COURS D’ALGÈBRE ET ANALYSE, 2ÈME ANNÉE DES HUMANITÉS SCIENTIFIQUES
Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC
PRÉLIMINAIRES
I. Présentation du cours 📜
Ce cours d’algèbre et d’analyse de deuxième année approfondit les concepts fondamentaux et introduit des outils plus sophistiqués pour la modélisation et la résolution de problèmes. Le programme est conçu pour consolider la maîtrise des polynômes, étendre l’étude aux fonctions du second degré, et initier les élèves à l’analyse des suites numériques. L’accent est mis sur le développement du raisonnement déductif et l’application des concepts à des situations complexes, préparant les élèves aux exigences de l’année terminale et de l’enseignement supérieur.
II. Objectifs généraux 🎯
L’objectif principal est de permettre à l’élève de maîtriser les techniques de résolution des équations et inéquations du second degré et de développer une compréhension approfondie des fonctions polynomiales. Au terme de ce cours, il devra être capable d’analyser une fonction du second degré, de modéliser des phénomènes évolutifs à l’aide de suites arithmétiques et géométriques, et d’utiliser le raisonnement logique pour construire des démonstrations mathématiques rigoureuses.
III. Compétences visées 🧠
Ce programme vise à forger une maturité mathématique. L’élève apprendra à manipuler des expressions rationnelles, à résoudre analytiquement et graphiquement des problèmes du second degré, à interpréter les paramètres d’une fonction pour en prédire le comportement, et à choisir le modèle de suite approprié pour décrire une situation d’évolution discrète, comme le calcul d’intérêts composés dans une institution de microfinance à Mbuji-Mayi.
IV. Méthode d’évaluation 📝
L’évaluation sera continue et axée sur la capacité à résoudre des problèmes de plus en plus abstraits. Elle s’appuiera sur des interrogations régulières pour valider la compréhension des théorèmes, des devoirs pour développer l’autonomie dans la recherche de solutions, et des examens semestriels. Ces derniers intégreront des problèmes de synthèse qui exigent la mobilisation de compétences issues de plusieurs chapitres pour modéliser une situation complète.
V. Matériel requis 💻
La réussite dans ce cours exige l’utilisation d’outils de calcul et de visualisation. Une calculatrice scientifique programmable est indispensable pour les calculs complexes et l’exploration des fonctions. L’accès à un logiciel de géométrie dynamique ou à un grapheur est fortement encouragé pour permettre la visualisation des fonctions, des transformations et des suites, renforçant ainsi l’intuition et la compréhension des concepts.
PREMIÈRE PARTIE : LANGAGE MATHÉMATIQUE ET NOMBRES RÉELS APPROFONDIS
Cette partie consolide et approfondit les acquis du langage mathématique et étend l’étude des nombres réels aux aspects plus complexes. Elle développe la maîtrise des propriétés fondamentales des nombres réels, introduit les puissances à exposants rationnels et explore les radicaux d’indice quelconque, renforçant les bases nécessaires aux développements algébriques et analytiques ultérieurs. 🧠
CHAPITRE 1 : ALPHABET DU LANGAGE MATHÉMATIQUE
Ce chapitre formalise les outils de la logique et du raisonnement indispensables à la pratique mathématique.
1.1 Propositions mathématiques et connecteurs logiques
L’étude des propositions et des tables de vérité est approfondie. Les élèves apprennent à analyser la structure logique d’un énoncé complexe et à en déterminer la validité.
1.2 Quantificateurs universels et existentiels
Les quantificateurs « pour tout » (∀) et « il existe » (∃) sont introduits pour formuler des énoncés mathématiques précis. La négation de propositions quantifiées est étudiée.
1.3 Raisonnement déductif et démonstrations
La structure d’une démonstration mathématique (hypothèses, déductions, conclusion) est formalisée. L’importance de la rigueur et de la justification de chaque étape est soulignée.
1.4 Méthodes de démonstration mathématique
Différentes stratégies de démonstration sont présentées : la démonstration directe, la démonstration par contraposition et la démonstration par l’absurde.
CHAPITRE 2 : NOMBRES RÉELS – EXTENSIONS ET PROPRIÉTÉS
Ce chapitre étend les opérations dans l’ensemble des nombres réels.
2.1 Puissances d’exposants rationnels
La notion de puissance est généralisée aux exposants rationnels (fractions), en établissant le lien fondamental : .
