MANUEL DE COURS D’ALGÈBRE & ANALYSE, 2ème Année, Option HUMANITÉS SCIENTIFIQUES

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC

PRÉLIMINAIRES

0.1. Note aux Enseignants et Préface

📘 Aperçu Ce manuel est conçu comme un outil didactique de référence pour l’enseignement des mathématiques dans la filière scientifique en République Démocratique du Congo. Il s’aligne rigoureusement sur le Programme Éducatif du Domaine d’Apprentissage des Sciences (DAS), mettant en œuvre une approche par compétences. L’objectif primordial est de transcender la simple mémorisation des formules pour privilégier la construction du raisonnement logico-mathématique. L’enseignant trouvera ici une progression cohérente qui part des fondements de la logique formelle pour aboutir à la résolution de problèmes complexes modélisant des réalités congolaises, telles que la gestion des ressources minières du Katanga ou l’optimisation des surfaces agricoles dans le Bandundu.

0.2. Profil de Sortie et Compétences Visées

🎯 Aperçu Au terme de la deuxième année des humanités scientifiques, l’apprenant doit démontrer une maîtrise opérationnelle des outils algébriques et analytiques. Conformément aux directives nationales, il sera capable de traiter avec succès des situations-problèmes nécessitant l’usage du langage mathématique (MM4.1), la manipulation des nombres réels et radicaux (MM4.2), ainsi que l’étude approfondie des polynômes (MM4.3, MM4.4). L’accent est mis sur la capacité de l’élève à modéliser des phénomènes par des fonctions du second degré (MM4.6) et à résoudre des équations et inéquations complexes (MM4.7 – MM4.11), compétences indispensables pour les études supérieures en ingénierie et en sciences exactes.

0.3. Méthodologie et Approche par Situations

⚙️ Aperçu La méthodologie adoptée privilégie l’activité de l’élève au cœur de l’apprentissage. Chaque séquence didactique débute par une situation-problème ancrée dans le contexte socio-économique de la RDC, incitant l’apprenant à mobiliser ses acquis pour construire de nouveaux savoirs. Le manuel encourage l’utilisation de tableaux de spécification décrivant les actions de l’élève (restituer, appliquer, traiter) face aux contenus mathématiques. L’évaluation est conçue pour être à la fois formative et certificative, vérifiant non seulement la justesse des calculs, mais aussi la pertinence du raisonnement et la validité des solutions dans le contexte donné.

PARTIE 1 : FONDEMENTS ALGÉBRIQUES ET ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES

📝 Aperçu de la Partie 1 Cette première partie établit le socle rigoureux nécessaire à tout raisonnement mathématique avancé. Elle débute par la formalisation du langage et de la logique, éliminant toute ambiguïté dans l’expression scientifique. Elle s’étend ensuite à l’arithmétique des nombres réels, en approfondissant les concepts de puissances et de radicaux, avant d’introduire la structure algébrique des polynômes. L’objectif est de doter l’élève d’une syntaxe mathématique impeccable et d’une dextérité calculatoire infaillible, préparant ainsi le terrain pour l’analyse fonctionnelle. Les exemples puiseront dans la structuration logique des données démographiques de Kinshasa ou les calculs volumétriques des citernes de la REGIDESO.

Chapitre 1 : Logique Formelle et Langage Mathématique (MM4.1)

1.1. Syntaxe et Alphabet du Langage Mathématique

🔣 Aperçu Cette section introduit les symboles, notations et quantificateurs universels et existentiels indispensables à l’écriture mathématique. L’élève apprend à distinguer le langage courant du langage formel, éliminant les imprécisions sémantiques. L’enseignement focalise sur la rigueur de l’écriture des ensembles et des intervalles, essentielle pour la suite du programme.

1.2. Propositions Mathématiques et Valeurs de Vérité

✅ Aperçu Ce sous-chapitre définit le concept de proposition mathématique comme un énoncé susceptible d’être vrai ou faux, mais jamais les deux simultanément. L’élève s’exerce à déterminer la valeur de vérité d’assertions complexes, en analysant des énoncés tirés de contextes scientifiques, comme la classification des minerais ou les propriétés géométriques des parcelles cadastrées.

