COURS D’ARITHMÉTIQUE, 8ème ANNÉE, ÉDUCATION DE BASE
Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC
0. PRÉLIMINAIRES
0.1. Préface et Note Pédagogique
Ce manuel d’Arithmétique s’aligne rigoureusement sur le Programme National de l’Éducation de Base révisé par le Ministère de l’Enseignement Primaire, Secondaire et Technique. Il constitue un outil didactique fondamental pour l’enseignant de la 8ème année, facilitant la transition entre les acquis du primaire et les exigences mathématiques du cycle des humanités. L’ouvrage privilégie une approche par situations, plaçant l’élève au centre d’une démarche active où les concepts numériques ne sont pas de simples abstractions, mais des outils de résolution de problèmes concrets. La progression suit scrupuleusement les matrices du programme national, garantissant une couverture exhaustive des savoirs essentiels, de la maîtrise des entiers relatifs à l’application de la proportionnalité dans la vie économique congolaise.
0.2. Objectifs Généraux du Cours
L’enseignement de l’arithmétique en 8ème année vise la consolidation et l’extension des compétences numériques de l’apprenant. Il a pour but principal d’installer durablement la maîtrise des ensembles de nombres fondamentaux : les entiers relatifs (Z), les décimaux (D) et les rationnels (Q). Le cours doit permettre à l’élève d’effectuer avec aisance et précision les quatre opérations dans ces différents ensembles, en respectant les règles de priorité et de signes. Il vise également à développer l’aptitude à modéliser des situations réelles par des expressions numériques et à utiliser la proportionnalité comme outil d’analyse économique et sociale.
0.3. Profil de Sortie de l’Élève
Au terme de la 8ème année de l’Éducation de Base, l’élève sera capable de traiter avec succès des situations faisant appel à la construction et à l’utilisation des nombres rationnels. Il pourra identifier, comparer et opérer sur les entiers relatifs et les décimaux dans des contextes variés, allant de la gestion financière domestique à l’interprétation de données scientifiques simples. Il maîtrisera les techniques de simplification de fractions, le calcul de puissances et l’application des pourcentages et de la TVA, compétences indispensables pour son insertion sociale et la poursuite de ses études scientifiques.
1. PARTIE I : LES NOMBRES ENTIERS RELATIFS ET LA GESTION DES SIGNES ➕➖
Cette première partie pose les fondements de l’algèbre par l’étude approfondie de l’ensemble Z. Elle traite des savoirs essentiels définis dans les matrices MM2.1 à MM2.4. L’élève y apprend à manipuler les nombres signés, concept crucial pour la modélisation de phénomènes opposés (gains/pertes, températures positives/négatives) et acquiert la rigueur nécessaire dans l’application des règles de priorité opératoire.
Chapitre 1 : L’Ensemble Z et la Valeur Absolue
1.1. Construction et Définition de l’Ensemble Z
L’ensemble Z des entiers relatifs est présenté comme une extension nécessaire de l’ensemble N pour permettre la soustraction dans tous les cas. L’élève identifie les entiers positifs et négatifs sur une droite graduée. L’enseignant utilise des exemples comme les variations du niveau du fleuve Congo à Mbandaka (au-dessus ou en dessous de l’étiage) pour illustrer la nécessité des nombres négatifs. La distinction entre le signe du nombre et le signe de l’opération est établie formellement.
1.2. La Valeur Absolue d’un Entier Relatif
La valeur absolue est définie comme la distance à zéro sur la droite numérique, toujours positive. L’élève apprend à utiliser la notation |x| et à calculer des expressions simples impliquant des valeurs absolues. Cette notion est appliquée à des contextes physiques, comme la distance parcourue par un véhicule faisant des allers-retours sur la route Nationale 1 entre Kinshasa et Matadi, indépendamment du sens de déplacement.