2.2 Radicaux d’indice n et leurs propriétés
Les radicaux d’indice quelconque () sont étudiés. Les règles de calcul (produit, quotient) et de simplification des expressions contenant ces radicaux sont développées.
2.3 Expressions irrationnelles et rationalisation
Les techniques pour manipuler des expressions contenant des radicaux sont approfondies, notamment la rationalisation du dénominateur d’une fraction pour simplifier les calculs.
2.4 Encadrements et approximations
Les méthodes d’encadrement et de calcul de valeurs approchées pour les nombres irrationnels sont présentées, développant le sens de l’ordre de grandeur et de la précision.
CHAPITRE 3 : POLYNÔMES DANS R – OPÉRATIONS AVANCÉES
Ce chapitre approfondit l’étude de l’arithmétique des polynômes.
3.1 Quotient et reste de la division euclidienne
L’algorithme de la division euclidienne des polynômes est maîtrisé. Le théorème fondamental est appliqué systématiquement.
3.2 Divisibilité par x – a et zéros d’un polynôme
Le théorème du reste et le critère de divisibilité par sont utilisés pour déterminer si un nombre est une racine (un zéro) d’un polynôme.
3.3 Méthodes de factorisation des polynômes
Des stratégies de factorisation avancées sont développées, en utilisant la division euclidienne et la recherche de racines pour décomposer un polynôme en facteurs de plus bas degré.
3.4 PPCM et PGCD des polynômes
Les concepts de Plus Petit Commun Multiple (PPCM) et de Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) sont étendus aux polynômes, en se basant sur leur factorisation.
CHAPITRE 4 : FRACTIONS RATIONNELLES
Ce chapitre introduit les fractions rationnelles et leur manipulation algébrique.
4.1 Définition et propriétés des fractions rationnelles
Une fraction rationnelle est définie comme le quotient de deux polynômes. Son domaine de définition, qui exclut les zéros du dénominateur, est étudié.
4.2 Opérations sur les fractions rationnelles
Les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication et de division des fractions rationnelles sont définies, en utilisant le PPCM des dénominateurs pour l’addition.
4.3 Zéros et signes des fractions rationnelles
La détermination des zéros (racines du numérateur) et l’étude du signe d’une fraction rationnelle à l’aide d’un tableau de signes sont systématisées.
4.4 Décomposition en éléments simples
Une introduction à la décomposition d’une fraction rationnelle en une somme de fractions plus simples est proposée, une technique fondamentale en calcul intégral.
DEUXIÈME PARTIE : ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES ALGÉBRIQUES
Cette partie développe l’étude systématique des équations et inéquations du second degré, ainsi que leurs applications. Elle explore les méthodes de résolution, les propriétés des racines et l’analyse des systèmes d’équations, développant les compétences de résolution algébrique et d’interprétation des solutions dans des contextes variés. ⚙️
CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Ce chapitre est consacré à la résolution complète des équations polynomiales de degré deux.
5.1 Méthodes de résolution des équations du second degré
Les différentes approches sont étudiées : la factorisation, la complétion du carré et l’utilisation de la formule quadratique (formule du discriminant).
5.2 Discriminant et nature des racines
Le discriminant () est introduit comme un outil permettant de déterminer, sans les calculer, le nombre et la nature des racines d’une équation du second degré (réelles et distinctes, réelle et double, ou complexes).
5.3 Relations entre coefficients et racines
Les relations de Viète, qui lient la somme et le produit des racines aux coefficients de l’équation, sont établies. Elles permettent de vérifier des solutions ou de construire une équation à partir de ses racines.
5.4 Applications et problèmes du second degré
De nombreux problèmes concrets menant à des équations du second degré sont résolus, par exemple l’optimisation de la surface d’un champ agricole dans la plaine de la Ruzizi ou des problèmes de trajectoire.
CHAPITRE 6 : INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Ce chapitre étend les techniques de résolution aux inéquations impliquant des polynômes du second degré.
6.1 Résolution algébrique des inéquations du second degré
La méthode consiste à étudier le signe du trinôme du second degré en fonction des racines, ce qui permet de déterminer les intervalles où l’inéquation est vérifiée.
6.2 Étude graphique et tableau de signes
L’interprétation graphique de la résolution (position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses) est mise en relation avec le tableau de signes du trinôme.
