COURS DE GÉOMÉTRIE, 7ème ANNÉE, ÉDUCATION DE BASE

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC

PRÉLIMINAIRES

Présentation du cours et objectifs pédagogiques

Ce cours de géométrie destiné aux élèves de 7ème année de l’Éducation de Base en République Démocratique du Congo s’inscrit rigoureusement dans la logique de la réforme éducative initiée par le Ministère de l’Enseignement Primaire, Secondaire et Technique. 📘 Il vise l’acquisition des compétences fondamentales liées à la perception spatiale, à la modélisation des formes et à la résolution de problèmes concrets issus de l’environnement immédiat de l’apprenant. L’approche privilégie l’observation directe, la manipulation et la déduction logique pour passer du concret à l’abstrait.

Profil de sortie et compétences visées

Au terme de ce programme, l’élève sera capable d’identifier, de décrire et de représenter les figures géométriques planes et les solides de l’espace. 📐 Il maîtrisera l’utilisation des instruments de mesure et de traçage (règle, équerre, compas, rapporteur) pour réaliser des constructions précises. Il appliquera les formules de périmètre, d’aire et de volume pour résoudre des situations-problèmes liées à l’architecture, à l’arpentage, à l’artisanat et à l’agriculture, reflétant les réalités socio-économiques des différentes provinces de la RDC.

Méthodologie et approche par situation

L’enseignement préconisé repose sur une pédagogie active où l’élève est acteur de ses apprentissages. Chaque notion nouvelle est introduite par une situation-problème puisée dans le quotidien congolais (construction d’une case, aménagement d’un champ, fabrication d’un meuble). 🧱 L’enseignant guide l’observation, favorise l’émission d’hypothèses et conduit la classe vers la formalisation des propriétés géométriques. L’évaluation est continue, intégrant des exercices d’application directe et des tâches complexes de mobilisation des savoirs.

Matériel didactique requis

Pour une mise en œuvre efficace de ce programme, la classe doit disposer d’un kit géométrique pour tableau (règle, équerre, rapporteur, compas). 📏 Chaque élève doit posséder son propre matériel de traçage. L’utilisation de matériaux locaux (tiges de palmier, argile, boîtes de récupération) est vivement encouragée pour la construction de modèles physiques de solides et de figures planes, permettant de pallier le manque d’équipements manufacturés dans certaines zones rurales.

PARTIE 1 : LES FONDEMENTS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE ET CONFIGURATION DU PLAN

Cette première partie établit les bases conceptuelles indispensables à toute étude géométrique. Elle s’attache à définir les éléments primitifs de la géométrie (point, droite, plan) non pas comme des abstractions pures, mais comme des modèles issus de l’observation du monde réel. 🌍 Elle couvre également l’étude détaillée des angles, de leur mesure à leur construction, fournissant aux élèves le vocabulaire et les outils techniques nécessaires pour appréhender les formes plus complexes. L’accent est mis sur la rigueur du langage mathématique et la précision du tracé.

Chapitre 1 : Les éléments fondamentaux de la géométrie (MM1.49, MM1.50, MM1.51)

1.1. Le point, la droite et le plan : modèles physiques

L’étude débute par l’identification des modèles physiques dans l’environnement de l’élève. Le point est associé à la trace d’un stylo ou à une étoile lointaine ; la droite est visualisée par un fil tendu ou l’arête d’un mur ; le plan est représenté par la surface d’un tableau ou d’une eau calme comme celle du lac Kivu. 🌊 L’objectif est de permettre à l’élève de conceptualiser ces entités abstraites à partir d’objets tangibles. Les notations conventionnelles sont introduites pour formaliser ces concepts.

1.2. La droite : positions relatives et sous-ensembles

Ce sous-chapitre approfondit la notion de droite en abordant les concepts de demi-droite et de segment de droite. L’élève apprend à distinguer une droite illimitée d’un segment mesurable, comme la distance entre deux piquets d’une clôture à Mbuji-Mayi. 🚧 Les notions de droites sécantes, parallèles et perpendiculaires sont explorées par le pliage de papier et l’usage de la règle et de l’équerre. L’élève s’exerce à tracer ces figures avec précision.

1.3. Le plan : parties convexes et concaves

L’étude du plan se poursuit par la distinction entre les figures convexes et concaves. À travers l’observation de formes variées, comme les motifs des tissus Kuba ou les contours d’une parcelle de terrain, l’élève apprend à vérifier la convexité en reliant deux points quelconques de la figure par un segment. 🔷 Si le segment reste entièrement à l’intérieur, la figure est convexe ; sinon, elle est concave. Cette distinction est cruciale pour la classification ultérieure des polygones.