1.3. Nombres Opposés et Comparaison dans Z
Deux nombres sont opposés s’ils ont la même valeur absolue mais des signes contraires. L’élève manipule cette notion pour résoudre des équations simples et simplifier des expressions. La comparaison des entiers relatifs (ordre dans Z) est travaillée rigoureusement : tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif, et entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.
1.4. Représentation sur la Droite Numérique
La visualisation des nombres relatifs sur un axe orienté consolide la compréhension de l’ordre. L’élève place des points d’abscisses données et détermine la distance entre deux points par le calcul de la différence des abscisses. Des exercices pratiques incluent la lecture de thermomètres ou la représentation d’une chronologie historique avec des dates avant et après une année de référence.
Chapitre 2 : Opérations Fondamentales dans Z
2.1. Addition des Entiers Relatifs
L’addition dans Z obéit à deux règles distinctes selon que les opérandes ont le même signe ou des signes contraires. L’élève maîtrise l’addition de deux nombres de même signe (somme des valeurs absolues, signe commun) et de signes contraires (différence des valeurs absolues, signe de celui ayant la plus grande valeur absolue). Des situations de gestion de petits commerces à Mbuji-Mayi (dettes et avoirs) servent de support d’application.
2.2. Soustraction et Notion d’Opposé
La soustraction est définie comme l’addition de l’opposé. L’élève transforme systématiquement les soustractions en additions pour éviter les erreurs de signes. Il applique cette technique à des chaînes d’opérations et résout des problèmes de variation, tels que le calcul des écarts de température ou des bilans comptables simplifiés.
2.3. Multiplication et Règle des Signes
La multiplication dans Z introduit la règle des signes : le produit de deux nombres de même signe est positif, celui de deux nombres de signes contraires est négatif. L’élève étend cette règle au produit de plusieurs facteurs, déterminant le signe final en fonction de la parité du nombre de facteurs négatifs. L’associativité et la commutativité sont utilisées pour simplifier les calculs mentaux.
2.4. Division Exacte dans Z
La division est abordée comme l’opération inverse de la multiplication. L’élève applique la règle des signes de la multiplication à la division. Il identifie les cas où la division est impossible dans Z (lorsque le dividende n’est pas un multiple du diviseur) et résout des problèmes de partage équitable impliquant des dettes ou des pertes.
Chapitre 3 : Puissances et Priorités Opératoires
3.1. Puissance d’un Entier Relatif
La puissance est définie comme une multiplication répétée. L’élève apprend à calculer pour et . Une attention particulière est portée au signe de la puissance en fonction de la parité de l’exposant, notamment pour les bases négatives. Des exemples de croissance rapide, comme la multiplication de nénuphars sur un étang, illustrent la puissance.
3.2. Propriétés des Puissances
L’élève manipule les propriétés fondamentales : produit de puissances de même base, puissance d’une puissance, et puissance d’un produit. Il simplifie des expressions numériques complexes en utilisant ces règles. Le cas de l’exposant zéro et de l’exposant 1 est clarifié. Ces compétences préparent directement aux écritures scientifiques et à l’algèbre.
3.3. Règle des Parenthèses et Suppression
Les parenthèses, crochets et accolades structurent les calculs. L’élève apprend les règles de suppression des parenthèses précédées du signe + (conservation des signes) et du signe – (changement des signes). Il s’exerce à simplifier des expressions algébriques simples et numériques en appliquant rigoureusement ces conventions.
3.4. Ordre de Priorité des Opérations (PEMDAS)
La hiérarchie des opérations est la clé de voûte du calcul numérique. L’élève intègre l’ordre strict : Parenthèses, Exposants, Multiplication/Division, Addition/Soustraction. Il résout des chaînes d’opérations complexes (« calculs en ligne ») sans erreur, en soulignant à chaque étape l’opération prioritaire effectuée.