6.3 Inéquations avec valeurs absolues
Des inéquations plus complexes, impliquant des valeurs absolues et des expressions du second degré, sont résolues en utilisant la définition de la valeur absolue et en discutant les cas.
6.4 Systèmes d’inéquations du second degré
La résolution de systèmes d’inéquations à une inconnue est abordée en trouvant l’intersection des ensembles de solutions de chaque inéquation.
CHAPITRE 7 : SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
Ce chapitre approfondit la résolution des systèmes d’équations, en passant à des systèmes de plus grande taille.
7.1 Systèmes de deux équations à deux inconnues
Les méthodes de substitution, de combinaison linéaire et la méthode graphique sont revues et consolidées.
7.2 Méthodes de résolution : substitution et élimination
Ces méthodes sont systématisées pour être applicables à des systèmes de plus grande taille. La rigueur dans les étapes de calcul est soulignée.
7.3 Systèmes de trois équations à trois inconnues
La résolution de systèmes par la méthode d’élimination de Gauss (méthode du pivot) est introduite comme une approche systématique et efficace.
7.4 Applications et interprétation géométrique
L’interprétation géométrique d’un système comme l’intersection de trois plans dans l’espace est présentée. Des problèmes concrets, comme la détermination des quantités de trois ingrédients dans un mélange, sont modélisés et résolus.
CHAPITRE 8 : ÉQUATIONS AVEC PARAMÈTRES
Ce chapitre introduit la discussion d’équations dont les coefficients dépendent d’un ou plusieurs paramètres.
8.1 Équations du premier degré avec paramètres
La discussion du nombre de solutions d’une équation est menée en fonction des valeurs des paramètres et .
8.2 Équations du second degré avec paramètres
L’existence et le signe des racines d’une équation du second degré sont discutés en fonction des valeurs d’un paramètre, en analysant le signe du discriminant, de la somme et du produit des racines.
8.3 Discussion selon les valeurs du paramètre
Les élèves apprennent à partitionner l’ensemble des valeurs possibles d’un paramètre pour décrire complètement le comportement des solutions de l’équation.
8.4 Optimisation et problèmes paramétriques
Des problèmes d’optimisation où la quantité à maximiser ou minimiser dépend d’un paramètre sont étudiés, une introduction à des concepts plus avancés de l’analyse.
TROISIÈME PARTIE : FONCTIONS NUMÉRIQUES ET ANALYSE ÉLÉMENTAIRE
Cette partie introduit l’étude systématique des fonctions numériques, particulièrement les fonctions du second degré et leurs propriétés. Elle développe les concepts de domaine, image, variations et représentations graphiques, initiant les élèves aux méthodes d’analyse fonctionnelle et à l’interprétation géométrique des propriétés algébriques. 📈
CHAPITRE 9 : GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
Ce chapitre formalise le concept de fonction, un des objets centraux des mathématiques modernes.
9.1 Définition et notation des fonctions
Une fonction est définie formellement comme une relation qui, à chaque élément d’un ensemble de départ, associe au plus un élément d’un ensemble d’arrivée. Les notations et sont maîtrisées.
9.2 Domaine de définition et ensemble image
Le domaine de définition est l’ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. L’ensemble image est l’ensemble de toutes les valeurs que la fonction peut prendre.
9.3 Composition et fonctions réciproques
La composition de fonctions () est définie. La notion de fonction réciproque (), qui « inverse » l’action d’une fonction, est introduite pour les fonctions bijectives.
9.4 Parité et périodicité des fonctions
Les propriétés de symétrie des fonctions sont étudiées : les fonctions paires () et impaires (). La périodicité est définie pour les fonctions qui se répètent à intervalles réguliers.
CHAPITRE 10 : FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ
Ce chapitre est entièrement consacré à l’étude détaillée des fonctions polynomiales de degré deux.
10.1 Forme canonique et forme factorisée
Toute fonction du second degré peut s’écrire sous trois formes : développée, canonique (qui révèle les coordonnées du sommet) et factorisée (qui révèle les racines).
10.2 Zéros et sommet d’une fonction du second degré
Les zéros (ou racines) de la fonction correspondent aux points d’intersection de son graphe avec l’axe des abscisses. Le sommet est le point où la fonction atteint son extremum (maximum ou minimum).
10.3 Axe de symétrie et extremums
La représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole, qui possède un axe de symétrie vertical passant par son sommet.
