COURS D’ALGÈBRE ET ANALYSE, 1ère ANNÉE, OPTION HUMANITÉS SCIENTIFIQUES

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC

PRÉLIMINAIRES

I. Présentation générale du cours 📜

Ce cours constitue le socle de la formation mathématique en humanités scientifiques. Il vise à équiper les élèves des outils fondamentaux de l’algèbre et de l’analyse, indispensables à la compréhension des sciences physiques, chimiques et biologiques. La progression est conçue pour assurer une transition rigoureuse du calcul arithmétique vers le raisonnement abstrait, préparant ainsi solidement aux exigences des années supérieures et des études universitaires.

II. Objectifs généraux 🎯

Au terme de ce cours, l’élève devra maîtriser les langages algébrique et fonctionnel pour modéliser et résoudre des problèmes concrets. Les objectifs incluent la manipulation experte des expressions algébriques, la résolution systématique d’équations et d’inéquations, la compréhension approfondie des fonctions du premier degré et l’application des concepts de proportionnalité à des situations issues des contextes économique et scientifique congolais.

III. Compétences visées 🧠

Le développement de compétences est au cœur de ce programme. L’élève apprendra à analyser une situation-problème, à la traduire en langage mathématique, à choisir une stratégie de résolution pertinente, à exécuter les calculs avec précision et à interpréter la solution dans son contexte initial. Une compétence transversale visée est le développement de l’esprit critique et de la rigueur logique.

IV. Méthodes d’évaluation 📝

L’évaluation sera continue et formative, combinant des interrogations courtes pour vérifier l’assimilation des concepts, des devoirs à domicile pour encourager l’autonomie et des examens semestriels structurés. Ces derniers comporteront des exercices d’application directe et des situations-problèmes complexes, évaluant à la fois la maîtrise des savoirs et la capacité à mobiliser les compétences acquises.

PREMIÈRE PARTIE : FONDEMENTS ALGÉBRIQUES

Cette partie inaugurale établit les bases du langage mathématique et de l’algèbre élémentaire. L’objectif est de développer les outils conceptuels nécessaires à une approche rigoureuse des mathématiques, en mettant un accent particulier sur la construction de l’ensemble des nombres réels, leurs propriétés et leurs opérations fondamentales.  фундамент

CHAPITRE 1 : LANGAGE MATHÉMATIQUE

Ce chapitre introduit les conventions et les symboles qui constituent le langage universel des mathématiques. La maîtrise de cette syntaxe est une condition essentielle pour formuler des raisonnements clairs et non ambigus.

1.1. Notions et alphabet du langage mathématique

Cette section détaille les symboles fondamentaux (variables, constantes, opérateurs, quantificateurs) et leur utilisation correcte. L’élève apprend à distinguer une expression d’une équation et à utiliser l’alphabet grec pour représenter des grandeurs spécifiques, une pratique courante en physique et en chimie.

1.2. Propositions mathématiques et tables de vérité

Ici, l’élève explore la notion de proposition logique, une affirmation qui peut être soit vraie, soit fausse. L’introduction aux tables de vérité permet de déterminer la valeur de vérité de propositions complexes, jetant les bases du raisonnement déductif.

1.3. Connecteurs de propositions logiques

L’étude des connecteurs logiques (ET, OU, NON, IMPLIQUE, ÉQUIVAUT À) structure la pensée. L’élève apprend à construire des propositions composées et à en analyser la validité, une compétence cruciale pour la démonstration de théorèmes.

1.4. Application à la résolution de problèmes

Cette section applique les notions de logique à la résolution de problèmes concrets. Par exemple, la modélisation d’un problème de logistique pour l’acheminement des produits agricoles du Nord-Kivu vers le marché de Kinshasa, en utilisant des propositions pour représenter les contraintes.

CHAPITRE 2 : NOMBRES RÉELS ET CALCULS

Ce chapitre explore en profondeur l’ensemble des nombres réels (), sa structure et les propriétés de ses opérations, assurant une maîtrise calculatoire indispensable pour toutes les sciences.

2.1. Construction et propriétés des nombres réels

L’élève découvre la construction de l’ensemble  à partir des nombres rationnels () et irrationnels. Sont étudiées les propriétés fondamentales telles que la commutativité, l’associativité, la distributivité et l’existence d’éléments neutres et symétriques.

2.2. Ordre et intervalles dans

Cette section formalise les notions de comparaison (« supérieur à », « inférieur à ») et introduit la représentation des sous-ensembles de  sous forme d’intervalles (ouverts, fermés, semi-ouverts). L’élève apprend à visualiser ces intervalles sur la droite numérique.

