COURS DE GÉOMÉTRIE & TRIGONOMÉTRIE, 1ÈRE ANNÉE, OPTION HUMANITÉS SCIENTIFIQUES

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC

PRÉLIMINAIRES

I. Présentation du cours 📜

Ce cours établit les fondements de la géométrie euclidienne et de la trigonométrie plane. Il est structuré pour développer une pensée logique et une intuition spatiale rigoureuse, compétences essentielles pour les sciences appliquées. L’articulation progressive des concepts, allant des figures élémentaires aux outils vectoriels et trigonométriques, assure une base solide pour la modélisation et la résolution de problèmes complexes.

II. Objectifs généraux 🎯

L’objectif principal est de permettre à l’élève de maîtriser les propriétés des figures géométriques et d’utiliser les relations trigonométriques pour analyser des situations concrètes. Au terme de ce cours, il saura démontrer des théorèmes de géométrie, résoudre des triangles, manipuler des vecteurs et appliquer les fonctions trigonométriques à des problèmes de mesure indirecte.

III. Compétences visées 🧠

Ce programme vise le développement de compétences précises : construire des figures géométriques à la règle et au compas, appliquer des raisonnements déductifs pour prouver des propriétés, modéliser des problèmes spatiaux à l’aide de vecteurs, et utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre des équations.

IV. Méthode d’évaluation 📝

L’évaluation sera continue, combinant des exercices de construction géométrique, des interrogations sur la démonstration de théorèmes et des examens semestriels. Ces derniers incluront des situations-problèmes contextualisées, comme le calcul de la hauteur de la cathédrale Notre-Dame du Congo à Kinshasa par triangulation ou l’analyse vectorielle du déplacement d’une barge sur le fleuve Congo.

V. Matériel requis 📐

La pratique de la géométrie et de la trigonométrie requiert des instruments de précision. Chaque élève doit disposer d’un compas, d’une règle graduée, d’équerres, d’un rapporteur et d’une calculatrice scientifique. La qualité de ce matériel est un prérequis pour l’exactitude des constructions et des calculs.

PREMIÈRE PARTIE : GÉOMÉTRIE PLANE ÉLÉMENTAIRE

Cette partie établit les fondements de la géométrie euclidienne plane en développant les concepts de base nécessaires à la résolution de problèmes géométriques. Elle met l’accent sur les propriétés des figures planes, les relations métriques et les transformations, préparant ainsi les élèves à une approche rigoureuse de l’analyse géométrique. 🏛️

CHAPITRE 1 : POINTS, DROITES ET ANGLES

Ce chapitre introduit le vocabulaire et les axiomes de base qui constituent le langage de la géométrie.

1.1 Points et droites dans le plan

Les notions primitives de point, de droite et de plan sont présentées. Les axiomes d’incidence, tels que « par deux points distincts passe une et une seule droite », sont étudiés comme les piliers du raisonnement géométrique.

1.2 Positions relatives de droites

Les différentes configurations de deux droites dans un plan sont analysées : droites sécantes, parallèles et confondues. Les propriétés des droites perpendiculaires sont également examinées.

1.3 Angles et leurs classifications

Un angle est défini comme la figure formée par deux demi-droites de même origine. La classification des angles (aigu, droit, obtus, plat, plein) est établie en fonction de leur mesure.

1.4 Mesure et propriétés des angles

Les élèves apprennent à mesurer les angles en degrés. Les propriétés des angles adjacents, complémentaires, supplémentaires et opposés par le sommet sont démontrées et appliquées dans des exercices de calcul.

CHAPITRE 2 : TRIANGLES ET LEURS PROPRIÉTÉS

Ce chapitre se concentre sur le triangle, le polygone le plus simple, dont l’étude est fondamentale pour toute la géométrie.

2.1 Classification des triangles

Les triangles sont classifiés selon deux critères : la longueur de leurs côtés (équilatéral, isocèle, scalène) et la mesure de leurs angles (rectangle, acutangle, obtusangle).

2.2 Angles dans les triangles

Le théorème fondamental stipulant que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180° est démontré. Des corollaires, comme la propriété de l’angle extérieur, en sont déduits.