10.4 Graphique et variations
Les variations de la fonction (croissance, décroissance) sont étudiées et résumées dans un tableau de variations. Les élèves apprennent à tracer avec précision le graphe d’une fonction du second degré.
CHAPITRE 11 : TRANSFORMATIONS DES FONCTIONS
Ce chapitre explore comment le graphe d’une fonction est modifié par des transformations géométriques simples.
11.1 Translations horizontales et verticales
L’effet de l’ajout d’une constante à la variable () ou à la fonction () est analysé comme une translation du graphe.
11.2 Réflexions et symétries
Les transformations et sont interprétées comme des réflexions du graphe par rapport aux axes de coordonnées.
11.3 Dilatations et contractions
La multiplication de la variable ou de la fonction par un facteur ( ou ) est étudiée comme une dilatation ou une contraction du graphe.
11.4 Compositions de transformations
Des transformations plus complexes sont analysées en les décomposant en une séquence de transformations élémentaires (translations, réflexions, dilatations).
CHAPITRE 12 : ANALYSE GRAPHIQUE DES FONCTIONS
Ce chapitre développe la compétence de lecture et d’interprétation d’informations à partir de la représentation graphique d’une fonction.
12.1 Lecture graphique des propriétés
Les élèves apprennent à lire directement sur un graphe le domaine de définition, l’ensemble image, les zéros, le signe, les variations et les extremums d’une fonction.
12.2 Résolution graphique d’équations et d’inéquations
La résolution graphique de l’équation se ramène à la recherche des abscisses des points d’intersection du graphe de avec la droite . De même pour les inéquations.
12.3 Optimisation graphique
Des problèmes d’optimisation (recherche de maximum ou de minimum) sont résolus graphiquement en identifiant le sommet de la parabole représentant la fonction à optimiser.
12.4 Modélisation par fonctions du second degré
Des situations réelles, comme la hauteur d’un objet en chute libre en fonction du temps, sont modélisées par des fonctions du second degré, montrant la puissance de cet outil.
QUATRIÈME PARTIE : SUITES ET APPLICATIONS PRATIQUES
Cette partie introduit les concepts fondamentaux des suites numériques et leurs applications dans la modélisation de phénomènes discrets. Elle explore les suites arithmétiques et géométriques, leurs propriétés et leurs applications pratiques, développant les compétences de modélisation mathématique et d’analyse de situations évolutives. 🔢
CHAPITRE 13 : SUITES NUMÉRIQUES – INTRODUCTION
Ce chapitre pose les bases de l’étude des suites.
13.1 Définition et notation des suites
Une suite numérique est définie comme une fonction dont l’ensemble de départ est l’ensemble des entiers naturels. Les notations et sont introduites.
13.2 Modes de génération des suites
Deux modes de définition d’une suite sont distingués : la définition explicite (où est donné par une formule en fonction de ) et la définition par récurrence (où un terme est défini en fonction du précédent).
13.3 Représentation graphique des suites
Une suite peut être représentée graphiquement par un nuage de points de coordonnées .
13.4 Suites monotones et bornées
Les notions de monotonie (suite croissante, décroissante) et de suite bornée (majorée, minorée) sont définies.
CHAPITRE 14 : SUITES PARTICULIÈRES ET APPLICATIONS
Ce chapitre se concentre sur les deux types de suites les plus importants et leurs applications.
14.1 Suites arithmétiques et leurs propriétés
Une suite arithmétique est une suite où l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant une constante appelée la raison. La formule du terme général et de la somme des termes est établie.
14.2 Suites géométriques et leurs propriétés
Une suite géométrique est une suite où l’on passe d’un terme au suivant en multipliant par une constante appelée la raison. La formule du terme général et de la somme des termes est établie.
14.3 Sommes de termes de suites
Les formules pour calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique sont démontrées et appliquées.
14.4 Applications aux problèmes concrets
Les suites sont utilisées pour modéliser des phénomènes d’évolution, comme le calcul d’intérêts simples (suite arithmétique) ou composés (suite géométrique) pour un crédit dans une banque de la Gombe, ou encore la croissance d’une population.
ANNEXES
Annexe I : Formulaire d’algèbre et propriétés des nombres réels 📝
Cette annexe regroupe de manière synthétique les identités remarquables, les propriétés des puissances et des radicaux, ainsi que les formules de résolution des équations du second degré. C’est un outil de référence indispensable.
