COURS DE GÉOMÉTRIE, 8ème ANNÉE, OPTION ÉDUCATION DE BASE 📐

Édition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC

0. PRÉLIMINAIRES

0.1. Préface et Note Pédagogique

Ce manuel de Géométrie s’inscrit rigoureusement dans la réforme du Programme National de l’Éducation de Base pilotée par le Ministère de l’Enseignement Primaire, Secondaire et Technique. Il matérialise la vision d’un enseignement des mathématiques ancré dans le réel, privilégiant l’Approche Par les Situations (APS). L’ouvrage structure les savoirs essentiels définis dans les matrices du programme (MM2.25 à MM2.39) pour offrir à l’enseignant un outil didactique complet et pragmatique. La géométrie y est présentée non comme une abstraction théorique, mais comme un instrument puissant de modélisation de l’espace physique, indispensable à la compréhension de l’environnement et à la résolution de problèmes techniques.

0.2. Objectifs Généraux du Cours

L’enseignement de la géométrie en 8ème année poursuit des objectifs précis visant le développement de la structuration spatiale et du raisonnement déductif chez l’apprenant. Il vise premièrement à consolider la perception de l’espace tridimensionnel par l’étude des solides, de leurs patrons et de leurs représentations planes. Deuxièmement, il ambitionne d’approfondir la maîtrise des figures planes fondamentales, de leurs propriétés métriques et angulaires. Troisièmement, il introduit les transformations du plan comme outils d’analyse des mouvements et des formes. Enfin, le cours développe l’aptitude à utiliser les instruments de dessin (règle, compas, équerre, rapporteur) avec une précision rigoureuse.

0.3. Profil de Sortie de l’Élève

Au terme de la 8ème année de l’Éducation de Base, l’élève sera capable de traiter avec succès des situations faisant appel à la représentation et à l’organisation de l’espace. Il pourra identifier, construire et calculer les grandeurs (aires, volumes) des solides usuels et des figures planes complexes. Il maîtrisera l’analyse des positions relatives des droites et des cercles, ainsi que l’application des propriétés des angles et des triangles pour résoudre des problèmes d’agrimensure ou de construction. Il sera apte à utiliser les transformations géométriques pour reproduire des motifs ou analyser des symétries dans son environnement culturel et technique.

1. PARTIE I : GÉOMÉTRIE DE L’ESPACE ET MESURES 🧊

Cette première partie immerge l’élève dans l’étude de l’espace tridimensionnel, correspondant aux matrices MM2.25 à MM2.27 du programme national. Elle privilégie une approche concrète où l’observation d’objets réels précède l’abstraction. L’objectif est de permettre à l’apprenant de visualiser, représenter et quantifier les volumes qui composent son environnement, des habitations traditionnelles aux infrastructures modernes.

Chapitre 1 : Les Polyèdres et la Perspective Cavalière

1.1. Le Cube et le Parallélépipède Rectangle

L’étude débute par les solides les plus familiers : le cube et le pavé droit. L’élève identifie les éléments constitutifs : faces, arêtes et sommets. L’analyse se fonde sur l’observation de briques cuites utilisées dans les constructions à Mbuji-Mayi ou de conteneurs de marchandises au port de Matadi. L’élève apprend à décomposer ces solides pour en comprendre la structure interne et les propriétés de perpendicularité et de parallélisme des faces.

1.2. La Représentation en Perspective Cavalière

La transition de la 3D à la 2D nécessite une convention graphique rigoureuse. Ce module enseigne les règles de la perspective cavalière : conservation du parallélisme, conservation des milieux, et réduction des fuyantes. L’élève s’exerce à dessiner des salles de classe ou des meubles en respectant l’angle de fuite et le coefficient de réduction, développant ainsi sa vision spatiale sur une feuille plane.

1.3. Patrons et Développement des Surfaces

Pour comprendre la fabrication des objets, l’élève réalise le dépliage des surfaces des polyèdres. Il conçoit et découpe les patrons du cube et du parallélépipède rectangle. Cette activité manuelle permet de visualiser la continuité des faces et prépare le terrain pour le calcul des aires latérales et totales. L’élève expérimente la reconstruction de boîtes d’emballage pour saisir les liens topologiques entre les faces.