2.3 Inégalités triangulaires

L’inégalité triangulaire, qui stipule que la longueur d’un côté d’un triangle est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés, est étudiée comme une condition d’existence d’un triangle.

2.4 Droites remarquables du triangle

Les quatre types de droites remarquables (médianes, hauteurs, bissectrices, médiatrices) et leurs points de concours respectifs (centre de gravité, orthocentre, centre du cercle inscrit, centre du cercle circonscrit) sont définis et construits.

CHAPITRE 3 : QUADRILATÈRES ET POLYGONES

Ce chapitre étend l’étude des figures planes aux polygones ayant plus de trois côtés, en se focalisant sur les quadrilatères.

3.1 Quadrilatères particuliers

Les différentes familles de quadrilatères sont présentées à travers leurs définitions et leurs propriétés : parallélogrammes, rectangles, losanges, carrés et trapèzes.

3.2 Propriétés des parallélogrammes

Les propriétés caractéristiques du parallélogramme sont démontrées : côtés opposés parallèles et isométriques, angles opposés isométriques, et diagonales qui se coupent en leur milieu.

3.3 Polygones réguliers

Un polygone régulier est défini comme un polygone dont tous les côtés et tous les angles sont isométriques. Les élèves apprennent à construire des polygones réguliers simples.

3.4 Somme des angles dans un polygone

La formule générale donnant la somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone convexe à n côtés, (n-2) × 180°, est établie par triangulation à partir d’un sommet.

DEUXIÈME PARTIE : CERCLES ET GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE

Cette partie approfondit l’étude des cercles et développe les outils métriques essentiels pour la résolution de problèmes géométriques. Elle introduit les relations de distance et de mesure qui constituent la base de la géométrie métrique, préparant les élèves aux applications trigonométriques. ⚪

CHAPITRE 4 : LE CERCLE ET SES PROPRIÉTÉS

Ce chapitre est entièrement consacré à l’étude du cercle, une figure géométrique fondamentale aux propriétés remarquables.

4.1 Définitions et éléments du cercle

Le cercle est défini comme l’ensemble des points du plan situés à égale distance d’un point fixe appelé centre. Le vocabulaire associé (rayon, diamètre, corde, arc, sécante, tangente) est précisé.

4.2 Positions relatives droite-cercle

Les trois positions possibles d’une droite par rapport à un cercle sont analysées en fonction de la distance du centre à la droite : extérieure, tangente ou sécante.

4.3 Tangentes et sécantes

La propriété fondamentale de la tangente, qui est perpendiculaire au rayon au point de contact, est démontrée. Les propriétés des tangentes menées d’un point extérieur à un cercle sont également étudiées.

4.4 Arcs et secteurs circulaires

Les concepts d’arc de cercle et de secteur circulaire sont définis. Les formules pour calculer la longueur d’un arc et l’aire d’un secteur circulaire en fonction de l’angle au centre sont établies.

CHAPITRE 5 : ANGLES INSCRITS ET ANGLES AU CENTRE

Ce chapitre explore les relations entre les angles et les arcs dans un cercle, menant à des théorèmes puissants.

5.1 Angles au centre

Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. La mesure d’un angle au centre est, par définition, égale à la mesure de l’arc qu’il intercepte.

5.2 Angles inscrits

Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont des cordes.

5.3 Relations entre angles inscrits et angles au centre

Le théorème de l’angle inscrit est démontré : la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc. Des corollaires importants, comme le fait que tout angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit, sont explorés.

5.4 Applications aux polygones inscrits

Les propriétés des angles inscrits sont appliquées à l’étude des polygones inscriptibles dans un cercle. La condition pour qu’un quadrilatère soit inscriptible (angles opposés supplémentaires) est établie.

CHAPITRE 6 : PUISSANCE D’UN POINT PAR RAPPORT À UN CERCLE

Ce chapitre introduit un concept métrique avancé qui unifie plusieurs propriétés géométriques liées au cercle.

6.1 Notion de puissance d’un point

La puissance d’un point P par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est définie comme la quantité , où  est la distance de P à O. Le signe de cette puissance détermine la position du point (extérieur, sur, ou intérieur au cercle).

6.2 Théorèmes de puissance

Les théorèmes reliant la puissance d’un point aux longueurs des segments formés par des sécantes et des tangentes issues de ce point sont démontrés.