1.4. Le plan : régions et demi-plans

La droite partageant le plan en deux régions distinctes appelées demi-plans est une notion clé abordée ici. L’élève visualise cette séparation à l’aide d’une ligne tracée sur une feuille ou d’une route rectiligne traversant une plaine, comme la route nationale n°1 traversant le plateau des Bateke. 🛣️ Il apprend à nommer et à hachurer les régions définies par une ou plusieurs droites, préparant ainsi le terrain pour l’étude des angles et des polygones.

Chapitre 2 : Notions fondamentales sur les angles (MM1.52, MM1.53)

2.1. Définition et notation des angles

L’angle est défini comme la portion du plan comprise entre deux demi-droites de même origine. L’élève apprend à identifier le sommet et les côtés de l’angle. La notation standard utilisant trois lettres (par exemple, angle AÔB) ou une lettre avec un accent circonflexe est enseignée et pratiquée rigoureusement. ✍️ Des exemples concrets, comme l’ouverture d’une porte ou les aiguilles d’une montre, servent de support à cette conceptualisation.

2.2. Mesure et instruments : utilisation du rapporteur

La maîtrise du rapporteur est l’objectif central de ce sous-chapitre. L’élève découvre le degré comme unité de mesure des amplitudes angulaires. Des exercices pratiques de mesure d’angles tracés sur papier et d’objets réels sont multipliés pour garantir la dextérité. 📐 L’enseignant veille à corriger les erreurs de parallaxe et de positionnement du centre du rapporteur sur le sommet de l’angle.

2.3. Classification des angles selon leur amplitude

Une fois la mesure acquise, les angles sont classés en catégories distinctes : nul (0°), aigu (entre 0° et 90°), droit (90°), obtus (entre 90° et 180°), plat (180°) et plein (360°). Cette classification permet à l’élève de décrire géométriquement des situations observées, comme l’inclinaison d’une toiture à Goma pour l’évacuation des cendres volcaniques ou la pente d’une route. 🌋

2.4. Angles particuliers et propriétés

Ce sous-chapitre se concentre sur l’identification visuelle et la vérification des angles particuliers sans mesure systématique, en utilisant des gabarits ou l’équerre. L’angle droit, omniprésent dans les constructions urbaines et le mobilier scolaire, fait l’objet d’une attention particulière. L’élève apprend à coder les figures géométriques pour indiquer la présence d’angles droits ou d’angles de même mesure.

Chapitre 3 : Relations angulaires et constructions géométriques (MM1.54, MM1.55, MM1.56)

3.1. Angles adjacents et opposés par le sommet

La notion de position relative de deux angles est introduite ici. Les élèves identifient les angles adjacents (ayant un sommet commun et un côté commun, situés de part et d’autre de ce côté). Ils étudient ensuite les angles opposés par le sommet, formés par deux droites sécantes, et découvrent par la mesure et le raisonnement déductif leur propriété d’égalité. ✖️ Cette propriété est fondamentale pour les démonstrations géométriques ultérieures.

3.2. Angles complémentaires et supplémentaires

L’arithmétique des angles est abordée à travers les concepts de complémentarité (somme égale à 90°) et de supplémentarité (somme égale à 180°). Des exercices de calcul mental et de construction permettent à l’élève de trouver le complément ou le supplément d’un angle donné. Ces notions sont reliées à des situations réelles, comme l’agencement de terrains de sport ou la menuiserie. 🪑

3.3. La bissectrice d’un angle

La bissectrice est définie comme la demi-droite issue du sommet qui partage l’angle en deux angles adjacents de même amplitude. L’élève apprend à construire la bissectrice à l’aide du rapporteur (méthode numérique) et du compas (méthode géométrique). Cette construction est appliquée pour résoudre des problèmes de partage équitable de secteurs angulaires ou de zones géographiques sur une carte. 🗺️

3.4. Reproduction et construction d’angles

Ce dernier sous-chapitre synthétise les acquis précédents. L’élève doit être capable de reproduire un angle donné à l’aide du compas et de la règle non graduée, ainsi que de construire des angles d’amplitudes spécifiques sans rapporteur (angles de 60°, 30°, 90°, 45°). Ces compétences techniques développent la précision manuelle et la compréhension des propriétés géométriques intrinsèques des figures.

