COURS DE MATHÉMATIQUES (ALGÈBRE), 7ème ANNÉE, EDUCATION DE BASE EN RDC
Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC
PRÉLIMINAIRES
Note pédagogique à l’attention de l’enseignant
Ce manuel constitue un outil didactique de référence pour l’enseignement de l’Algèbre en 7ème année de l’Éducation de Base. Il traduit fidèlement les directives du Programme National en vigueur en République Démocratique du Congo. L’approche privilégiée ici place l’élève au cœur de son apprentissage par la résolution de situations-problèmes ancrées dans son environnement immédiat, qu’il soit urbain, comme à Kinshasa, ou rural, comme dans le Kwilu ou le Haut-Katanga. L’enseignant veillera à exploiter les matrices du programme (MM1.1 à MM1.44) pour garantir l’acquisition des compétences attendues.
Objectifs généraux du cours
L’enseignement de l’algèbre à ce niveau vise à doter l’apprenant des structures mentales nécessaires pour passer de l’arithmétique concrète à l’abstraction mathématique. L’élève développera sa capacité à généraliser des situations, à manipuler des symboles et à résoudre des problèmes complexes liés à la vie courante, tels que le commerce, l’environnement et la santé.
Méthodologie et approche par compétences
La méthodologie adoptée repose sur l’Approche Par les Compétences (APC). Chaque chapitre s’ouvre sur une situation d’apprentissage concrète qui suscite le questionnement. Les savoirs essentiels ne sont pas dispensés ex cathedra, mais construits progressivement à travers des activités d’exploration, de structuration et de réinvestissement. L’évaluation, partie intégrante du processus, vérifie la capacité de l’élève à mobiliser ses acquis pour traiter des situations nouvelles.
Bibliographie sélective et sources
Les contenus s’alignent rigoureusement sur le « Programme éducatif du Domaine d’Apprentissage des Sciences » du Ministère de l’Enseignement Primaire, Secondaire et Professionnel (2018). Les références incluent les manuels agréés et les ressources pédagogiques validées par la Direction des Programmes Scolaires et Matériel Didactique (DIPROMAD).
PARTIE 1 : NOMBRES NATURELS, NUMÉRATION ET ARITHMÉTIQUE
📚 Aperçu de la première partie : Cette première partie pose les fondations solides nécessaires à la compréhension des structures algébriques ultérieures. Elle revisite l’ensemble des entiers naturels sous un angle nouveau, en approfondissant les concepts de puissance et de base de numération, essentiels pour comprendre le codage informatique et les grands nombres. L’élève y apprend à manipuler les nombres au-delà du simple calcul, en explorant leur structure interne et leurs propriétés de divisibilité, préparant ainsi le terrain pour l’abstraction algébrique.
Chapitre 1 : Exponentiation et Polynômes Arithmétiques (MM1.1 – MM1.2)
1.1. La puissance d’un nombre dans
La notion de puissance s’introduit comme une multiplication répétée d’un même nombre par lui-même. Cette écriture condensée permet de manipuler efficacement de très grandes quantités, comme le dénombrement de bactéries dans une culture au laboratoire de microbiologie du CS Molende ou l’évaluation des distances astronomiques. L’élève maîtrise le vocabulaire spécifique : base, exposant, puissance. Il apprend à calculer des puissances usuelles et à appliquer les règles de calcul sur les puissances de même base.
1.2. Écriture polynomiale des nombres
Tout entier naturel s’exprime sous la forme d’un polynôme arithmétique suivant les puissances de 10. Cette décomposition révèle la structure positionnelle de notre système de numération décimal. En prenant l’exemple d’une production de briques à Mbanza-Ngungu, où les unités sont regroupées en palettes et plateaux, l’élève comprend que le nombre 2043 n’est autre que la somme de . Cette compétence est le prérequis indispensable pour aborder les changements de bases.
1.3. Valeur numérique d’une expression
L’expression polynomiale ne se limite pas à l’écriture des nombres ; elle introduit la substitution de valeurs dans des formules. L’élève s’exerce à remplacer les puissances de 10 par leurs valeurs respectives pour retrouver le nombre entier original. Cette gymnastique intellectuelle prépare l’esprit à la notion de variable en algèbre, où des lettres remplaceront bientôt des nombres fixes.