Annexe II : Méthodes de résolution et techniques de calcul 🧮
Des fiches méthodologiques décrivent, étape par étape, les algorithmes de résolution pour la division euclidienne, la factorisation de polynômes et la résolution de systèmes d’équations, servant de guide pratique.
Annexe III : Tables de fonctions usuelles et leurs graphiques 📈
Cette section présente un catalogue des fonctions de référence (linéaire, affine, carrée, inverse) avec leur représentation graphique et leurs propriétés essentielles (domaine, variations, parité), facilitant leur reconnaissance et leur utilisation.
COURS DE GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE, 2ÈME ANNÉE DES HUMANITÉS SCIENTIFIQUES
Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC
PRÉLIMINAIRES
I. Présentation du cours 📜
Ce cours de géométrie et trigonométrie de deuxième année approfondit l’étude des structures spatiales en intégrant les outils de l’algèbre vectorielle et de la géométrie analytique. Le programme est conçu pour développer une compréhension avancée des relations géométriques dans le plan et dans l’espace, tout en consolidant les bases de la trigonométrie. L’objectif est de fournir aux élèves un cadre mathématique rigoureux pour la modélisation des phénomènes physiques et l’ingénierie.
II. Objectifs généraux 🎯
L’ambition de ce cours est de permettre à l’élève de maîtriser l’analyse vectorielle et analytique des objets géométriques. Au terme de ce cursus, il devra être capable de manipuler les équations de droites et de cercles, de résoudre des problèmes métriques dans le plan et l’espace, de maîtriser les concepts de la géométrie descriptive et d’appliquer les fonctions trigonométriques à des situations complexes.
III. Compétences visées 🧠
Ce programme vise à forger des compétences de raisonnement spatial et de modélisation mathématique. L’élève apprendra à traduire un problème géométrique en langage algébrique, à utiliser le calcul vectoriel pour démontrer des propriétés, à représenter des objets tridimensionnels sur un plan, et à résoudre des triangles quelconques en utilisant les lois trigonométriques.
IV. Méthode d’évaluation 📝
L’évaluation des acquis sera continue et axée sur la résolution de problèmes intégrant plusieurs concepts. Elle comprendra des exercices de géométrie analytique, des projets de construction en géométrie descriptive, et des examens semestriels. Ces derniers comporteront des situations-problèmes, comme la détermination de l’équation de la trajectoire d’un mobile ou l’analyse des positions relatives de plans dans une structure architecturale à Lubumbashi.
V. Matériel requis 💻
La pratique de la géométrie analytique et spatiale exige des outils de visualisation et de calcul. En plus des instruments de dessin traditionnels (compas, lattes), une calculatrice graphique ou l’accès à un logiciel de géométrie dynamique est fortement recommandé. Ces outils permettent d’explorer les concepts, de vérifier les constructions et de visualiser les objets en trois dimensions, renforçant ainsi l’intuition géométrique.
PREMIÈRE PARTIE : GÉOMÉTRIE VECTORIELLE DANS LE PLAN
Cette partie développe les concepts fondamentaux du calcul vectoriel dans le plan, établissant les bases algébriques et géométriques nécessaires à l’étude des vecteurs. Elle explore les opérations vectorielles, les propriétés du produit scalaire et leurs applications en géométrie analytique, permettant aux élèves de maîtriser les outils vectoriels pour la résolution de problèmes géométriques. ➡️
CHAPITRE 1 : VECTEURS DANS LE PLAN
Ce chapitre consolide la notion de vecteur comme outil de modélisation géométrique.
1.1 Définition et représentation des vecteurs
Le vecteur est formellement défini comme une classe d’équipollence de bipoints, caractérisée par sa direction, son sens et sa norme. Sa représentation par une flèche est systématisée.
1.2 Égalité et relation de Chasles
L’égalité de deux vecteurs est revue, et la relation de Chasles est présentée comme un outil fondamental pour la décomposition et la composition des vecteurs, simplifiant de nombreuses démonstrations.
1.3 Vecteurs colinéaires et vecteurs libres
La condition de colinéarité de deux vecteurs est étudiée analytiquement. La notion de vecteur libre, indépendant de son point d’application, est soulignée.
1.4 Norme d’un vecteur et vecteurs unitaires
La norme d’un vecteur est sa longueur. Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1 qui sert à indiquer une direction. La notion de normalisation d’un vecteur est introduite.
CHAPITRE 2 : OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS
Ce chapitre se concentre sur l’algèbre des vecteurs du plan.