1.4. Le Prisme Droit

L’étude s’étend aux prismes droits à bases triangulaires ou polygonales. L’élève analyse la structure de ces solides souvent utilisés dans les charpentes de toitures à Goma. Il identifie les bases parallèles et superposables ainsi que les faces latérales rectangulaires. La représentation en perspective de prismes posés sur différentes faces renforce la flexibilité de la vision spatiale.

Chapitre 2 : Les Corps Ronds et Solides de Révolution

2.1. Le Cylindre de Révolution

Le cylindre est présenté comme le résultat de la rotation d’un rectangle autour d’un de ses côtés. L’élève observe des objets courants tels que des fûts d’essence ou des réservoirs d’eau (citernes) utilisés à Kinshasa. Il étudie le patron du cylindre, composé d’un rectangle et de deux disques, et apprend à établir la relation entre la longueur du rectangle déroulé et le périmètre de la base circulaire.

2.2. Le Cône de Révolution

L’élève découvre le cône par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un des côtés de l’angle droit. Il identifie la base circulaire, le sommet et la génératrice. L’observation de toitures coniques de huttes traditionnelles ou d’entonnoirs sert de support concret. Le développement de la surface latérale en secteur circulaire fait l’objet d’une attention particulière pour comprendre la géométrie de l’objet.

2.3. La Sphère et la Boule

La sphère est définie comme l’ensemble des points de l’espace équidistants d’un centre. L’élève distingue la sphère (surface) de la boule (volume intérieur). Il explore les propriétés de symétrie de la sphère et les grands cercles, en faisant le lien avec les notions de géographie (méridiens et équateur) sur un globe terrestre.

2.4. Sections Planes des Solides Usuels

Ce point aborde l’intersection des solides par des plans parallèles ou perpendiculaires à leur base ou axe. L’élève visualise la section d’un cylindre (disque ou rectangle), d’un cône (disque réduit) ou d’une sphère (disque). L’exemple de la coupe d’un fruit (orange ou papaye) ou du sciage d’une bille de bois à Kisangani illustre ces concepts de coupe géométrique.

Chapitre 3 : Calculs d’Aires et de Volumes

3.1. Unités de Mesure d’Aires et de Volumes

Avant tout calcul, la maîtrise des unités est révisée. L’élève manipule les multiples et sous-multiples du mètre carré () et du mètre cube (), ainsi que les unités de capacité (litre). Il s’exerce aux conversions, essentielles pour résoudre des problèmes pratiques d’approvisionnement en eau ou de stockage de récoltes.

3.2. Aires Latérales et Totales

L’élève applique les formules d’aires déduites des patrons développés précédemment. Il calcule la surface de tôle nécessaire pour fabriquer un réservoir cylindrique ou la quantité de peinture pour couvrir les murs d’une salle de classe. La distinction entre l’aire latérale (pourtour) et l’aire totale (incluant les bases) est systématiquement renforcée.

3.3. Volumes des Prismes et Cylindres

Le volume est abordé comme le produit de l’aire de la base par la hauteur. L’élève calcule la capacité de conteneurs prismatiques ou cylindriques. Il résout des problèmes concrets, tels que le calcul du volume de béton nécessaire pour couler une dalle ou des piliers cylindriques d’un bâtiment à Lubumbashi.

3.4. Volumes des Pyramides, Cônes et Sphères

L’élève découvre que le volume du cône et de la pyramide représente le tiers du volume du cylindre ou du prisme de même base et même hauteur. Il applique la formule spécifique du volume de la boule. Ces compétences sont mobilisées pour estimer le volume de tas de sable coniques sur un chantier ou de réservoirs sphériques industriels.

2. PARTIE II : GÉOMÉTRIE PLANE FONDAMENTALE 📐

Cette deuxième partie focalise sur l’étude des figures dans le plan, couvrant les matrices MM2.28 à MM2.33. Elle constitue le cœur de la géométrie euclidienne, développant la rigueur du tracé et la précision du raisonnement déductif. L’élève apprend à analyser les relations entre les éléments géométriques de base pour construire des figures complexes.