1.4. Applications pratiques de l’exponentiation
Les situations de la vie courante offrent des terrains d’application fertiles pour l’exponentiation. L’élève résout des problèmes de croissance exponentielle, tels que la reproduction rapide de certains insectes nuisibles dans les champs du Kongo Central ou le calcul de surfaces et de volumes de cubes. Ces exercices renforcent la compréhension de la croissance rapide induite par les puissances comparée à la croissance linéaire.
Chapitre 2 : Systèmes de Numération et Bases (MM1.3 – MM1.5)
2.1. Notion de base et groupements
Le comptage ne se limite pas à la base 10 ; il repose sur le principe de groupements réguliers. À travers des exemples concrets comme le regroupement de produits vivriers (sachets, boîtes, cartons) au marché de Gambela, l’élève découvre qu’on peut compter en base 2, 5 ou 12. Il apprend à écrire un entier naturel dans une base donnée en effectuant des divisions successives, une compétence qui développe la rigueur logique et algorithmique.
2.2. Passage d’une base quelconque à la base 10
La conversion d’un nombre écrit en base vers la base 10 universelle constitue une étape clé. L’élève utilise l’écriture polynomiale étudiée au chapitre précédent pour effectuer cette transformation. Par exemple, convertir le code (10243) en base 5 vers sa valeur décimale implique de sommer les produits des chiffres par les puissances décroissantes de 5. Cette opération solidifie la compréhension de la valeur de position des chiffres.
2.3. Transposition entre bases quelconques
La maîtrise des systèmes de numération culmine avec la capacité de passer d’une base à une base sans transiter explicitement par la base 10 lorsque cela est possible, ou en utilisant la base 10 comme pivot. L’élève résout des problèmes de réorganisation logistique, comme le réarrangement de chaises dans une salle culturelle à Lubumbashi, passant d’une disposition par groupes de 4 à des groupes de 6.
2.4. Applications aux technologies numériques
L’étude des bases binaire (base 2) et hexadécimale (base 16) ancre les mathématiques dans la réalité technologique actuelle. L’élève comprend que le fonctionnement des ordinateurs et des smartphones, omniprésents de Kinshasa à Goma, repose sur ces systèmes de numération alternatifs. Des exercices simples de codage et de décodage d’informations binaires illustrent concrètement cette pertinence technologique.
Chapitre 3 : Arithmétique dans et Divisibilité (MM1.6 – MM1.9)
3.1. Opérations fondamentales et leurs propriétés
L’addition, la soustraction, la multiplication et la division dans l’ensemble font l’objet d’une révision approfondie axée sur leurs propriétés structurelles (commutativité, associativité, distributivité). L’élève applique ces propriétés pour simplifier des calculs mentaux et résoudre des problèmes de gestion, comme le suivi des stocks de carburant dans une station-service à Matadi. L’accent est mis sur la justification des étapes de calcul.
3.2. Diviseurs et multiples
La relation de divisibilité structure l’ensemble des entiers naturels. L’élève apprend à identifier les diviseurs et les multiples d’un nombre, notions indispensables pour la simplification de fractions et la résolution de problèmes de périodicité. Des situations de partage équitable de ressources scolaires ou alimentaires permettent de visualiser concrètement ces concepts abstraits.
3.3. Critères de divisibilité
La reconnaissance rapide de la divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9, 10 et 25 repose sur des règles précises. L’élève mémorise et applique ces critères pour décomposer rapidement des nombres ou vérifier la justesse d’un calcul. L’analyse de situations, comme l’emballage de cahiers en paquets égaux dans une usine à Limete, démontre l’utilité pratique de ces critères pour optimiser la production industrielle.
3.4. Nombres premiers et décomposition
Les nombres premiers, briques élémentaires de l’arithmétique, sont définis et identifiés. L’élève pratique la décomposition en facteurs premiers, une technique centrale pour le calcul du PGCD et du PPCM. À travers des jeux mathématiques comme le crible d’Ératosthène réalisé en classe, il découvre la distribution des nombres premiers et leur rôle unique dans la structure des nombres entiers.
PARTIE 2 : NOMBRES ENTIERS RELATIFS, DÉCIMAUX ET RATIONNELS
🌐 Aperçu de la seconde partie : Cette partie marque une rupture épistémologique majeure avec l’introduction des nombres négatifs, étendant l’horizon numérique de l’élève de vers , puis vers les décimaux et les rationnels . Elle permet de modéliser des situations de manque, de perte, de températures inférieures à zéro ou de positions relatives. La maîtrise des opérations sur ces nouveaux ensembles, en particulier la gestion des signes et des fractions, constitue le socle indispensable pour la résolution d’équations et le calcul littéral.
