonométrie au cercle. Cette section détaille chaque compétence en termes de savoirs théoriques, de procédures techniques et d’aptitudes au raisonnement logique que l’élève doit maîtriser.
3. Démarche Pédagogique et Logique du Raisonnement
La démarche pédagogique de ce manuel accentue la primauté du raisonnement déductif et de la démonstration. Si l’approche par situations-problèmes reste un moteur pour introduire les concepts, une part importante de l’apprentissage est consacrée à la construction de preuves logiques et à la justification de chaque étape d’un calcul ou d’une argumentation. L’enseignant est invité à guider les élèves dans l’art de la conjecture et de la validation, en les encourageant à passer de l’intuition à la certitude mathématique. Une section dédiée à la logique formelle (implication, équivalence, contraposée, raisonnement par l’absurde) est intégrée pour outiller l’élève dans cette quête de rigueur.
4. Révision des Acquis du Premier Cycle
Ce segment initial assure une transition robuste en consolidant les notions fondamentales acquises durant les trois premières années. Une révision approfondie est proposée sur les systèmes d’équations, la géométrie analytique de la droite, les fonctions affines, et les calculs dans l’ensemble des nombres réels. Des exercices de synthèse permettent de vérifier la maîtrise de ces prérequis et de s’assurer que l’élève possède le socle technique et conceptuel nécessaire pour aborder avec succès les chapitres exigeants du programme de quatrième année, notamment l’étude du second degré et l’introduction du produit scalaire.
Partie 1 : Algèbre et Analyse 
Cette première partie du programme plonge l’élève au cœur de l’analyse mathématique et de l’algèbre des polynômes. Le chapitre central est consacré à l’étude exhaustive des fonctions et équations du second degré, un outil de modélisation fondamental en physique et en économie. Parallèlement, le concept de fonction, abordé de manière élémentaire les années précédentes, est formalisé. L’élève apprend à mener une étude générale des fonctions numériques, en analysant leur domaine de définition, leur parité, leur monotonie et leurs extremums. Cette partie vise à développer une compréhension profonde des relations entre les expressions algébriques, leurs représentations graphiques et les phénomènes de variation qu’elles décrivent, fournissant ainsi les bases de l’analyse fonctionnelle.
Chapitre 1 : Le Second Degré
Ce chapitre est entièrement dédié à l’étude des polynômes du second degré, dont les applications sont omniprésentes en sciences (trajectoires, optimisation).
1.1. Forme canonique d’un trinôme
Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous une forme unique appelée forme canonique : . L’élève apprend la technique de mise sous forme canonique (par complétion du carré) et découvre l’intérêt de cette écriture pour déterminer les caractéristiques de la fonction, notamment ses extremums.
1.2. Équation du second degré et discriminant
La résolution de l’équation est systématisée grâce à l’introduction du discriminant . L’élève apprend à calculer le discriminant et à utiliser son signe pour déterminer le nombre de solutions réelles de l’équation. Les formules donnant les solutions (les racines du polynôme) sont établies et mémorisées.
1.3. Signe d’un trinôme et inéquations
Le signe du trinôme est étudié en fonction du signe du coefficient et des racines éventuelles. L’élève apprend à dresser le tableau de signes d’un trinôme, un outil qui lui permet de résoudre de manière systématique les inéquations du second degré.
1.4. Représentation graphique et applications
La représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole. L’élève apprend à déterminer les coordonnées de son sommet , son axe de symétrie, et ses points d’intersection avec les axes. Des problèmes d’optimisation, comme la recherche de la surface maximale d’un enclos agricole près de Mweka au Kasaï pour un périmètre donné, sont utilisés pour appliquer ces connaissances.
Chapitre 2 : Généralités sur les Fonctions Numériques
Ce chapitre formalise l’étude des fonctions, en introduisant le vocabulaire et les concepts qui permettent une analyse rigoureuse de n’importe quelle fonction.
2.1. Domaine de définition et parité
Le domaine de définition d’une fonction est défini comme l’ensemble des valeurs pour lesquelles l’image peut être calculée. L’élève apprend à déterminer le domaine de définition pour des fonctions usuelles (exclure les valeurs qui annulent un dénominateur ou qui rendent négative une expression sous une racine carrée). La notion de parité (fonctions paires et impaires) et son interprétation graphique (symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ou à l’origine) sont introduites.