1.3. Connecteurs Logiques et Tables de Vérité

🔗 Aperçu L’étude des connecteurs logiques (négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence) constitue le cœur du raisonnement déductif. L’élève construit et analyse des tables de vérité pour valider des raisonnements. Une attention particulière est portée à l’implication et à sa contraposée, outils fondamentaux pour la démonstration des théorèmes mathématiques.

1.4. Raisonnement Déductif et Vérification d’Énoncés

🧠 Aperçu Cette section clôture le chapitre en appliquant les règles logiques à la démonstration mathématique. L’élève apprend à structurer une preuve, à utiliser le contre-exemple pour infirmer une proposition universelle et à manipuler la récurrence simple. Les exercices incluent la traduction d’énoncés verbaux complexes en formules logiques, renforçant la capacité d’abstraction.

Chapitre 2 : Nombres Réels, Puissances et Radicaux (MM4.2)

2.1. Extension des Nombres et Puissances à Exposants Rationnels

📈 Aperçu Ce sous-chapitre revisite l’ensemble des réels R et généralise la notion de puissance. L’élève maîtrise le passage des exposants entiers aux exposants rationnels, comprenant la continuité des opérations algébriques. Les applications pratiques incluent des calculs de croissance exponentielle appliqués à la démographie des villes comme Lubumbashi ou Goma.

2.2. Théorie et Calcul des Radicaux d’Indice n

√ Aperçu L’enseignement se concentre sur la définition rigoureuse de la racine n-ième d’un réel positif. Les élèves apprennent à manipuler les radicaux, à simplifier des expressions irrationnelles complexes et à rationaliser des dénominateurs. La rigueur est mise sur les conditions d’existence des radicaux d’indice pair.

2.3. Opérations Algébriques sur les Radicaux

➗ Aperçu Cette section développe les techniques opératoires avancées : produit, quotient et puissances de radicaux. L’élève acquiert la fluidité nécessaire pour transformer des expressions telles que la racine d’une racine ou la combinaison de radicaux d’indices différents, compétences requises pour la résolution d’équations irrationnelles ultérieures.

2.4. Applications aux Calculs de Dimensions et Volumes

📦 Aperçu Le chapitre se termine par l’application des radicaux à la géométrie de l’espace. Les élèves résolvent des problèmes concrets nécessitant l’extraction de racines, comme le calcul de l’arête d’un cube connaissant son volume ou la détermination des dimensions d’un réservoir cylindrique pour une station de pompage à Mbuji-Mayi.

Chapitre 3 : Polynômes et Division Euclidienne (MM4.3)

3.1. Définitions et Caractérisation des Polynômes dans R

x² Aperçu Ce sous-chapitre pose les bases de l’algèbre polynomiale. Il définit formellement un polynôme, son degré, ses coefficients et sa forme réduite. L’élève apprend à identifier, ordonner et évaluer des polynômes, établissant la distinction entre fonction polynôme et équation polynomiale.

3.2. Algorithme de la Division Euclidienne des Polynômes

➗ Aperçu L’élève maîtrise la technique de la division euclidienne appliquée aux polynômes, déterminant avec précision le quotient et le reste. Cette compétence est cruciale pour la simplification des expressions rationnelles. Les exemples utilisent des polynômes de degrés variés pour assurer une maîtrise complète de l’algorithme.

3.3. Divisibilité et Schéma de Horner

📉 Aperçu Cette section introduit des méthodes synthétiques pour la division par un binôme de la forme (x-a). L’utilisation du schéma de Horner est privilégiée pour sa rapidité et son efficacité dans le calcul de la valeur numérique d’un polynôme et la recherche de quotients, optimisant ainsi le temps de résolution.

3.4. Zéros d’un Polynôme et Théorème du Reste

0️⃣ Aperçu Le chapitre conclut sur le lien fondamental entre les racines d’un polynôme et sa divisibilité. L’élève apprend à vérifier si un réel est un zéro d’un polynôme et utilise le théorème du reste pour factoriser des expressions sans effectuer la division complète, une stratégie essentielle pour la résolution d’équations de degré supérieur à 2.