PARTIE 2 : FIGURES PLANES ET SURFACES

Cette partie centrale du programme se consacre à l’étude des figures fermées à deux dimensions. Elle explore la richesse des polygones, avec une emphase particulière sur les triangles et les quadrilatères, figures omniprésentes dans l’architecture et l’ingénierie. 🏗️ Elle aborde également les figures courbes à travers le cercle et le disque. L’objectif est double : permettre à l’élève de classifier ces figures selon leurs propriétés et de maîtriser le calcul de leurs grandeurs métriques (périmètre et aire), compétences essentielles pour la gestion de l’espace et des matériaux.

Chapitre 4 : Étude approfondie des triangles (MM1.57, MM1.58)

4.1. Définition et classification des triangles

Le triangle, polygone à trois côtés, est étudié sous toutes ses coutures. L’élève apprend à classer les triangles selon la longueur de leurs côtés (scalène, isocèle, équilatéral) et selon l’amplitude de leurs angles (acutangle, rectangle, obtusangle). Cette double classification permet une description précise des formes triangulaires observées, par exemple dans les charpentes des maisons à Kinshasa. 🏠

4.2. Droites remarquables : hauteurs et médianes

Les lignes secondaires du triangle sont introduites. La hauteur, segment issu d’un sommet et perpendiculaire au côté opposé, est essentielle pour le calcul d’aire. La médiane, joignant un sommet au milieu du côté opposé, introduit des notions d’équilibre. L’élève apprend à construire ces droites avec équerre et règle graduée, observant leur concours en des points spécifiques.

4.3. Droites remarquables : médiatrices et bissectrices

L’étude se poursuit avec les médiatrices des côtés et les bissectrices des angles. L’élève découvre que les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit, tandis que les bissectrices se rencontrent au centre du cercle inscrit. Ces propriétés sont vérifiées par des constructions soignées. Des applications pratiques, comme trouver un point à égale distance de trois villages au Kasai, illustrent l’utilité de ces notions. 📍

4.4. Propriétés des angles et inégalité triangulaire

La somme des angles intérieurs d’un triangle (180°) est une propriété fondamentale vérifiée par découpage et assemblage des angles en classe. L’inégalité triangulaire, stipulant que la longueur d’un côté est toujours inférieure à la somme des deux autres, est expérimentée pour comprendre les conditions d’existence d’un triangle. Cela évite aux élèves de tenter des constructions impossibles.

Chapitre 5 : Les quadrilatères (MM1.45, MM1.61)

5.1. Classification générale et propriétés

Les quadrilatères sont définis et classés. L’élève distingue les quadrilatères quelconques des trapèzes (deux côtés parallèles). Parmi les trapèzes, il identifie les parallélogrammes. Cette classification hiérarchique structure la pensée logique de l’élève. L’observation de motifs de pavage ou de tissus pagne aide à visualiser ces relations d’inclusion. 👕

5.2. Les parallélogrammes particuliers : rectangle, losange, carré

L’étude se focalise sur les quadrilatères les plus courants. Les propriétés des diagonales, des côtés et des angles du rectangle, du losange et du carré sont analysées en détail. L’élève doit être capable d’énoncer les conditions minimales pour qu’un parallélogramme soit un rectangle ou un losange. Ces figures sont omniprésentes dans l’urbanisme et l’arpentage de parcelles.

5.3. Calcul des périmètres

Le concept de périmètre comme longueur du contour est renforcé. L’élève établit et applique les formules de périmètre pour le carré (), le rectangle () et les autres polygones. Des situations problèmes, comme le calcul de la longueur de clôture nécessaire pour un champ rectangulaire à Kisangani ou une cour d’école à Matadi, contextualisent ces formules. 🚜

5.4. Calcul des aires des quadrilatères

La notion d’aire comme mesure de la surface intérieure est distinguée de celle du périmètre. Les formules d’aire du rectangle, du carré, du parallélogramme, du triangle et du trapèze sont déduites par découpage et recomposition. L’élève résout des problèmes concrets : calcul de la quantité de carreaux pour une salle, estimation de la surface cultivable d’un terrain agricole.