6.3 Axe radical de deux cercles

L’axe radical de deux cercles est défini comme le lieu géométrique des points ayant la même puissance par rapport aux deux cercles. Il s’agit d’une droite perpendiculaire à la ligne des centres.

6.4 Applications géométriques

Le concept de puissance d’un point est appliqué à la résolution de problèmes de construction et de lieux géométriques, par exemple pour la construction de cercles tangents à d’autres cercles ou droites.

TROISIÈME PARTIE : GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

Cette partie introduit le calcul vectoriel comme un outil fondamental pour la résolution de problèmes géométriques. Elle développe les opérations sur les vecteurs et leurs applications, créant un pont entre l’approche synthétique de la géométrie classique et l’approche analytique moderne. ➡️

CHAPITRE 7 : VECTEURS DANS LE PLAN

Ce chapitre établit les définitions et les concepts de base du calcul vectoriel.

7.1 Notion de vecteur

Un vecteur est introduit pour modéliser une translation et est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). La distinction entre un vecteur et un segment de droite est soulignée.

7.2 Égalité et relation d’équipollence

Deux vecteurs sont définis comme égaux s’ils représentent la même translation. La relation d’équipollence entre bipoints est utilisée pour formaliser cette égalité.

7.3 Addition vectorielle

L’addition de deux vecteurs est définie géométriquement par la règle du parallélogramme et la relation de Chasles, une règle de calcul fondamentale.

7.4 Multiplication d’un vecteur par un scalaire

La multiplication d’un vecteur par un nombre réel (scalaire) est définie. Cette opération modifie la norme et potentiellement le sens du vecteur, mais conserve sa direction.

CHAPITRE 8 : CALCUL VECTORIEL ET APPLICATIONS

Ce chapitre développe les propriétés des opérations vectorielles et les applique à la géométrie.

8.1 Propriétés des opérations vectorielles

Les propriétés de l’addition vectorielle (commutativité, associativité) et de la multiplication par un scalaire (distributivité) sont étudiées, montrant que l’ensemble des vecteurs du plan a une structure d’espace vectoriel.

8.2 Vecteurs colinéaires et base

Deux vecteurs sont dits colinéaires s’ils ont la même direction. La condition de colinéarité () est établie. La notion de base du plan, formée par deux vecteurs non colinéaires, est introduite.

8.3 Coordonnées d’un vecteur

Tout vecteur du plan peut se décomposer de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs d’une base. Les coefficients de cette combinaison sont les coordonnées du vecteur dans cette base.

8.4 Applications à la géométrie plane

Les outils vectoriels sont utilisés pour redémontrer des théorèmes de géométrie (théorème de la droite des milieux, théorème de Thalès) et pour résoudre des problèmes d’alignement de points et de parallélisme de droites.

CHAPITRE 9 : PRODUIT SCALAIRE

Ce chapitre introduit le produit scalaire, une opération qui permet de projeter des vecteurs et de calculer des longueurs et des angles.

9.1 Définition du produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs  et  est défini par la formule , où  est l’angle entre les deux vecteurs.

9.2 Propriétés du produit scalaire

Les propriétés du produit scalaire (symétrie, bilinéarité) sont étudiées. La condition d’orthogonalité () est mise en évidence.

9.3 Expression analytique

L’expression analytique du produit scalaire dans une base orthonormée est établie : si  et , alors . Cette formule facilite grandement les calculs.

9.4 Applications aux problèmes de distance et d’angle

Le produit scalaire est appliqué pour calculer la norme d’un vecteur (), la distance entre deux points, et le cosinus de l’angle entre deux vecteurs, un outil puissant pour les problèmes métriques.

QUATRIÈME PARTIE : TRIGONOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE

Cette partie constitue l’introduction systématique à la trigonométrie, en partant des rapports dans les triangles rectangles pour aboutir au cercle trigonométrique. Elle développe les outils essentiels pour l’analyse des phénomènes périodiques et la résolution de problèmes géométriques complexes. 📈

CHAPITRE 10 : RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES

Ce chapitre définit les fonctions trigonométriques de base dans le cadre du triangle rectangle.