2. PARTIE II : L’UNIVERS DES NOMBRES DÉCIMAUX 📏
Cette partie étend le champ numérique aux nombres décimaux (ensemble D), essentiels pour la mesure et la précision scientifique. Elle couvre les matrices MM2.5 à MM2.7. L’élève développe sa capacité à gérer les grandeurs continues, à effectuer des approximations nécessaires dans la vie courante et à maîtriser l’écriture scientifique, outil indispensable des sciences physiques et de la technologie.
Chapitre 4 : Structure et Écriture des Décimaux
4.1. Définition et Notation Décimale
Un nombre décimal est défini comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. L’élève distingue la partie entière de la partie décimale. Il pratique la lecture et l’écriture des nombres décimaux, en passant de l’écriture à virgule à l’écriture fractionnaire décimale. L’importance de la position de la virgule est soulignée à travers des exemples monétaires (Franc Congolais).
4.2. Puissances de 10 d’Exposants Entiers
L’élève étudie les puissances de 10 à exposants positifs et négatifs ( et ). Il comprend l’effet de la multiplication par une puissance de 10 sur la position de la virgule. Cette notion est fondamentale pour la compréhension des ordres de grandeur et des unités de mesure du système métrique.
4.3. Écriture Scientifique (Forme a.10^n)
L’écriture scientifique standardise la représentation des très grands et très petits nombres. L’élève apprend à écrire tout nombre décimal sous la forme où . Des applications concrètes incluent l’expression de distances astronomiques ou de dimensions microscopiques, renforçant les liens avec les cours de sciences.
4.4. Développement Décimal Illimité Périodique
Certains rationnels n’ont pas d’écriture décimale finie. Ce sous-chapitre introduit la notion de période pour les nombres dont la division ne s’arrête jamais. L’élève apprend à noter la période et à comprendre la différence fondamentale entre un décimal (fini) et un rationnel non décimal, préparant ainsi le terrain pour l’étude de l’ensemble Q.
Chapitre 5 : Comparaison et Encadrement
5.1. Comparaison des Nombres Décimaux
La comparaison des décimaux nécessite une méthode rigoureuse : comparaison des parties entières, puis des chiffres des dixièmes, centièmes, etc. L’élève classe des listes de nombres en ordre croissant et décroissant. Des contextes comme le classement des temps lors d’une compétition sportive scolaire à Lubumbashi sont utilisés pour donner du sens à ces comparaisons.
5.2. Intervalles et Droite Numérique
L’élève représente les décimaux sur une droite graduée avec une précision adaptée à l’échelle choisie. Il définit les intervalles fermés, ouverts et semi-ouverts. Il apprend à situer un nombre décimal entre deux entiers consécutifs ou deux décimaux d’ordre donné, visualisant ainsi la densité des nombres sur la droite.
5.3. Valeurs Approchées et Arrondis
La mesure physique n’est jamais exacte. L’élève apprend à déterminer les valeurs approchées par défaut et par excès à l’unité, au dixième ou au centième près. Il maîtrise les règles de l’arrondi (regarder le chiffre suivant) pour simplifier les résultats de calculs complexes, compétence utile dans les estimations budgétaires.
5.4. Encadrement d’un Nombre et d’un Résultat
Encadrer un nombre, c’est trouver deux valeurs proches qui le « coincent ». L’élève pratique l’encadrement de décimaux et l’encadrement du résultat d’une opération (somme ou produit). Il détermine l’amplitude de l’encadrement (la précision). Cette compétence est appliquée pour estimer le coût total d’achats au marché central de Kinshasa avant le passage en caisse.
Chapitre 6 : Arithmétique des Décimaux
6.1. Addition et Soustraction des Décimaux
La pose correcte des opérations (alignement des virgules) est primordiale. L’élève effectue des additions et soustractions de décimaux, en gérant les retenues et les nombres de chiffres après la virgule. Il résout des problèmes de périmètres de champs agricoles dans le Kongo Central ou de gestion de stock de carburant.
6.2. Multiplication des Décimaux
La multiplication des décimaux requiert la gestion du nombre total de décimales au résultat. L’élève apprend à ignorer la virgule dans la phase de calcul puis à la placer correctement dans le produit final. Il applique cette opération au calcul de surfaces (aires) et de coûts totaux (prix unitaire quantité).