Chapitre 4 : Droites, Positions Relatives et Distances

4.1. Droites Sécantes et Parallèles

L’élève analyse les positions relatives de deux droites dans un plan. Il distingue les droites sécantes (un point commun), perpendiculaires (sécantes à angle droit) et parallèles (aucun point commun). Il utilise la règle et l’équerre pour tracer ces configurations avec précision, en s’inspirant du tracé des avenues orthogonales dans les communes planifiées comme la Gombe ou Bandalungwa.

4.2. Distance d’un Point à une Droite

La distance est définie comme la longueur du segment perpendiculaire abaissé du point sur la droite (le plus court chemin). L’élève apprend à construire cette projection orthogonale. Cette notion est appliquée à des problèmes d’urbanisme, comme déterminer le recul d’une habitation par rapport à la voirie ou la distance minimale pour raccordement électrique.

4.3. Médiatrice d’un Segment

La médiatrice est présentée comme l’ensemble des points équidistants des extrémités d’un segment. L’élève construit la médiatrice à la règle et au compas. Il comprend sa propriété fondamentale de symétrie et l’utilise pour résoudre des problèmes de localisation équidistante, par exemple pour placer un point d’eau à égale distance de deux villages voisins.

4.4. Inégalité Triangulaire et Distance entre deux Points

L’élève étudie la condition d’existence d’un triangle : la longueur d’un côté est toujours inférieure à la somme des deux autres. Il applique l’inégalité triangulaire pour vérifier la constructibilité de figures. La distance entre deux points est consolidée comme la longueur du segment de droite les reliant, base de toute mesure linéaire.

Chapitre 5 : Les Angles et leurs Relations

5.1. Classification et Mesure des Angles

L’élève révise les types d’angles (aigu, droit, obtus, plat, nul, plein) et maîtrise l’usage du rapporteur pour mesurer et tracer des angles au degré près. Il identifie les angles dans des structures réelles, comme l’inclinaison d’une toiture ou l’ouverture d’un compas. La bissectrice est introduite comme la demi-droite partageant l’angle en deux secteurs isométriques.

5.2. Angles Formés par deux Droites et une Sécante

Cette configuration est fondamentale. L’élève identifie les paires d’angles : alternes-internes, alternes-externes, correspondants, intérieurs et extérieurs du même côté. Il observe ces relations angulaires dans les motifs de grillages, les charpentes métalliques ou les croisements routiers.

5.3. Propriétés des Angles et Parallélisme

L’élève établit le lien entre le parallélisme des droites et l’égalité des angles alternes-internes ou correspondants. Il utilise ces propriétés pour démontrer que deux droites sont parallèles ou pour calculer la mesure d’un angle manquant dans une figure complexe sans avoir recours à la mesure directe.

5.4. Angles Opposés et Angles Adjacents

Les relations de position sont précisées. L’élève définit les angles opposés par le sommet (toujours égaux) et les angles adjacents (sommet commun, un côté commun, situés de part et d’autre). Il manipule les notions d’angles complémentaires (somme 90°) et supplémentaires (somme 180°) pour résoudre des calculs angulaires.

Chapitre 6 : Les Triangles

6.1. Classification et Propriétés des Triangles

L’élève classe les triangles selon leurs côtés (isocèle, équilatéral, scalène) et selon leurs angles (rectangle, acutangle, obtusangle). Il vérifie expérimentalement et déductivement que la somme des angles intérieurs d’un triangle vaut 180°, une propriété clé pour la résolution de nombreux problèmes géométriques.

6.2. Droites Remarquables du Triangle

Ce sous-chapitre explore les lignes spécifiques : médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices. L’élève construit ces droites avec soin et identifie leurs points de concours respectifs (centre de gravité, orthocentre, centre du cercle circonscrit, centre du cercle inscrit). Ces constructions sont appliquées à des situations d’équilibre ou de répartition de surfaces.