Chapitre 6 : Le cercle et le disque (MM1.59, MM1.60)

6.1. Définitions et éléments caractéristiques

Le cercle est défini comme l’ensemble des points situés à une distance constante (rayon) d’un point fixe (centre). Le vocabulaire spécifique (corde, diamètre, arc, flèche) est introduit et maîtrisé. L’élève apprend à distinguer le cercle (la ligne) du disque (la surface), une confusion fréquente à dissiper impérativement. ⭕

6.2. Positions relatives d’une droite et d’un cercle

L’élève étudie les positions possibles d’une droite par rapport à un cercle : extérieure, sécante et tangente. La propriété de la tangente, perpendiculaire au rayon au point de contact, est mise en évidence. Cette notion est utile pour comprendre des mécanismes simples comme une courroie sur une poulie ou une roue sur une route. 🚲

6.3. Constructions géométriques liées au cercle

Les élèves réalisent des constructions plus complexes : rosaces, polygones réguliers inscrits (triangle équilatéral, hexagone) à l’aide du compas. Ces activités développent la motricité fine et le sens esthétique. Elles permettent aussi de réviser les propriétés des triangles et des angles au centre.

6.4. Périmètre du cercle et aire du disque

Le nombre Pi () est introduit comme rapport constant entre la circonférence et le diamètre. Les formules du périmètre () et de l’aire () sont appliquées. Les élèves calculent, par exemple, la longueur de ferraille pour cercler un tonneau ou la surface d’une table ronde. Des approximations rationnelles de Pi (22/7) sont utilisées pour faciliter le calcul mental.

Chapitre 7 : Problèmes de synthèse sur les surfaces planes

7.1. Décomposition de figures complexes

Face à des figures non standard (terrains irréguliers, plans de maisons complexes), l’élève apprend à les décomposer en figures simples (rectangles, triangles, demi-disques) dont il sait calculer l’aire. Cette compétence est essentielle pour l’estimation de surfaces réelles dans les métiers du bâtiment et de l’agriculture. 🏗️

7.2. Conversion d’unités d’aire

La maîtrise du système métrique pour les surfaces est renforcée. L’élève jongle entre les mètres carrés, les ares et les hectares, unités courantes dans le domaine foncier en RDC. Des exercices de conversion contextualisés (superficie de forêts, de champs, de parcelles urbaines) assurent la compréhension des ordres de grandeur.

7.3. Problèmes d’optimisation simple

L’élève est confronté à des problèmes demandant une réflexion stratégique : comment obtenir l’aire maximale avec un périmètre donné (forme carrée vs rectangulaire) ? Ces problèmes initient au raisonnement d’optimisation, utile dans la gestion des ressources (clôture, matériaux de couverture).

7.4. Application à l’environnement et à l’urbanisme

Ce sous-chapitre propose des projets intégrateurs : planifier l’aménagement d’un petit parc scolaire, dessiner le plan d’un terrain de football réglementaire, ou calculer les surfaces à peindre dans une salle de classe. Ces projets mobilisent l’ensemble des compétences acquises en géométrie plane. 🎨

PARTIE 3 : GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE ET SOLIDES

Cette dernière partie marque le passage de la 2D à la 3D. Elle vise à développer la vision spatiale de l’élève, capacité indispensable pour appréhender le monde réel. L’étude se concentre sur les solides usuels, leur représentation plane (patrons, perspective cavalière) et le calcul de leurs mesures (aires latérales, totales et volumes). 📦 Ces savoirs sont directement applicables dans le stockage, l’emballage, la construction et le transport.

Chapitre 8 : Les solides usuels : Cube et Parallélépipède (MM1.46)

8.1. Description et éléments caractéristiques

L’élève apprend à identifier et nommer les éléments d’un polyèdre : faces, arêtes, sommets. Le cube et le pavé droit (parallélépipède rectangle) sont étudiés en détail. L’observation de boîtes, de briques cuites ou de salles de classe permet d’ancrer ces définitions dans le concret. L’élève compte les faces, les arêtes et les sommets et vérifie la relation d’Euler sur ces solides simples.

8.2. Représentation en perspective cavalière

Représenter un objet 3D sur une feuille 2D est un défi. L’élève apprend les règles de la perspective cavalière : conservation du parallélisme, faces frontales en vraie grandeur, fuyantes obliques et réduites. Il s’exerce à dessiner des cubes et des pavés, développant ainsi sa capacité à « voir dans l’espace ». ✏️

8.3. Patrons et fabrication de solides

Le passage inverse, du 2D au 3D, est travaillé par la réalisation de patrons (développements). L’élève dessine le patron d’un cube ou d’un pavé, le découpe et l’assemble pour former le solide. Cette activité manuelle valide la compréhension de la structure du solide et prépare au calcul de l’aire totale. L’utilisation de papier cartonné ou de matériaux de récupération est favorisée. ✂️

8.4. Calcul des aires latérale et totale

À partir du patron, l’élève déduit les formules de l’aire latérale (somme des aires des faces verticales) et de l’aire totale. Il résout des problèmes pratiques : quantité de carton pour fabriquer une boîte d’emballage, surface de murs à peindre dans une chambre (en excluant ou incluant plafond et sol).