2.3. Opérations et propriétés fondamentales

Une révision approfondie des quatre opérations de base est effectuée, en insistant sur les règles de signes, les priorités opératoires (PEMDAS) et leur application à des expressions algébriques complexes.

2.4. Applications aux calculs pratiques

Les compétences acquises sont mobilisées pour résoudre des problèmes de la vie courante congolaise : calcul de budget familial, conversion de devises (Franc Congolais en Dollar Américain), calcul de pourcentages pour des transactions commerciales au marché de la Liberté à Masina.

CHAPITRE 3 : VALEUR ABSOLUE ET PROPORTIONNALITÉ

Ce chapitre introduit deux concepts essentiels : la valeur absolue comme mesure de distance et la proportionnalité comme modèle de relation entre grandeurs.

3.1. Définition et propriétés de la valeur absolue

La valeur absolue est définie géométriquement comme la distance d’un nombre à zéro sur la droite réelle, . Ses propriétés algébriques, notamment  et l’inégalité triangulaire , sont démontrées et appliquées.

3.2. Équations et inéquations avec valeur absolue

L’élève apprend les méthodes de résolution systématique des équations et inéquations impliquant la valeur absolue, en interprétant les solutions comme des ensembles de points sur la droite numérique.

3.3. Rapports et proportions

Cette section formalise la notion de rapport et de proportion. Les techniques de résolution comme le produit en croix sont appliquées à des problèmes de mise à l’échelle, de dosages ou de recettes.

3.4. Applications géométriques et économiques

Des exemples contextualisés sont développés, comme le calcul des dimensions d’une parcelle à Lubumbashi à partir d’un plan à l’échelle, ou l’analyse de la rentabilité d’une petite unité de production de jus de maracuja en fonction du prix des matières premières.

CHAPITRE 4 : PUISSANCES ET RADICAUX

Ce chapitre étend les notions de multiplication aux puissances et introduit l’opération inverse, les radicaux, outils fondamentaux pour la modélisation de phénomènes de croissance et en géométrie.

4.1. Puissances à exposants entiers

La notion de puissance est définie pour les exposants entiers positifs (), nuls () et négatifs (). L’élève s’exerce à manipuler ces expressions.

4.2. Propriétés des opérations sur les puissances

Les propriétés essentielles (, , etc.) sont établies et utilisées pour simplifier des expressions algébriques complexes et pour travailler avec la notation scientifique.

4.3. Radicaux d’indice deux

La racine carrée () est introduite comme l’opération inverse de la mise au carré. Les règles de calcul avec les radicaux () et les techniques de simplification sont étudiées.

4.4. Calculs et simplifications

Cette section consolide les acquis par des exercices de simplification d’expressions mêlant puissances et radicaux, y compris la rationalisation du dénominateur.

DEUXIÈME PARTIE : ALGÈBRE DES POLYNÔMES ET FONCTIONS

Cette partie développe l’algèbre des polynômes comme une extension naturelle de l’arithmétique des nombres entiers. Elle prépare aux techniques de factorisation et de résolution d’équations, compétences essentielles pour l’analyse mathématique et la modélisation. 📈

CHAPITRE 5 : OPÉRATIONS SUR LES POLYNÔMES

Ce chapitre se concentre sur la manipulation des expressions polynomiales, en particulier le développement et la factorisation, qui sont des compétences algébriques centrales.

5.1. Développement et identités remarquables

L’élève apprend à développer des produits de polynômes en utilisant la distributivité. Un accent particulier est mis sur la maîtrise des identités remarquables : ,  et .

5.2. Factorisation par mise en facteur

La mise en évidence du plus grand facteur commun est présentée comme la première stratégie de factorisation. Cette technique est appliquée à une variété de polynômes.

5.3. Factorisation par identités remarquables

L’utilisation des identités remarquables en sens inverse est développée comme une puissante méthode de factorisation. L’élève apprend à reconnaître les formes  et .

5.4. Applications aux équations

La factorisation est appliquée à la résolution d’équations polynomiales par le principe du produit nul : si , alors  ou .

CHAPITRE 6 : DIVISION EUCLIDIENNE DES POLYNÔMES

Ce chapitre introduit l’algorithme de la division euclidienne pour les polynômes, un outil fondamental pour la factorisation et l’étude des racines.

6.1. Théorème fondamental de la division euclidienne

Le théorème est énoncé : pour deux polynômes  et , il existe un unique couple de polynômes  tel que  avec .

6.2. Algorithme de division des polynômes

La méthode pratique de la division longue (ou « division en potence ») est enseignée pas à pas, avec de nombreux exemples de complexité croissante.