6.3. Construction de Triangles

L’élève apprend à construire un triangle à partir de données minimales : trois côtés (CCC), deux côtés et un angle (CAC), ou un côté et deux angles (ACA). Il utilise le compas et le rapporteur pour réaliser ces constructions, vérifiant les conditions de possibilité liées à l’inégalité triangulaire.

6.4. Aire du Triangle

La formule de l’aire () est appliquée à tous les types de triangles. L’élève apprend à choisir la hauteur correspondante à la base considérée. Il résout des problèmes de calcul de superficie de parcelles triangulaires ou de pignons de maisons, fréquents dans le cadastre urbain et rural.

Chapitre 7 : Les Quadrilatères

7.1. Le Parallélogramme

Défiini comme un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles, le parallélogramme est la figure mère. L’élève étudie ses propriétés : égalité des côtés opposés, égalité des angles opposés, diagonales se coupant en leur milieu. Il apprend à construire un parallélogramme et à calculer son aire et son périmètre.

7.2. Les Parallélogrammes Particuliers : Rectangle, Losange, Carré

L’élève classifie ces figures en fonction de leurs propriétés spécifiques (angles droits pour le rectangle, côtés égaux pour le losange, les deux pour le carré). Il analyse les propriétés de leurs diagonales (axes de symétrie, perpendicularité, isométrie) et les utilise pour identifier la nature précise d’un quadrilatère donné.

7.3. Le Trapèze

Le trapèze, avec ses deux bases parallèles, est étudié séparément. L’élève distingue le trapèze rectangle et le trapèze isocèle. Il applique la formule de l’aire () pour calculer des surfaces de terrains ou de sections de canaux d’irrigation à Kongo Central.

7.4. Décomposition de Polygones Complexes

Pour calculer l’aire de polygones quelconques, l’élève apprend à les décomposer en figures simples (triangles, rectangles, trapèzes). Cette méthode de triangulation est appliquée au calcul de la superficie de parcelles de forme irrégulière sur un plan cadastral, renforçant l’utilité pratique de la géométrie.

3. PARTIE III : LE CERCLE ET LES TRANSFORMATIONS DU PLAN ⭕

La troisième partie élargit le champ d’étude aux courbes et aux mouvements, couvrant les matrices MM2.34 à MM2.39. Elle traite des propriétés du cercle, figure centrale de la géométrie, et introduit les transformations qui permettent de manipuler les figures sans les déformer ou en modifiant leur échelle, essentielles pour le dessin technique et l’art.

Chapitre 8 : Le Cercle et ses Propriétés

8.1. Définitions et Positions Relatives

L’élève définit le cercle, le rayon, le diamètre, la corde et l’arc. Il étudie les positions relatives d’une droite et d’un cercle : droite extérieure, tangente (un point commun, perpendiculaire au rayon) et sécante. Il analyse également les positions relatives de deux cercles (disjoints, tangents, sécants, concentriques), illustrées par des engrenages mécaniques ou des ronds-points.

8.2. Angles et Cercle

Ce module explore les relations entre les angles et les arcs interceptés. L’élève distingue l’angle au centre (sommet au centre) et l’angle inscrit (sommet sur le cercle). Il découvre la propriété fondamentale : l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit interceptant le même arc. Il applique cela pour démontrer des propriétés géométriques.

8.3. Cercles liés au Triangle

L’élève approfondit la construction du cercle circonscrit (point de concours des médiatrices) et du cercle inscrit (point de concours des bissectrices). Il comprend que le cercle circonscrit passe par les trois sommets, tandis que le cercle inscrit est tangent aux trois côtés. Ces notions sont cruciales pour le dessin technique et l’architecture.

8.4. Périmètre et Aire du Disque

L’élève maîtrise le calcul de la circonférence () et de l’aire du disque (). Il utilise la valeur approchée de  (3,14) pour résoudre des problèmes pratiques : calcul de la longueur de clôture d’un enclos circulaire ou de la surface d’une table ronde.