Chapitre 9 : Les solides usuels : Pyramides, Cylindres et Cônes (MM1.46)

9.1. La pyramide : description et patron

La pyramide, solide à base polygonale et faces latérales triangulaires, est explorée. L’élève étudie particulièrement la pyramide régulière à base carrée, rappelant les toitures à quatre pentes ou certaines structures architecturales traditionnelles. Il réalise le patron et construit le solide, visualisant la convergence des arêtes au sommet principal. ⛺

9.2. Le cylindre de révolution

Le cylindre est défini comme le solide engendré par la rotation d’un rectangle autour d’un de ses côtés. L’élève identifie les bases circulaires et la surface latérale courbe. Il réalise le patron (un rectangle et deux disques) et comprend que la longueur du rectangle correspond au périmètre de la base. Des exemples comme des fûts, des tuyaux ou des boîtes de conserve illustrent ce solide. 🛢️

9.3. Le cône de révolution

Similairement, le cône est étudié. L’élève distingue le sommet, la base circulaire et la génératrice. La construction du patron (un secteur circulaire et un disque) est une activité géométrique riche reliant les notions d’angle, d’arc et de circonférence. Le cône est associé à des objets comme des entonnoirs ou des toitures coniques de cases traditionnelles.

9.4. Calcul des aires des corps ronds

L’élève apprend à calculer l’aire latérale et totale du cylindre et du cône. Les formules sont déduites logiquement de l’observation des patrons. Les applications incluent le calcul de la quantité de tôle nécessaire pour fabriquer un réservoir cylindrique ou une toiture conique, connectant les mathématiques aux besoins de stockage et d’habitat.

Chapitre 10 : Volumes des solides et capacités (MM1.48)

10.1. Notion de volume et unités de mesure

Le volume est défini comme la mesure de l’espace occupé par un corps. L’élève se familiarise avec les unités cubes (, , ) et leur correspondance avec les unités de capacité (litre). 💧 La conversion entre ces unités (par exemple, ) est intensément pratiquée, car essentielle dans la vie quotidienne (gestion de l’eau, carburant).

10.2. Volume du cube et du parallélépipède rectangle

Les formules de volume ( et ) sont établies. L’élève résout des problèmes de calcul de volume de citernes, de caisses de marchandises, ou de volume de béton pour une fondation. Il apprend à manipuler des grands nombres et à estimer des volumes.

10.3. Volume du cylindre, de la pyramide et du cône

L’élève applique la formule générale pour les prismes et cylindres (Aire de base  hauteur) et découvre le coefficient 1/3 pour les volumes de la pyramide et du cône (1/3  Aire de base  hauteur). Des expériences de transvasement (sable ou eau) peuvent être utilisées pour vérifier empiriquement ce rapport de 1 à 3 entre un cylindre et un cône de même base et même hauteur.

10.4. Problèmes de synthèse sur les volumes

Ce dernier sous-chapitre propose des situations complexes intégrant plusieurs solides (par exemple, un silo composé d’un cylindre surmonté d’un cône). L’élève doit décomposer le solide complexe, calculer les volumes partiels et les sommer. Il traite aussi des problèmes de masse volumique, calculant la masse d’un objet connaissant son volume et sa matière (bois, fer, eau), reliant ainsi la géométrie aux sciences physiques. ⚖️

ANNEXES

Bibliographie et Webographie

Une liste sélective d’ouvrages de référence conformes au programme national, ainsi que des liens vers des ressources numériques éducatives, permettant à l’enseignant d’approfondir les concepts et de varier les exercices.

Grille d’évaluation des compétences

Un outil synthétique pour l’enseignant, détaillant les critères d’évaluation pour chaque compétence (savoirs, savoir-faire, savoir-être). Elle permet de situer le niveau de maîtrise de l’élève, de l’acquisition des définitions à la résolution de problèmes complexes inédits.

Corrigé type des exercices de synthèse

Des solutions détaillées pour les exercices les plus complexes proposés dans le cours, servant de modèle de rédaction et de raisonnement pour l’enseignant et l’élève.

Planche des figures géométriques et patrons

Un recueil de modèles à photocopier ou à reproduire, offrant des patrons précis pour la construction des solides étudiés (cube, prisme, cylindre, cône, pyramide), facilitant la préparation des travaux pratiques.