10.1 Sinus, cosinus et tangente dans le triangle rectangle

Pour un angle aigu dans un triangle rectangle, les rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont définis en fonction des longueurs des côtés opposé, adjacent et de l’hypoténuse.

10.2 Valeurs particulières des rapports trigonométriques

Les valeurs des rapports trigonométriques pour les angles remarquables (30°, 45°, 60°) sont calculées à partir de considérations géométriques sur le triangle équilatéral et le carré.

10.3 Relations fondamentales

Les identités trigonométriques fondamentales, telles que  et , sont démontrées et utilisées pour des simplifications.

10.4 Résolution de triangles rectangles

Les rapports trigonométriques sont appliqués à la résolution de triangles rectangles, c’est-à-dire au calcul des longueurs et des angles manquants. Des problèmes concrets, comme le calcul de la hauteur d’un bâtiment à Kananga connaissant une distance et un angle de visée, sont résolus.

CHAPITRE 11 : CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

Ce chapitre généralise les fonctions trigonométriques à tous les angles en utilisant le cercle trigonométrique.

11.1 Construction du cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est défini comme un cercle de rayon 1, centré à l’origine d’un repère orthonormé, muni d’une orientation (le sens antihoraire est positif).

11.2 Enroulement de la droite réelle

Le concept d’enroulement de la droite des nombres réels sur le cercle trigonométrique est introduit. À chaque nombre réel correspond un point unique sur le cercle.

11.3 Mesure des angles en radians

Le radian est introduit comme une nouvelle unité de mesure d’angle, plus fondamentale en mathématiques. La relation de conversion entre degrés et radians est établie.

11.4 Fonctions trigonométriques sur le cercle

Pour tout angle, le cosinus et le sinus sont définis comme l’abscisse et l’ordonnée du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Cette définition étend les fonctions à tous les nombres réels et permet d’étudier leur périodicité.

CHAPITRE 12 : IDENTITÉS ET ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Ce chapitre explore des relations plus complexes entre les fonctions trigonométriques et les applique à la résolution d’équations.

12.1 Identités trigonométriques fondamentales

Les identités de base sont revues et complétées par les relations pour les angles associés (-x, π-x, π+x, π/2-x).

12.2 Formules d’addition et de soustraction

Les formules d’addition pour le cosinus et le sinus,  et , sont démontrées géométriquement ou vectoriellement. Les formules de duplication en sont déduites.

12.3 Équations trigonométriques simples

Les méthodes de résolution des équations trigonométriques élémentaires, telles que ,  et , sont enseignées, en trouvant toutes les solutions sur un intervalle donné ou sur .

12.4 Applications à la géométrie plane

Les outils trigonométriques, notamment le théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus) et la loi des sinus, sont appliqués à la résolution de triangles quelconques.

ANNEXES

Ces annexes servent de référence rapide et d’aide-mémoire, regroupant les formules, les méthodes et les notations essentielles pour une pratique fluide de la géométrie et de la trigonométrie. 🗂️

I. Formulaire de géométrie plane

Cette section contient un résumé de toutes les formules importantes d’aires et de périmètres pour les figures planes usuelles (triangle, carré, rectangle, cercle), ainsi que les énoncés des théorèmes clés (Pythagore, Thalès, angle inscrit).

II. Table des valeurs trigonométriques usuelles

Un tableau présente les valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente pour les angles remarquables (0°, 30°, 45°, 60°, 90° et leurs équivalents en radians), facilitant les calculs sans calculatrice.

III. Méthodes de construction géométrique

Un guide visuel rappelle les étapes des constructions géométriques fondamentales à la règle et au compas, comme la construction d’une perpendiculaire, d’une parallèle, d’une bissectrice ou d’un hexagone régulier.

IV. Utilisation des instruments de mesure

Des conseils pratiques sont donnés pour l’utilisation précise des instruments de dessin et de mesure, notamment le rapporteur pour la mesure des angles et la calculatrice scientifique pour les fonctions trigonométriques.

V. Notations et symboles mathématiques

Un glossaire des notations et symboles utilisés tout au long du cours est fourni pour assurer une compréhension claire et univoque du langage mathématique (symboles pour les angles, les vecteurs, les segments, etc.).