Chapitre 9 : Projections et Symétries

9.1. La Projection Orthogonale

La projection d’un point sur une droite parallèlement à une direction donnée est étudiée, avec un accent particulier sur la projection orthogonale. L’élève apprend à projeter un segment ou une figure simple. Cette notion prépare à la géométrie descriptive et au dessin industriel, permettant de représenter des objets sous différentes vues.

9.2. La Symétrie Centrale

La symétrie centrale est définie comme un demi-tour autour d’un point (centre). L’élève construit l’image de points, segments et polygones par symétrie centrale. Il vérifie la conservation des longueurs, des angles et du parallélisme. Il identifie les centres de symétrie dans des figures usuelles (carré, cercle, parallélogramme) et dans des motifs de tissus pagne.

9.3. La Symétrie Orthogonale (Axiale)

La symétrie par rapport à une droite (axe) est explorée comme un pliage. L’élève construit le symétrique d’une figure point par point en traçant des perpendiculaires à l’axe. Il analyse les axes de symétrie dans la nature (feuilles, insectes) et dans l’artisanat congolais (masques, vannerie), consolidant la perception de l’équilibre visuel.

9.4. Propriétés de Conservation des Isométries

L’élève synthétise que les symétries sont des isométries : elles conservent les mesures (distances, angles, aires). Il utilise ces propriétés pour justifier l’égalité de figures sans recourir à la mesure, développant ainsi son esprit de déduction logique.

Chapitre 10 : Translations et Dilatations

10.1. La Translation

La translation est définie comme un glissement rectiligne d’une figure selon une direction, un sens et une longueur donnés (vecteur). L’élève construit l’image de figures géométriques par translation. Il observe ce phénomène dans les frises décoratives, les motifs de pavage ou le mouvement d’un tiroir, comprenant la notion de déplacement sans rotation.

10.2. Vecteurs et Composition (Introduction)

Sans entrer dans le calcul vectoriel complexe, l’élève est initié à la représentation du vecteur de translation (flèche). Il comprend intuitivement que l’enchaînement de deux translations équivaut à une translation unique. Il apprend à repérer les vecteurs égaux sur un quadrillage ou un papier millimétré.

10.3. Homothétie et Agrandissement/Réduction

L’homothétie est présentée comme une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d’un centre et selon un rapport k. L’élève construit l’image de figures simples. Il comprend que si les angles sont conservés, les longueurs sont multipliées par k et les aires par . C’est la base mathématique des échelles de cartes géographiques.

10.4. Les Échelles et Plans

Application directe de l’homothétie, l’élève apprend à utiliser et calculer des échelles numériques (1/100, 1/50000). Il est capable de lire un plan de maison ou une carte routière de la RDC, de mesurer une distance sur le plan et de calculer la distance réelle correspondante, compétence indispensable pour l’orientation et la lecture de documents techniques.

4. ANNEXES

4.1. Formulaire de Géométrie

Cette section regroupe de manière synthétique toutes les formules essentielles vues au cours : périmètres et aires des figures planes (carré, rectangle, triangle, disque, trapèze, losange, parallélogramme) et aires et volumes des solides (cube, pavé, cylindre, cône, sphère). C’est un outil de référence pour la résolution des exercices.

4.2. Notations et Symboles Géométriques

Un tableau récapitulatif présente les symboles mathématiques universels utilisés en géométrie (, , , , , , , , etc.) avec leur signification précise. La maîtrise de ce langage symbolique est indispensable pour la lecture des énoncés et la rédaction des démonstrations.

4.3. Guide d’Utilisation des Instruments de Dessin

Une fiche technique rappelle les bonnes pratiques pour l’usage des instruments : comment tenir le compas, comment placer le rapporteur pour mesurer ou tracer un angle, comment utiliser l’équerre et la règle pour tracer des parallèles et des perpendiculaires. La précision du tracé est une compétence transversale évaluée.

4.4. Lexique des Termes Géométriques

Un glossaire définit les termes techniques clés du cours (Isocèle, Equilatéral, Tangente, Corde, Bissectrice, Médiatrice, Apothème, Génératrice, Polyèdre, etc.). Chaque définition est formulée simplement pour permettre à l’élève de s’approprier le vocabulaire spécifique de la discipline.