PARTIE 2 : CALCUL POLYNOMIAL AVANCÉ ET ANALYSE FONCTIONNELLE

📊 Aperçu de la Partie 2 Cette partie élève le niveau d’abstraction en traitant de l’arithmétique des polynômes et de l’analyse des fonctions rationnelles et du second degré. Elle vise à développer chez l’élève une capacité d’analyse structurelle des expressions mathématiques (factorisation, PGCD/PPCM) et une compétence interprétative des graphes fonctionnels. L’accent est mis sur la transition entre l’expression algébrique et sa représentation graphique, permettant de modéliser des phénomènes continus comme la trajectoire d’un projectile ou l’évolution des coûts de production dans une industrie locale.

Chapitre 4 : Factorisation et Arithmétique des Polynômes (MM4.4)

4.1. Méthodes Avancées de Factorisation

🧩 Aperçu Ce sous-chapitre explore systématiquement les techniques de décomposition des polynômes en facteurs irréductibles. L’élève utilise la mise en évidence, les identités remarquables, le groupement de termes et la méthode des coefficients indéterminés. L’objectif est de transformer des sommes algébriques complexes en produits exploitables pour l’analyse de signes.

4.2. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des Polynômes

🔍 Aperçu L’élève transpose les concepts d’arithmétique des entiers aux polynômes. Il apprend l’algorithme d’Euclide et la méthode par factorisation pour déterminer le PGCD de deux ou plusieurs polynômes. Cette compétence est fondamentale pour la simplification des fractions rationnelles complexes rencontrées en physique et en ingénierie.

4.3. Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des Polynômes

🔢 Aperçu En parallèle avec le PGCD, ce sous-chapitre traite du calcul du PPCM. L’élève maîtrise la technique permettant de réduire plusieurs fractions rationnelles au même dénominateur, une étape incontournable pour la résolution d’équations et d’inéquations rationnelles.

4.4. Applications à la Simplification d’Expressions Algébriques

✨ Aperçu Le chapitre s’achève par la synthèse des acquis précédents. L’élève applique la factorisation, le PGCD et le PPCM pour simplifier des expressions algébriques lourdes et résoudre des équations polynomiales de degré supérieur, préparant ainsi le terrain pour l’analyse des fonctions rationnelles.

Chapitre 5 : Fractions Rationnelles et Opérations (MM4.5)

5.1. Domaine de Définition et Existence

🚧 Aperçu Ce sous-chapitre est crucial pour la rigueur mathématique. L’élève apprend à déterminer systématiquement les conditions d’existence d’une fraction rationnelle avant tout calcul. Il identifie les valeurs interdites (pôles) qui annulent le dénominateur, concept clé pour l’étude des asymptotes verticales ultérieurement.

5.2. Simplification et Réduction des Fractions Rationnelles

✂️ Aperçu L’élève applique les compétences de factorisation pour simplifier les fractions rationnelles à leur forme irréductible. La rigueur est de mise pour ne pas simplifier abusivement sans tenir compte du domaine de définition. Des exercices pratiques renforcent la précision dans la manipulation algébrique.

5.3. Opérations Algébriques sur les Fractions Rationnelles

➕ Aperçu Cette section couvre la somme, la différence, le produit et le quotient de fractions rationnelles. L’élève développe une dextérité dans la mise au même dénominateur et la simplification des résultats. Les contextes incluent des problèmes de mélange de solutions chimiques ou de calculs de résistances électriques en parallèle.

5.4. Zéros et Étude de Signe d’une Fraction Rationnelle

± Aperçu Le chapitre se clôture par l’analyse du comportement de la fraction. L’élève apprend à déterminer les zéros (valeurs annulant le numérateur) et à construire des tableaux de signes complets intégrant les zéros et les valeurs interdites. Cette compétence est le prérequis direct pour la résolution d’inéquations rationnelles.