Chapitre 4 : L’Ensemble des Entiers Relatifs (MM1.10 – MM1.11)
4.1. Construction et découverte de
L’insuffisance des entiers naturels pour décrire certaines réalités (dettes, températures sous zéro, profondeurs sous-marines) justifie la création de l’ensemble . L’élève découvre les nombres relatifs à travers des situations concrètes comme la gestion d’un petit commerce de téléphones où les pertes sont notées négativement et les gains positivement. Il apprend à situer ces nombres sur une droite graduée, visualisant ainsi leur symétrie par rapport à zéro.
4.2. Valeur absolue et opposés
La notion de valeur absolue définit la distance d’un nombre par rapport à l’origine, indépendamment de son signe. L’élève distingue la grandeur du nombre de son orientation (positive ou négative). Il maîtrise le concept de nombres opposés, dont la somme est nulle, concept clé pour la résolution d’équations futures.
4.3. Comparaison et ordre dans
Ordonner des nombres relatifs demande une gymnastique mentale nouvelle, car un « grand » nombre négatif est en réalité plus petit qu’un « petit » nombre négatif. À travers l’analyse de relevés de températures ou de chronométrages d’arrivées scolaires (en avance ou en retard), l’élève apprend à utiliser correctement les symboles d’inégalité et à classer des séries d’entiers relatifs dans l’ordre croissant ou décroissant.
4.4. Repérage dans le plan
L’ensemble permet de définir un repère cartésien complet couvrant les quatre quadrants du plan. L’élève apprend à situer des points par leurs coordonnées (abscisse et ordonnée) positives ou négatives. Des activités ludiques de localisation sur une carte quadrillée de la ville ou du quartier renforcent cette compétence spatiale essentielle à la géométrie analytique.
Chapitre 5 : Opérations dans (MM1.12 – MM1.16)
5.1. Addition et soustraction des entiers relatifs
L’addition de nombres de signes contraires et la soustraction (définie comme l’addition de l’opposé) posent souvent des défis conceptuels. L’élève s’exerce à travers des bilans comptables ou des calculs de différences de buts dans un championnat de football (Linafoot). Il intègre la règle des signes pour transformer les soustractions en additions et simplifier les écritures.
5.2. La règle des parenthèses et priorités
La gestion des parenthèses précédées d’un signe positif ou négatif est une compétence technique critique. L’élève apprend à supprimer les parenthèses en modifiant correctement les signes des termes intérieurs. Des exercices de gestion de caisse communautaire, impliquant des mises et des retraits successifs, permettent de pratiquer ces règles de priorité opératoire dans un contexte significatif.
5.3. Multiplication et division dans
La règle des signes pour le produit et le quotient (« moins par moins donne plus ») est établie et appliquée. L’élève complète des tables de multiplication étendues aux nombres négatifs et résout des problèmes impliquant des grandeurs proportionnelles orientées. Il vérifie la cohérence des résultats par des preuves mathématiques simples et l’utilisation raisonnée de la calculatrice.
5.4. Résolution de problèmes additifs et multiplicatifs
La mobilisation simultanée des quatre opérations dans permet de résoudre des problèmes complexes. L’élève analyse des situations variées, comme les variations de stock ou les mouvements bancaires, traduisant des énoncés verbaux en chaînes d’opérations mathématiques respectant les conventions de signes et de priorités.
Chapitre 6 : Puissances dans et Nombres Décimaux (MM1.17 – MM1.22)
6.1. Exponentiation dans
L’extension de la notion de puissance aux entiers relatifs nécessite une attention particulière au signe de la base et à la parité de l’exposant. L’élève découvre, par l’observation de régularités, que est positif si est pair et négatif si est impair. Cette règle est essentielle pour éviter les erreurs de signe fréquentes dans le calcul algébrique ultérieur.
6.2. Nombres décimaux arithmétiques
Les nombres décimaux sont présentés comme une extension du système décimal vers les puissances négatives de 10. L’élève apprend à lire, écrire et décomposer des décimaux, en identifiant précisément la valeur positionnelle de chaque chiffre (dixièmes, centièmes, millièmes). Des mesures de précision, comme la longueur de câbles électriques pour une installation, servent de support concret.