6.3. Divisibilité et théorème du reste

La notion de divisibilité entre polynômes est définie. Le théorème du reste est démontré : le reste de la division d’un polynôme  par  est . Une conséquence directe est que  divise  si et seulement si .

6.4. Quotients remarquables

L’étude des quotients de la forme  et  pour  impair permet de développer des stratégies de factorisation rapide pour des polynômes de degré supérieur.

CHAPITRE 7 : FONCTIONS DU PREMIER DEGRÉ

Ce chapitre marque l’entrée dans l’analyse fonctionnelle, en étudiant la forme la plus simple de fonction : la fonction du premier degré, qui modélise les phénomènes de variation constante.

7.1. Fonctions linéaires et leurs propriétés

La fonction linéaire  est étudiée comme un modèle de proportionnalité directe. Sa représentation graphique, une droite passant par l’origine, est analysée.

7.2. Fonctions affines et représentations graphiques

La fonction affine  est introduite. L’élève apprend à interpréter le coefficient directeur  (pente) et l’ordonnée à l’origine . La représentation graphique comme une droite est maîtrisée.

7.3. Croissance et décroissance

Le signe du coefficient directeur  est directement relié au sens de variation de la fonction : croissante si , décroissante si  et constante si .

7.4. Applications aux phénomènes de variation

De nombreux exemples sont traités pour modéliser des situations réelles : le coût d’une course en taxi à Kinshasa en fonction de la distance, la quantité d’eau restante dans une citerne qui se vide à débit constant, ou encore la production d’une unité artisanale de savon à Mbandaka.

CHAPITRE 8 : ÉQUATIONS ET SYSTÈMES LINÉAIRES

Ce chapitre est consacré à la résolution d’équations et de systèmes d’équations du premier degré, des outils mathématiques omniprésents dans toutes les sciences pour résoudre des problèmes à une ou plusieurs inconnues.

8.1. Résolution d’équations du premier degré

Les techniques algébriques pour isoler l’inconnue dans une équation de type  sont consolidées, en insistant sur la rigueur des étapes de résolution.

8.2. Équations paramétriques

Des équations contenant un paramètre (une lettre autre que l’inconnue) sont introduites. L’élève apprend à discuter l’existence et le nombre de solutions en fonction des valeurs du paramètre.

8.3. Systèmes de deux équations à deux inconnues

Les méthodes de résolution de systèmes  sont enseignées : la méthode de substitution, la méthode de combinaison linéaire et la méthode graphique (interprétation comme l’intersection de deux droites).

8.4. Applications aux problèmes concrets

Les systèmes d’équations sont utilisés pour modéliser et résoudre des problèmes complexes, comme déterminer les quantités de deux alliages à mélanger pour obtenir un nouvel alliage avec un pourcentage de cuivre désiré, un problème pertinent pour le secteur minier du Katanga.

ANNEXES

Ces annexes fournissent des outils de référence pratiques et des compléments méthodologiques pour accompagner l’élève tout au long de son apprentissage et au-delà. 📚

1. Formulaires et propriétés essentielles

Cette section regroupe de manière synthétique toutes les formules et propriétés importantes du cours : identités remarquables, propriétés des puissances et des radicaux, formules de proportionnalité et de variation des fonctions affines. C’est un aide-mémoire précieux pour les révisions et la résolution d’exercices.

2. Méthodes de résolution systématiques

Ici sont présentées des fiches méthodologiques décrivant, étape par étape, les stratégies de résolution pour les types de problèmes récurrents : comment résoudre une équation avec valeur absolue, comment factoriser un polynôme, comment résoudre un système d’équations linéaires. Cela aide à structurer la démarche de l’élève.

3. Applications aux sciences physiques

Cette annexe propose une série de problèmes concrets qui montrent comment les outils de l’algèbre et de l’analyse sont appliqués en physique. Les exemples incluent la modélisation de la loi d’Ohm () comme une fonction linéaire ou la résolution de problèmes de mélange en chimie.

4. Techniques de construction géométrique

Bien que le cours soit axé sur l’algèbre, cette annexe fournit des rappels sur les constructions géométriques de base (médiatrice, bissectrice) qui peuvent être utiles pour visualiser certains concepts, notamment la représentation graphique des fonctions et la résolution de systèmes d’équations.

5. Tables trigonométriques et statistiques

Pour les chapitres introductifs à la trigonométrie et aux statistiques (présents dans certains programmes intégrés de première année), cette annexe fournit des tables de valeurs usuelles qui permettent de réaliser des calculs sans dépendre exclusivement d’une calculatrice scientifique, renforçant ainsi la compréhension des concepts.