2.2. Sens de variation et extremums
Le sens de variation d’une fonction (croissante, décroissante, constante) sur un intervalle est défini formellement. L’élève apprend à construire le tableau de variations d’une fonction, qui résume son comportement. Les notions de maximum et de minimum (extremums) local et global sont également définies.
2.3. Fonctions associées
À partir d’une fonction de référence , l’élève étudie l’effet de transformations géométriques simples sur sa courbe représentative. Les courbes des fonctions , , et sont déduites de celle de par des translations ou des symétries.
2.4. Composition de fonctions
La composition de deux fonctions () est introduite comme l’application successive de ces deux fonctions. L’élève apprend à déterminer l’expression de la fonction composée et étudie comment les sens de variation des fonctions de base se combinent pour déterminer le sens de variation de la composée.
Chapitre 3 : Étude de Fonctions de Référence
Ce chapitre approfondit l’étude des fonctions de base qui servent de briques élémentaires pour construire et analyser des fonctions plus complexes.
3.1. Fonctions affines, carré et inverse
Les propriétés des fonctions affines, carré et inverse, déjà rencontrées, sont révisées et consolidées dans le cadre formel de l’analyse de fonction (domaine, parité, tableau de variations complet).
3.2. La fonction racine carrée
La fonction est étudiée en détail. Son domaine de définition (), son sens de variation (strictement croissante) et sa représentation graphique sont établis.
3.3. La fonction valeur absolue
La fonction est définie et étudiée. Sa représentation graphique, constituée de deux demi-droites, est analysée. L’élève apprend à résoudre des équations et inéquations simples faisant intervenir la valeur absolue.
3.4. Comparaison de fonctions
L’élève apprend à comparer deux fonctions et en étudiant le signe de leur différence . L’interprétation graphique de l’inégalité (la courbe de est au-dessus de la courbe de ) est systématiquement utilisée pour résoudre des inéquations graphiquement.
Chapitre 4 : Inéquations et Systèmes d’Inéquations
Ce chapitre est consacré à la résolution de problèmes plus complexes faisant intervenir des inéquations, notamment ceux qui se traduisent par des systèmes ou qui impliquent des fonctions non linéaires.
4.1. Inéquations produits et quotients
La méthode du tableau de signes, déjà vue pour le second degré, est généralisée à des produits et quotients de plusieurs facteurs du premier et du second degré. L’élève acquiert une méthode systématique et fiable pour résoudre une large classe d’inéquations.
4.2. Systèmes d’inéquations à une inconnue
Résoudre un système d’inéquations à une inconnue consiste à trouver l’ensemble des nombres qui sont solutions de toutes les inéquations simultanément. L’élève apprend à trouver cet ensemble en résolvant chaque inéquation séparément, puis en cherchant l’intersection des ensembles de solutions.
4.3. Inéquations à deux inconnues
Une inéquation du premier degré à deux inconnues, comme , a pour solution un demi-plan délimité par la droite d’équation . L’élève apprend à représenter graphiquement cet ensemble de solutions.
4.4. Systèmes d’inéquations à deux inconnues et programmation linéaire
La résolution graphique d’un système d’inéquations à deux inconnues est abordée : la solution est l’intersection des demi-plans correspondant à chaque inéquation. Cette technique est la base de la programmation linéaire, utilisée pour des problèmes d’optimisation sous contraintes, par exemple, pour maximiser la production d’une usine à Lubumbashi avec des ressources limitées.
Partie 2 : Géométrie et Vecteurs 
Cette deuxième partie du programme introduit un outil vectoriel extrêmement puissant, le produit scalaire, qui enrichit la géométrie en y ajoutant des capacités de calcul d’angles et de longueurs, et de caractérisation de l’orthogonalité. La géométrie analytique, déjà abordée, est approfondie avec l’étude de l’équation du cercle et des applications plus complexes des vecteurs. Parallèlement, un chapitre est consacré à la logique et au raisonnement mathématique, afin de doter l’élève des outils formels nécessaires pour construire et rédiger des démonstrations rigoureuses. Cette partie vise à unifier la géométrie vectorielle, la géométrie analytique et le raisonnement déductif.