6.3. Division d’un Décimal par un Entier et par un Décimal
La division euclidienne est étendue aux décimaux. L’élève apprend à rendre le diviseur entier en multipliant dividende et diviseur par une puissance de 10 appropriée. Il maîtrise la technique de la division posée jusqu’à une précision donnée ou jusqu’à l’obtention d’un reste nul.
6.4. Ordre de Grandeur et Estimation
Avant tout calcul précis, l’estimation de l’ordre de grandeur permet de détecter les erreurs grossières. L’élève s’exerce à remplacer les nombres par des valeurs simples proches pour estimer mentalement le résultat d’une opération. C’est un outil de contrôle essentiel, par exemple pour vérifier une facture d’électricité ou d’eau.
3. PARTIE III : LES NOMBRES RATIONNELS ET LA PROPORTIONNALITÉ ➗
La troisième partie généralise les concepts arithmétiques à l’ensemble Q des nombres rationnels, couvrant les matrices MM2.8 à MM2.13. Elle aborde la manipulation des fractions, souvent source de difficulté, et débouche sur l’étude de la proportionnalité, concept pivot pour la résolution de problèmes socio-économiques (TVA, échelles, pourcentages).
Chapitre 7 : Introduction aux Rationnels et Fractions
7.1. Définition de l’Ensemble Q
L’ensemble Q est défini comme l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme avec et . L’élève positionne N, Z et D comme sous-ensembles de Q. Il identifie les fractions équivalentes et comprend que différentes écritures peuvent représenter le même nombre rationnel.
7.2. Simplification et Fractions Irréductibles
Simplifier une fraction, c’est diviser numérateur et dénominateur par un diviseur commun. L’élève utilise les critères de divisibilité et la décomposition en facteurs premiers pour rendre les fractions irréductibles. Cette compétence est un préalable indispensable à tout calcul sur les fractions.
7.3. Réduction au Même Dénominateur
Pour comparer ou additionner des fractions, un dénominateur commun est nécessaire. L’élève apprend à trouver le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) des dénominateurs et à transformer les fractions. Il classe des fractions de dénominateurs différents, par exemple pour comparer des parts de récolte ou d’héritage.
7.4. Comparaison des Nombres Rationnels
L’élève utilise la réduction au même dénominateur ou la comparaison à l’unité pour ordonner des rationnels. Il maîtrise également le produit en croix pour tester l’égalité de deux fractions. Ces techniques sont appliquées à des problèmes de partage dans des coopératives agricoles.
Chapitre 8 : Opérations Additives sur les Fractions
8.1. Addition de Fractions de Même Dénominateur
C’est le cas le plus simple : on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur. L’élève applique cette règle et pense systématiquement à simplifier le résultat. Des illustrations géométriques (parts de disque) soutiennent la compréhension conceptuelle.
8.2. Addition de Fractions de Dénominateurs Différents
Ce sous-chapitre combine la réduction au même dénominateur et l’addition. L’élève suit l’algorithme : chercher le dénominateur commun, convertir les fractions, additionner, simplifier. Il résout des problèmes complexes impliquant la somme de durées ou de quantités exprimées en fractions hétérogènes.
8.3. Soustraction dans Q
La soustraction suit les mêmes règles que l’addition. L’élève gère les signes négatifs dans les fractions (au numérateur, au dénominateur ou devant la barre de fraction). Il résout des problèmes de « reste » : calculer la part restante d’un budget après plusieurs dépenses fractionnaires.
8.4. Propriétés de l’Addition dans Q
L’élève vérifie que l’addition dans Q est commutative et associative, et possède un élément neutre (0). Il utilise ces propriétés pour calculer astucieusement des sommes de plusieurs fractions en regroupant les termes compatibles (ceux ayant des dénominateurs commodes).