2.1 Addition et soustraction vectorielle
Les opérations d’addition et de soustraction sont revues géométriquement et analytiquement. La soustraction est définie comme l’addition de l’opposé.
2.2 Multiplication d’un vecteur par un scalaire
La multiplication par un scalaire est étudiée, en analysant son effet sur la norme et le sens du vecteur.
2.3 Propriétés des opérations vectorielles
Les propriétés d’espace vectoriel de l’ensemble des vecteurs du plan sont formellement établies (commutativité, associativité, distributivité).
2.4 Applications aux parallélogrammes et triangles
Le calcul vectoriel est appliqué pour démontrer les propriétés des figures planes, comme le théorème de la droite des milieux ou le fait que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
CHAPITRE 3 : REPÈRES VECTORIELS DU PLAN
Ce chapitre introduit le concept de repère pour permettre l’étude analytique des vecteurs.
3.1 Base vectorielle d’un plan
Une base du plan est définie comme un couple de deux vecteurs non colinéaires. Tout vecteur du plan peut s’exprimer de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base.
3.2 Coordonnées d’un vecteur dans une base
Les coordonnées (ou composantes) d’un vecteur sont les coefficients de sa décomposition dans une base donnée.
3.3 Repères orthonormés du plan
Un repère orthonormé est un repère dont les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1. Ce type de repère simplifie considérablement les calculs de normes et d’angles.
3.4 Expression analytique des vecteurs
Le calcul des coordonnées d’une somme de vecteurs, d’un produit par un scalaire, et du vecteur reliant deux points est systématisé.
CHAPITRE 4 : PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN
Ce chapitre approfondit l’étude du produit scalaire et de ses multiples applications.
4.1 Définition et propriétés du produit scalaire
Les différentes définitions du produit scalaire (géométrique, par projection orthogonale) sont revues. Ses propriétés de bilinéarité et de symétrie sont étudiées.
4.2 Expression analytique du produit scalaire
L’expression analytique du produit scalaire dans une base orthonormée () est rappelée et utilisée de manière intensive.
4.3 Norme d’un vecteur et théorème de Pythagore
La norme d’un vecteur est calculée à partir de ses coordonnées. Le théorème de Pythagore est redémontré comme une conséquence directe des propriétés du produit scalaire.
4.4 Applications géométriques du produit scalaire
Le produit scalaire est appliqué pour calculer des longueurs, des angles, et pour démontrer l’orthogonalité. Son utilisation dans le calcul du travail d’une force en physique est également mentionnée.
DEUXIÈME PARTIE : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DU PLAN
Cette partie applique les outils vectoriels à l’étude analytique des figures géométriques du plan, particulièrement les droites. Elle développe les méthodes de représentation algébrique des objets géométriques et les techniques de résolution de problèmes par la géométrie analytique, établissant le lien entre algèbre et géométrie. 📈
CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DE DROITES DANS LE PLAN
Ce chapitre explore les différentes manières de représenter algébriquement une droite.
5.1 Équations paramétriques d’une droite
La représentation paramétrique d’une droite, définie par un point et un vecteur directeur, est introduite. Elle est particulièrement utile pour décrire des trajectoires en physique.
5.2 Équation cartésienne d’une droite
Toute droite du plan admet une équation de la forme . La méthode pour obtenir cette équation à partir d’un point et d’un vecteur directeur ou de deux points est enseignée.
5.3 Équation réduite d’une droite
L’équation réduite est étudiée, en interprétant géométriquement le coefficient directeur m (la pente) et l’ordonnée à l’origine p.
5.4 Vecteur directeur et vecteur normal d’une droite
Le lien entre les coefficients de l’équation cartésienne et les coordonnées d’un vecteur directeur et d’un vecteur normal (orthogonal) à la droite est établi.
CHAPITRE 6 : PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES DROITES
Ce chapitre utilise les équations de droites pour résoudre des problèmes de distance et d’angle.
6.1 Distance d’un point à une droite
La formule donnant la distance d’un point à une droite à partir de son équation cartésienne est démontrée et appliquée.
6.2 Conditions de parallélisme de deux droites
Les conditions de parallélisme sont exprimées en fonction des vecteurs directeurs (colinéarité) ou des coefficients directeurs (égalité).
6.3 Conditions de perpendicularité de deux droites
Les conditions de perpendicularité sont exprimées en fonction des vecteurs directeurs (produit scalaire nul) ou des coefficients directeurs (produit égal à -1).