Chapitre 5 : Le Produit Scalaire
Ce chapitre introduit une nouvelle opération sur les vecteurs, le produit scalaire, qui, contrairement à la somme de vecteurs, ne donne pas un vecteur mais un nombre réel (un scalaire).
5.1. Définitions du produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs et est introduit à travers plusieurs définitions équivalentes : la définition par les normes et l’angle (), et la définition par la projection orthogonale. L’élève apprend à choisir la définition la plus adaptée à une situation donnée.
5.2. Propriétés du produit scalaire
Les propriétés algébriques du produit scalaire sont établies : symétrie, bilinéarité. Le lien avec la norme est formalisé par la relation . Ces propriétés permettent de développer des expressions scalaires de manière analogue au calcul algébrique.
5.3. Expression analytique du produit scalaire
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire a une expression analytique très simple : si et , alors . Cette formule rend les calculs de produit scalaire extrêmement efficaces et constitue un pont majeur entre la géométrie vectorielle et la géométrie analytique.
5.4. Orthogonalité de deux vecteurs
La conséquence la plus importante du produit scalaire est la caractérisation de l’orthogonalité. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. L’élève apprend à utiliser cette propriété pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires ou qu’un triangle est rectangle.
Chapitre 6 : Applications du Produit Scalaire
Ce chapitre explore les multiples applications du produit scalaire pour résoudre des problèmes de géométrie métrique.
6.1. Calcul de longueurs et d’angles
Grâce à ses différentes expressions, le produit scalaire devient un outil de calcul. La formule analytique permet de calculer la norme d’un vecteur et la distance entre deux points. La formule avec le cosinus permet de calculer la mesure d’un angle à partir des coordonnées des points.
6.2. Théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus)
Le théorème d’Al-Kashi, qui généralise le théorème de Pythagore à un triangle quelconque, est démontré à l’aide du produit scalaire. Il permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle connaissant les deux autres et l’angle compris entre eux.
6.3. Équation d’une droite et vecteur normal
Un vecteur normal à une droite est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite. L’élève apprend que si une droite a pour équation cartésienne , alors le vecteur est un vecteur normal à cette droite. Cette propriété offre une nouvelle méthode pour déterminer des équations de droites.
6.4. Applications physiques : le travail d’une force
Le concept physique du travail d’une force constante lors d’un déplacement est introduit comme une application directe du produit scalaire : . Cette contextualisation donne un sens physique concret à cette opération mathématique.
Chapitre 7 : Géométrie Analytique Approfondie
Ce chapitre étend l’utilisation des coordonnées et des vecteurs à l’étude du cercle et à la résolution de problèmes géométriques plus complexes.
7.1. Équation cartésienne d’un cercle
L’équation d’un cercle est établie à partir de sa définition géométrique. Le cercle de centre et de rayon a pour équation . L’élève apprend à déterminer l’équation d’un cercle et, inversement, à retrouver son centre et son rayon à partir de l’équation.
7.2. Vecteur directeur d’une droite
La notion de vecteur directeur est approfondie. L’élève apprend à lire un vecteur directeur à partir d’une équation cartésienne et à utiliser la colinéarité de deux vecteurs pour établir des équations de droites et résoudre des problèmes d’alignement.
7.3. Représentation paramétrique d’une droite
Une nouvelle façon de décrire une droite est introduite : la représentation paramétrique, qui exprime les coordonnées d’un point de la droite en fonction d’un paramètre. Cette représentation est particulièrement utile en cinématique pour décrire des trajectoires.
7.4. Problèmes de synthèse en géométrie analytique
Cette section propose des problèmes complexes qui nécessitent la combinaison de tous les outils de la géométrie analytique : calculs de distances, équations de droites et de cercles, utilisation des vecteurs et du produit scalaire. Par exemple, déterminer l’intersection d’une droite et d’un cercle, ou trouver l’équation de la tangente à un cercle en un point.
Chapitre 8 : Logique et Raisonnement Mathématique
Ce chapitre, transversal, vise à donner aux élèves les outils de la logique formelle nécessaires pour construire des raisonnements rigoureux et valides.