Chapitre 6 : Analyse de la Fonction du Second Degré (MM4.6)

6.1. Forme Canonique et Caractéristiques Intrinsèques

U Aperçu L’élève étudie la structure de la fonction quadratique . Il apprend à passer de la forme développée à la forme canonique, identifiant ainsi directement les coordonnées du sommet et l’axe de symétrie. Cette transformation est essentielle pour comprendre la translation et la dilatation de la parabole de référence .

6.2. Zéros de la Fonction et Intersection avec les Axes

⭕ Aperçu Ce sous-chapitre focalise sur la recherche des racines (zéros) de la fonction quadratique. L’élève analyse le lien entre le discriminant, le nombre de solutions réelles et les points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses. Il détermine également l’ordonnée à l’origine.

6.3. Variations, Extremums et Tableau de Signes

📉 Aperçu L’élève analyse le sens de variation de la fonction sur son domaine. Il détermine le minimum ou le maximum (extremum) en fonction du signe du coefficient ‘a’. La construction du tableau de signes et de variations permet de synthétiser le comportement global de la fonction, utile pour les problèmes d’optimisation économique.

6.4. Représentation Graphique et Interprétation

📈 Aperçu Le chapitre aboutit à la construction précise de la parabole. L’élève apprend à placer les points remarquables (sommet, zéros, ordonnée à l’origine) et à tracer la courbe avec soin. L’interprétation graphique permet de résoudre visuellement des problèmes concrets, comme déterminer la hauteur maximale atteinte par un objet lancé.

PARTIE 3 : ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET MODÉLISATION

🧮 Aperçu de la Partie 3 La troisième et dernière partie constitue l’aboutissement applicatif du cours. Elle mobilise l’ensemble des outils algébriques pour la résolution de problèmes. Elle couvre de manière exhaustive la résolution des équations du second degré, y compris celles avec paramètres, et s’étend aux équations réductibles (bicarrées, irrationnelles). La section sur les inéquations introduit l’analyse de contraintes, essentielle à la prise de décision. Enfin, la modélisation de situations réelles démontre la puissance des mathématiques pour résoudre des problèmes d’ingénierie civile, de gestion agricole ou de physique, ancrant définitivement les savoirs dans la réalité du développement de la RDC.

Chapitre 7 : Résolution des Équations du Second Degré et Paramétriques (MM4.7, MM4.8)

7.1. Méthode du Discriminant et Résolution dans R

Δ Aperçu Ce sous-chapitre systématise la résolution de l’équation . L’élève maîtrise le calcul du discriminant (Delta) et la discussion sur l’existence et le nombre de solutions réelles. L’analyse rigoureuse des cas ,  et  est exigée, éliminant toute approximation dans la détermination des racines.

7.2. Relations entre Coefficients et Racines (Somme et Produit)

∑ Aperçu L’élève explore les relations de Viète (Somme S et Produit P). Il apprend à calculer S et P sans résoudre l’équation, à déterminer le signe des racines sans les calculer, et à trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit. Cette compétence permet des vérifications rapides et des résolutions mentales astucieuses.

7.3. Équations Paramétriques du Second Degré

🎛️ Aperçu C’est une section clé pour l’option scientifique. L’élève apprend à discuter de l’existence et du signe des solutions d’une équation où les coefficients dépendent d’un paramètre réel . Il analyse comment la variation du paramètre influence la nature des racines, modélisant des situations dynamiques en physique.

7.4. Reconstruction d’Équation et Factorisation du Trinôme

🏗️ Aperçu Le chapitre conclut par la capacité inverse : construire une équation du second degré connaissant ses racines ou des relations entre elles. L’élève applique également la décomposition du trinôme en produit de facteurs du premier degré, lien essentiel avec la simplification des fractions rationnelles vue précédemment.

Chapitre 8 : Équations Réductibles et Systèmes Non-Linéaires (MM4.9)

8.1. Équations Bicarrées et Méthode de Substitution

🔄 Aperçu L’élève aborde les équations de degré 4 réductibles à des équations quadratiques par changement de variable (). La rigueur est mise sur la discussion des solutions admissibles pour la variable auxiliaire  (positivité) avant de revenir à la variable .