6.4 Angle entre deux droites
La formule permettant de calculer l’angle aigu entre deux droites sécantes à partir de leurs vecteurs directeurs ou de leurs pentes est établie.
CHAPITRE 7 : SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ET INTERSECTIONS
Ce chapitre fait le lien entre la résolution algébrique de systèmes et l’intersection de figures géométriques.
7.1 Intersection de deux droites
La recherche du point d’intersection de deux droites est modélisée par la résolution d’un système de deux équations linéaires à deux inconnues.
7.2 Résolution de systèmes linéaires 2×2
Les méthodes de résolution (substitution, combinaison) sont rappelées et leur interprétation géométrique (droites sécantes, parallèles ou confondues) est systématiquement analysée.
7.3 Discussion selon les paramètres
L’étude de l’intersection de droites dont les équations dépendent d’un paramètre est abordée, en discutant le nombre de points d’intersection.
7.4 Applications aux problèmes géométriques
La géométrie analytique est utilisée pour résoudre des problèmes complexes, comme la recherche des coordonnées du centre du cercle circonscrit à un triangle, un problème pertinent pour la triangulation en topographie.
CHAPITRE 8 : LIEUX GÉOMÉTRIQUES
Ce chapitre introduit la méthode analytique pour déterminer et caractériser des ensembles de points vérifiant une propriété géométrique.
8.1 Méthode de translation pour les lieux
Cette méthode consiste à traduire la propriété géométrique en une équation (l’équation du lieu) en utilisant les coordonnées d’un point générique.
8.2 Méthode des génératrices
Cette approche est utilisée lorsque le lieu est engendré par l’intersection de deux lignes mobiles.
8.3 Cercles et leurs équations
L’équation cartésienne d’un cercle, défini par son centre et son rayon, est établie. Les élèves apprennent à reconnaître une équation de cercle et à en déterminer les caractéristiques.
8.4 Applications aux constructions géométriques
La détermination de lieux géométriques, comme la médiatrice d’un segment ou la bissectrice d’un angle, est traitée par la méthode analytique.
TROISIÈME PARTIE : GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
Cette partie étend les concepts géométriques à l’espace tridimensionnel, développant la vision spatiale et les techniques de représentation des objets géométriques dans l’espace. Elle explore les relations entre droites et plans, initiant les élèves aux méthodes de la géométrie descriptive et aux applications spatiales du calcul vectoriel. 🧊
CHAPITRE 9 : CONFIGURATION DE L’ESPACE
Ce chapitre établit les axiomes et les propriétés fondamentales de la géométrie dans l’espace.
9.1 Éléments de détermination d’un plan
Les différentes manières de définir un plan de manière unique sont étudiées : par trois points non alignés, par une droite et un point extérieur, ou par deux droites sécantes ou parallèles.
9.2 Positions relatives de deux droites dans l’espace
Les quatre configurations possibles sont analysées : coplanaires (sécantes ou parallèles) et non coplanaires.
9.3 Positions relatives d’une droite et d’un plan
Les trois positions possibles sont étudiées : la droite est incluse dans le plan, elle est strictement parallèle au plan, ou elle est sécante au plan en un point.
9.4 Positions relatives de deux plans
Deux plans dans l’espace peuvent être soit parallèles, soit sécants selon une droite. La notion de plans perpendiculaires est également introduite.
CHAPITRE 10 : CALCUL VECTORIEL DANS L’ESPACE
Ce chapitre généralise les outils du calcul vectoriel à l’espace tridimensionnel.
10.1 Vecteurs dans l’espace tridimensionnel
La notion de vecteur est étendue à l’espace. Les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire conservent les mêmes propriétés.
10.2 Repères de l’espace et coordonnées
Une base de l’espace est formée par trois vecteurs non coplanaires. Les coordonnées d’un point ou d’un vecteur sont définies dans un repère de l’espace.
10.3 Opérations vectorielles dans l’espace
Les opérations vectorielles sont exprimées analytiquement en utilisant les trois coordonnées.
10.4 Applications spatiales du produit scalaire
Le produit scalaire est utilisé pour calculer des longueurs, des angles et pour caractériser l’orthogonalité entre deux vecteurs, entre une droite et un plan, ou entre deux plans.