8.1. Propositions, connecteurs logiques et tables de vérité
Les notions de proposition (assertion qui est soit vraie, soit fausse) et de connecteurs logiques (et, ou, non, implication, équivalence) sont introduites. Les tables de vérité sont utilisées pour définir rigoureusement ces connecteurs.
8.2. L’implication et l’équivalence
Une attention particulière est portée à la structure de l’implication (). Sa contraposée, sa réciproque et sa négation sont étudiées. L’équivalence () est définie comme une double implication.
8.3. Les différents types de raisonnement
Les principales formes de démonstration mathématique sont présentées et illustrées par des exemples : le raisonnement direct (déductif), le raisonnement par contraposition, le raisonnement par l’absurde et le raisonnement par récurrence (introduction).
8.4. Quantificateurs universel et existentiel
Les quantificateurs « quel que soit » () et « il existe » () sont introduits pour permettre l’écriture de propositions mathématiques de manière précise et non ambiguë. L’élève s’exerce à manipuler et à nier des propositions contenant des quantificateurs.
Partie 3 : Trigonométrie et Statistique 
Cette dernière partie du programme a un double objectif. D’une part, elle fait passer la trigonométrie de l’outil de calcul dans le triangle rectangle à une étude fonctionnelle complète. L’introduction du cercle trigonométrique et des radians permet de définir les fonctions sinus et cosinus pour n’importe quel nombre réel et d’étudier leurs propriétés, notamment leur périodicité. D’autre part, elle enrichit l’analyse de données en passant de la statistique à une variable à l’étude des relations entre deux variables statistiques. Finalement, les probabilités sont approfondies avec l’introduction du concept central de probabilité conditionnelle.
Chapitre 9 : Trigonométrie
Ce chapitre refonde complètement la trigonométrie, en la détachant du triangle pour l’ancrer dans le cercle unité, ce qui ouvre la voie à l’étude des phénomènes périodiques.
9.1. Le cercle trigonométrique et le radian
Le cercle trigonométrique (cercle de rayon 1, orienté) est introduit. Le radian est défini comme une nouvelle unité de mesure d’angle, plus naturelle pour l’analyse. L’élève apprend à convertir les degrés en radians et à se repérer sur le cercle trigonométrique.
9.2. Cosinus et sinus d’un nombre réel
À tout nombre réel , on associe un point unique sur le cercle trigonométrique. Le cosinus et le sinus de sont alors définis comme l’abscisse et l’ordonnée de ce point. Cette définition généralise celle vue dans le triangle rectangle et permet de définir et pour n’importe quelle valeur de .
9.3. Valeurs remarquables et angles associés
Les valeurs des cosinus et sinus pour les angles remarquables (0, , , , ) sont mémorisées. Les formules des angles associés (comme , , etc.) sont établies par des considérations de symétrie sur le cercle trigonométrique.
9.4. Les fonctions cosinus et sinus
Les fonctions et sont introduites. Leurs propriétés (domaine de définition, parité, périodicité) sont étudiées et leurs représentations graphiques (sinusoïdes) sont tracées et analysées.
Chapitre 10 : Formules et Équations Trigonométriques
Ce chapitre fournit les outils algébriques pour manipuler les expressions trigonométriques et résoudre des équations.
10.1. Formules d’addition et de duplication
Les formules d’addition pour le cosinus et le sinus (, ) sont établies. En découlent les formules de duplication (, ), qui sont des outils fondamentaux pour la simplification d’expressions et la résolution d’équations.
10.2. Résolution d’équations trigonométriques élémentaires
L’élève apprend à résoudre les équations de base de la forme et . La méthode consiste à trouver une solution particulière sur le cercle trigonométrique, puis à utiliser la périodicité et les symétries pour décrire l’ensemble de toutes les solutions.
10.3. Transformation d’expressions trigonométriques
Les formules d’addition et de duplication sont utilisées pour transformer des produits en sommes (linéarisation) et des sommes en produits. Ces techniques sont essentielles pour l’étude des signaux en physique ou pour le calcul intégral dans le supérieur.
10.4. Applications en géométrie
La trigonométrie est appliquée à des problèmes de géométrie au-delà du triangle rectangle. Le théorème du sinus est établi, reliant les longueurs des côtés d’un triangle au sinus de leurs angles opposés. Il permet de résoudre des triangles quelconques.