Chapitre 9 : Opérations Multiplicatives sur les Fractions
9.1. Multiplication de Fractions
La règle est simple : produit des numérateurs sur produit des dénominateurs. L’élève apprend à simplifier avant de calculer les produits pour travailler avec des nombres plus petits. Il applique cette opération au calcul d’une « fraction d’une fraction », courant dans les problèmes de partage successifs.
9.2. Inverse d’un Nombre Rationnel
L’inverse d’une fraction est (pour ). L’élève distingue l’inverse de l’opposé. Il vérifie que le produit d’un nombre par son inverse est égal à 1. Cette notion est introduite comme outil pour la division.
9.3. Division dans Q
Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse. L’élève transforme les divisions de fractions en multiplications et effectue les calculs. Il gère les fractions à étages (fractions de fractions) avec rigueur, en identifiant bien la barre de fraction principale.
9.4. Puissance d’un Nombre Rationnel
La puissance s’applique au numérateur et au dénominateur : . L’élève calcule des puissances de fractions et utilise les règles des puissances (produit, quotient) étendues à l’ensemble Q. Il traite des problèmes de volume ou d’intérêts composés simples.
Chapitre 10 : Applications de la Proportionnalité
10.1. Reconnaissance de la Proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on passe de l’une à l’autre par multiplication par un coefficient constant. L’élève identifie des situations de proportionnalité (prix au kilo, vitesse constante) et de non-proportionnalité (taille en fonction de l’âge). Il utilise des tableaux de proportionnalité pour organiser les données.
10.2. La Quatrième Proportionnelle et la Règle de Trois
L’élève apprend à calculer une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité à l’aide du produit en croix ou de la règle de trois (retour à l’unité). Cette technique est appliquée à des recettes de cuisine, des mélanges de peinture ou des consommations de carburant de véhicules sur les pistes du Sankuru.
10.3. Pourcentages et Calculs Financiers
Le pourcentage est traité comme une fraction de dénominateur 100. L’élève apprend à appliquer un pourcentage (remise, taxe), à calculer un pourcentage (taux de réussite) et à retrouver la valeur initiale. Des exemples concrets de soldes ou de statistiques démographiques provinciales ancrent l’apprentissage.
10.4. La Taxe sur la Valeur Ajoutée (TVA)
Conformément à la matrice MM2.13, ce module spécifique aborde la fiscalité. L’élève apprend à calculer le montant de la TVA à partir d’un prix Hors Taxe (HT) et à déterminer le Prix Toutes Taxes Comprises (TTC). Il manipule les formules : Prix TTC = Prix HT + TVA. Des factures réelles de la SNEL ou de commerces locaux sont utilisées pour contextualiser ce savoir économique citoyen.
4. ANNEXES
4.1. Table des Carrés, Cubes et Racines
Cette annexe fournit les carrés et cubes des entiers de 1 à 30, ainsi que les racines carrées des carrés parfaits correspondants. Elle sert d’outil de référence rapide pour les élèves lors des exercices de calcul de puissances et de simplification de radicaux, favorisant l’autonomie dans le travail personnel.
4.2. Règles de Divisibilité Usuelles
Un rappel synthétique des critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 et 100 est présenté. Ces règles sont des outils indispensables pour la simplification rapide des fractions et la décomposition en facteurs premiers, compétences clés des chapitres sur les rationnels.
4.3. Glossaire des Termes Arithmétiques
Un lexique définit de manière concise les termes techniques rencontrés (entier relatif, valeur absolue, inverse, opposé, rationnel, proportionnalité, PPCM, PGCD). Chaque définition est accompagnée d’un exemple numérique simple pour lever toute ambiguïté conceptuelle.
4.4. Symboles Mathématiques et Ensemblistes
Cette section récapitule les notations mathématiques utilisées dans le manuel (, , , , , , , , ). Elle assure que l’élève maîtrise le langage symbolique nécessaire à la lecture des énoncés et à la rédaction rigoureuse de ses solutions.