6.3. Opérations sur les décimaux (MM1.19 – MM1.21)
La maîtrise des opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sur les décimaux est renforcée, en insistant sur l’alignement de la virgule et la gestion du nombre de décimales dans le résultat. L’élève résout des problèmes de périmètres de terrains de sport ou de calculs de distances parcourues lors de courses d’athlétisme, nécessitant une grande précision numérique.
6.4. Problèmes de commerce et d’environnement (MM1.22)
Les nombres décimaux sont l’outil privilégié pour modéliser les échanges monétaires et les mesures physiques. L’élève applique ses connaissances à la résolution de problèmes de facturation dans une librairie scolaire (calcul de prix totaux, rendu de monnaie) et d’analyse de données environnementales (pourcentage de déchets, volumes de précipitations), intégrant ainsi les mathématiques aux enjeux sociétaux.
Chapitre 7 : Fractions et Nombres Rationnels (MM1.23 – MM1.27)
7.1. Concept de fraction et simplification (MM1.23)
La fraction est introduite comme un outil de partage et de mesure précise. L’élève apprend à simplifier les fractions pour obtenir des fractions irréductibles, facilitant ainsi leur manipulation. Des situations de découpe de matériaux (planches de bois) ou de répartition de nourriture illustrent la nécessité de travailler avec des formes simplifiées pour comparer des quantités.
7.2. Comparaison et ordre des fractions (MM1.24)
Comparer des parts inégales nécessite la réduction au même dénominateur. L’élève acquiert des techniques pour comparer et ordonner des fractions, compétences appliquées à des situations de partage de récoltes ou de distribution de ressources, où l’équité dépend de la justesse de la comparaison mathématique.
7.3. Opérations sur les fractions (MM1.25 – MM1.26)
L’addition, la soustraction, la multiplication et la division des fractions suivent des règles spécifiques que l’élève doit maîtriser. À travers des problèmes de partage de gâteaux ou de calculs de probabilités lors de courses de chevaux, il pratique ces opérations, apprenant à distinguer les cas nécessitant un dénominateur commun de ceux qui ne le nécessitent pas.
7.4. Problèmes complexes sur les fractions (MM1.27)
La synthèse des compétences sur les fractions permet de résoudre des problèmes de la vie réelle intégrant des proportions et des répartitions complexes. L’élève traite des situations de gestion de production (pâtisserie) ou de mélange de produits, où il doit calculer des quantités restantes, des parts proportionnelles et des coûts associés à des fractions de quantités.
PARTIE 3 : CALCUL LITTÉRAL, ÉQUATIONS ET GESTION DE DONNÉES
🧮 Aperçu de la troisième partie : Cette partie constitue le cœur de l’algèbre. Elle marque le passage de l’arithmétique (calcul sur des nombres connus) à l’algèbre (calcul sur des inconnues ou des variables). L’élève apprend à généraliser des situations, à manipuler des expressions symboliques et à utiliser la puissance de l’équation pour résoudre des problèmes que l’arithmétique seule ne peut dénouer. Elle intègre également les notions de proportionnalité et de statistique descriptive, outils indispensables à l’analyse du monde réel.
Chapitre 8 : Proportionnalité et Pourcentages (MM1.28 – MM1.33)
8.1. Rapports, proportions et coefficient de proportionnalité
La proportionnalité est présentée comme une relation linéaire entre deux grandeurs. L’élève apprend à identifier des situations de proportionnalité, à dresser des tableaux correspondants et à calculer le coefficient de proportionnalité. Des exemples tirés de l’élevage (masse des animaux selon l’âge) ou de la cuisine (ajustement de recettes) ancrent ce concept dans la pratique quotidienne.
8.2. Calculs de pourcentages (MM1.30 – MM1.31)
Le pourcentage, cas particulier de proportionnalité, est un outil omniprésent. L’élève apprend à calculer un pourcentage d’une grandeur, à trouver la grandeur totale à partir d’un pourcentage partiel et à appliquer ces calculs à des situations de sondages, de statistiques scolaires ou de téléchargements informatiques, développant ainsi son sens critique face aux données chiffrées.
8.3. Échelles et plans (MM1.32 – MM1.33)
L’échelle est l’application géométrique de la proportionnalité. L’élève apprend à lire et à réaliser des plans, des cartes et des maquettes en utilisant des échelles de réduction ou d’agrandissement. La réalisation du plan de la classe ou de l’école permet de connecter les mathématiques à l’espace réel et aux techniques de dessin industriel.