Chapitre 11 : Statistique à Deux Variables
Ce chapitre introduit l’étude des relations pouvant exister entre deux caractères statistiques mesurés sur une même population.
11.1. Nuage de points et point moyen
Lorsqu’on étudie deux variables quantitatives, les données se présentent sous la forme de couples . L’ensemble de ces couples est représenté graphiquement par un nuage de points. Le point moyen est défini comme le centre de gravité de ce nuage.
11.2. Corrélation linéaire
L’élève apprend à analyser visuellement la forme du nuage de points. Si les points semblent alignés, on parle de corrélation linéaire. La corrélation peut être positive (quand augmente, augmente) ou négative (quand augmente, diminue).
11.3. Ajustement affine par la méthode de Mayer
L’ajustement affine consiste à trouver une droite qui « passe au plus près » des points du nuage. La méthode de Mayer, simple et intuitive, est enseignée : on partage le nuage en deux groupes, on calcule le point moyen de chaque groupe, et la droite d’ajustement est la droite qui passe par ces deux points moyens.
11.4. Interpolation et extrapolation
Une fois la droite d’ajustement déterminée, son équation peut être utilisée pour faire des prévisions : estimer la valeur de pour une valeur de donnée (interpolation si est dans la plage des données, extrapolation si est en dehors). La fiabilité de ces prévisions est discutée. Un exemple d’application serait d’analyser la corrélation entre les investissements en engrais et le rendement du maïs dans la région de Bandundu.
Chapitre 12 : Probabilités Conditionnelles
Ce chapitre approfondit l’étude des probabilités en introduisant le concept fondamental de probabilité conditionnelle, qui permet de prendre en compte une information nouvelle pour actualiser un calcul de probabilité.
12.1. Définition de la probabilité conditionnelle
La probabilité de l’événement sachant que l’événement est réalisé, notée , est définie. L’élève apprend que cette notion correspond à un changement d’univers : on ne considère plus que les issues où est réalisé.
12.2. Arbres pondérés et formule des probabilités totales
Les arbres pondérés sont un outil visuel puissant pour organiser les données et calculer des probabilités dans des situations impliquant des conditionnements successifs. La formule des probabilités totales est établie et utilisée pour calculer la probabilité d’un événement en le décomposant selon plusieurs cas.
12.3. Indépendance de deux événements
Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre, ce qui se traduit par . La formule caractéristique de l’indépendance, , est établie et utilisée pour prouver ou infirmer l’indépendance de deux événements.
12.4. Épreuves successives et schémas de Bernoulli
L’élève étudie la répétition d’épreuves identiques et indépendantes. Un schéma de Bernoulli est introduit comme la répétition d’une épreuve n’ayant que deux issues (succès ou échec). C’est la première étape vers l’étude de la loi binomiale, un modèle probabiliste majeur.
Annexes
1. Formulaire Avancé
Cette annexe regroupe les formules techniques et les résultats importants de la quatrième année. Elle contient les formules du second degré (discriminant, racines), les principales formules de trigonométrie (addition, duplication), l’expression analytique du produit scalaire, et les formules de la géométrie analytique (distance, équation de cercle). C’est un outil de référence essentiel pour les exercices et les révisions.
2. Le Cercle Trigonométrique de Référence
Une page est dédiée à une représentation claire et complète du cercle trigonométrique, indiquant les valeurs en degrés et en radians pour les angles remarquables, ainsi que les lignes trigonométriques (cosinus et sinus) correspondantes. C’est un support visuel indispensable pour tous les chapitres de trigonométrie.
3. Lexique de Logique et de Raisonnement
Ce glossaire définit de manière précise les termes de la logique mathématique introduits dans le chapitre dédié : proposition, assertion, connecteur, implication, contraposée, quantificateur, etc. Il aide l’élève à maîtriser le métalangage nécessaire à la construction de démonstrations rigoureuses.
4. Problèmes de Synthèse et Corrigés
Cette section propose une série de problèmes transversaux exigeants, qui nécessitent de mobiliser et de combiner des compétences issues de plusieurs chapitres (par exemple, un problème de géométrie analytique dont la résolution passe par une équation du second degré). Des corrigés détaillés sont fournis, mettant l’accent sur la stratégie de résolution, la rigueur de la rédaction et la justification des étapes.