CHAPITRE 11 : GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE ÉLÉMENTAIRE
Ce chapitre introduit les techniques de représentation plane des objets de l’espace.
11.1 Dièdres et plans de projection
La méthode de Monge est introduite, basée sur la projection orthogonale sur deux plans perpendiculaires (plan frontal et plan horizontal de projection).
11.2 Représentation du point dans l’espace
Un point de l’espace est représenté par ses deux projections (frontale et horizontale), reliées par une ligne de rappel perpendiculaire à la ligne de terre.
11.3 Positions relatives de deux points
L’analyse des positions relatives des projections permet de déduire la position relative des points dans l’espace.
11.4 Projections orthogonales et épures
L’épure est la figure plane regroupant les projections d’un objet. Les élèves s’entraînent à lire et à construire des épures de points et de segments.
CHAPITRE 12 : REPRÉSENTATION DES DROITES ET PLANS
Ce chapitre applique les principes de la géométrie descriptive à la représentation des droites et des plans.
12.1 Éléments de détermination de la droite
Une droite est représentée par ses projections, qui sont elles-mêmes des droites. Les traces de la droite (points d’intersection avec les plans de projection) sont des éléments caractéristiques.
12.2 Droites particulières et leurs représentations
La représentation de droites particulières (horizontale, frontale, de profil, parallèle à la ligne de terre) est étudiée.
12.3 Éléments de détermination du plan
Un plan est représenté par ses traces sur les plans de projection, qui sont deux droites se coupant sur la ligne de terre.
12.4 Plans projetants et problèmes de représentation
Les plans projetants (perpendiculaires à l’un des plans de projection) sont étudiés pour leur simplicité de représentation.
QUATRIÈME PARTIE : TRIGONOMÉTRIE ET APPLICATIONS
Cette partie développe les concepts trigonométriques fondamentaux et leurs applications en géométrie et en analyse. Elle explore le cercle trigonométrique, les fonctions trigonométriques et leurs propriétés, établissant les bases nécessaires aux applications trigonométriques en géométrie, physique et dans la résolution de triangles. 📈
CHAPITRE 13 : CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Ce chapitre généralise les notions de trigonométrie à des angles quelconques.
13.1 Définition du cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est défini comme le cercle de rayon 1 centré à l’origine, servant de support à la mesure des angles orientés.
13.2 Mesure des angles en radians
Le radian est consolidé comme l’unité de mesure d’angle la plus naturelle en mathématiques et en physique, notamment pour l’étude des mouvements circulaires.
13.3 Enroulement de la droite sur le cercle
L’association d’un unique point du cercle à chaque nombre réel est formalisée, permettant de définir les fonctions trigonométriques pour tout réel.
13.4 Angles orientés et sens trigonométrique
La notion d’angle orienté est approfondie, en distinguant le sens trigonométrique direct (antihoraire) du sens indirect.
CHAPITRE 14 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Ce chapitre se concentre sur l’étude des fonctions sinus, cosinus et tangente.
14.1 Définitions de sinus et cosinus
Les fonctions sinus et cosinus sont formellement définies comme l’ordonnée et l’abscisse du point associé à un angle sur le cercle trigonométrique.
14.2 Fonction tangente et cotangente
Les fonctions tangente et cotangente sont définies à partir du sinus et du cosinus, et leurs propriétés (domaine de définition, périodicité) sont étudiées.
14.3 Relations trigonométriques fondamentales
Les identités fondamentales, comme , et les relations pour les angles associés sont systématiquement utilisées pour la simplification d’expressions.
14.4 Angles remarquables et valeurs particulières
Les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles remarquables du cercle (0, π/6, π/4, π/3, π/2 et leurs multiples) sont maîtrisées.
ANNEXES
Annexe I : Formulaire de géométrie vectorielle et trigonométrie 📝
Cette annexe regroupe toutes les formules essentielles du cours : expressions analytiques des opérations vectorielles, équations de droites, formules de distance, et identités trigonométriques. C’est un outil de référence central pour la résolution d’exercices.
Annexe II : Tables trigonométriques et valeurs remarquables 📊
Un tableau complet des valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles remarquables est fourni, ainsi qu’une table numérique pour les autres angles, facilitant les calculs en l’absence de calculatrice.
Annexe III : Techniques de construction géométrique 📐
Des fiches méthodologiques illustrent les étapes des constructions géométriques avancées et des épures de base en géométrie descriptive, servant de guide visuel pour les travaux pratiques.