8.2. Équations Irrationnelles

im Aperçu Ce sous-chapitre traite des équations contenant l’inconnue sous un radical. L’élève apprend la méthodologie stricte : poser les conditions d’existence (radicande positif), isoler le radical, élever au carré, et impérativement vérifier les solutions trouvées dans l’équation initiale pour éliminer les solutions étrangères introduites par l’élévation au carré.

8.3. Équations Réciproques et Symétriques

mirror Aperçu L’étude s’étend aux équations dont les coefficients présentent une symétrie. L’élève développe des techniques spécifiques de factorisation et de division par  pour réduire le degré de l’équation, démontrant une maîtrise avancée de la manipulation algébrique.

8.4. Systèmes Simples conduisant au Second Degré

🔁 Aperçu Le chapitre se termine par la résolution de systèmes d’équations non linéaires simples, où l’une des équations ou la substitution conduit à une résolvante du second degré. Les applications touchent à l’intersection de droites et de paraboles ou d’hyperboles.

Chapitre 9 : Inéquations et Résolution de Problèmes Complexes (MM4.10, MM4.11)

9.1. Signe du Trinôme du Second Degré

± Aperçu L’élève apprend à déterminer le signe de  en fonction du signe de  et de la position de  par rapport aux racines. La règle du « signe de a à l’extérieur des racines » est démontrée et appliquée. Cette analyse est le prérequis pour résoudre les inéquations quadratiques.

9.2. Résolution des Inéquations Produits et Quotients

≷ Aperçu Ce sous-chapitre généralise l’étude de signe aux produits et quotients de facteurs du premier et second degré. L’élève construit des tableaux de signes complexes pour résoudre des inéquations rationnelles, veillant scrupuleusement aux valeurs interdites et aux bornes des intervalles solutions.

9.3. Modélisation : Problèmes Géométriques et Physiques

📐 Aperçu L’élève applique les équations et inéquations à la résolution de problèmes concrets : calculs de surfaces, dimensions d’un terrain rectangulaire connaissant son périmètre et sa surface (exemple du jardin scolaire de l’Institut Lukumu), ou trajectoires paraboliques en cinématique. L’accent est mis sur la traduction de l’énoncé en langage mathématique.

9.4. Problèmes d’Optimisation et Gestion de Contraintes

🚀 Aperçu Le cours culmine avec des problèmes d’optimisation (maximisation de profit, minimisation de coût ou de surface) modélisables par des fonctions du second degré. Les élèves traitent des situations complexes intégrant des contraintes multiples, comme la gestion optimale d’un espace agricole au Kivu ou la rentabilité d’une production artisanale.

ANNEXES

A.1. Tableaux Récapitulatifs des Formules

📋 Aperçu Cette annexe offre une synthèse visuelle et condensée de toutes les formules clés du cours : identités remarquables, formules du discriminant, relations de Viète, propriétés des radicaux et des puissances. C’est un outil de révision rapide pour l’élève avant les évaluations.

A.2. Guide de Résolution des Problèmes Types

💡 Aperçu Cette section propose une méthodologie étape par étape pour aborder les problèmes écrits (mise en équation). Elle détaille la démarche : choix des inconnues, traduction des contraintes, résolution de l’équation, et interprétation critique du résultat dans le contexte du problème.

A.3. Recueil d’Exercices Supplémentaires Contextualisés

book Aperçu Une banque d’exercices additionnels classés par niveau de difficulté. Ces exercices sont spécifiquement ancrés dans les réalités de la RDC (hydrologie du fleuve Congo, architecture locale, commerce), permettant à l’enseignant de différencier sa pédagogie et de proposer des devoirs à domicile pertinents.

A.4. Corrigés Commentés des Exercices Clés

✅ Aperçu Pour favoriser l’autonomie, cette annexe fournit les solutions détaillées d’une sélection d’exercices représentatifs. Les commentaires insistent sur la rédaction, la justification logique des étapes et la vérification des conditions d’existence, servant de modèle de rigueur pour l’élève.