8.4. Problèmes de proportionnalité inverse et composée
Au-delà de la proportionnalité simple, l’élève aborde des situations plus complexes impliquant des grandeurs inversement proportionnelles (vitesse et temps) ou des proportions multiples. La résolution de problèmes de chantiers (nombre d’ouvriers vs durée des travaux) sollicite sa capacité à analyser finement les relations entre les variables.
Chapitre 9 : Calcul Littéral et Factorisation (MM1.34 – MM1.38)
9.1. Introduction aux expressions littérales
L’introduction de la lettre comme variable ou inconnue est une étape décisive. L’élève apprend à traduire des énoncés verbaux en expressions littérales (ex: mangues et bananes). Il manipule les concepts de monôme, de polynôme, de coefficient et de partie littérale, apprenant à simplifier et à ordonner des expressions algébriques simples.
9.2. Valeurs numériques des expressions
L’expression littérale prend vie lorsqu’on attribue des valeurs aux variables. L’élève s’exerce à substituer des nombres aux lettres pour calculer la valeur numérique d’une expression, comme le coût total d’un panier de biens hétérogènes. Cette pratique renforce le lien entre la formule générale et le cas particulier.
9.3. Opérations sur les polynômes et développement
L’élève apprend à additionner, soustraire et multiplier des polynômes entre eux. Il maîtrise les règles de distributivité simple et double pour développer des expressions. L’accent est mis sur la rigueur de l’écriture mathématique et la gestion correcte des signes lors des développements.
9.4. Factorisation et produits remarquables
La factorisation est présentée comme l’opération inverse du développement. L’élève apprend à mettre en évidence des facteurs communs simples, puis à utiliser des regroupements astucieux. L’étude géométrique des aires permet d’introduire visuellement les produits remarquables , et , facilitant leur mémorisation et leur application algébrique.
Chapitre 10 : Équations du Premier Degré (MM1.39 – MM1.44)
10.1. Notions et principes d’équivalence
L’équation est définie comme une égalité conditionnelle contenant une inconnue. L’élève découvre les principes d’équivalence (ajouter, retrancher, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre) qui permettent de transformer une équation sans changer ses solutions. Il apprend à distinguer les équations possibles, impossibles et indéterminées.
10.2. Résolution technique dans , et
La technique de résolution est systématisée. L’élève s’entraîne à isoler l’inconnue, à regrouper les termes semblables et à trouver la solution finale. Le champ d’application s’étend progressivement aux équations à coefficients entiers, puis fractionnaires, exigeant une maîtrise parfaite des opérations sur les rationnels.
10.3. Mise en équation de problèmes
C’est l’aboutissement du cours : traduire un problème réel en langage mathématique. L’élève apprend à identifier l’inconnue, à poser l’équation, à la résoudre et à vérifier la cohérence de la solution. Les contextes sont variés : âges, partages d’argent, dimensions géométriques, etc.
10.4. Applications thématiques (Commerce, Santé, Environnement)
L’algèbre devient un outil de résolution de problèmes sociétaux. L’élève applique les équations pour résoudre des situations spécifiques : calculs de bénéfices et de pertes (commerce), planification de campagnes de vaccination ou gestion de stocks de médicaments (santé), et quantification de déchets ou de ressources naturelles (environnement). Ces applications démontrent la puissance de l’outil mathématique pour comprendre et agir sur le monde.
ANNEXES
Bibliographie
Cette section recense les manuels scolaires conformes au programme national, les guides pédagogiques de l’enseignant, ainsi que les liens vers des ressources numériques éducatives validées par le Ministère de l’EPST. Elle inclut également des références aux textes légaux régissant l’enseignement en RDC.
Grilles d’évaluation et Corrigés types
Des modèles de grilles d’évaluation critériées sont proposés pour aider l’enseignant à juger objectivement les compétences des élèves lors des interrogations et examens. Des corrigés types pour les exercices les plus complexes des chapitres sont fournis pour servir de référence méthodologique.
Lexique mathématique
Un glossaire définit de manière concise et précise les termes techniques utilisés tout au long du cours (ex: monôme, équation, base, exposant, nombre premier), assurant une compréhension univoque du vocabulaire mathématique par les élèves et les enseignants.