COURS DE GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE, 2ÈME ANNÉE, OPTION HUMANITES SCIENTIFIQUES

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC

📑 PRÉLIMINAIRES

0.1. Note introductive à l’usage de l’enseignant

Ce manuel de Géométrie et Trigonométrie, conçu pour la deuxième année des Humanités Scientifiques, constitue une opérationnalisation rigoureuse du Programme Éducatif du Domaine d’Apprentissage des Sciences (Mathématiques). Il s’aligne scrupuleusement sur les matrices MM4.15 à MM4.31, couvrant la géométrie de l’espace, le calcul vectoriel, la géométrie analytique plane, la géométrie descriptive et la trigonométrie. L’enseignant trouvera ici une progression didactique qui privilégie la construction logique des savoirs et leur mobilisation dans des situations complexes. L’approche par compétences exige de placer l’élève au centre de l’apprentissage, en lui proposant des tâches qui sollicitent son raisonnement spatial et sa capacité d’abstraction.

0.2. Profil d’entrée et prérequis

L’accès fructueux à ce cours requiert la maîtrise des compétences développées en première année des Humanités Scientifiques. L’élève doit posséder une connaissance solide des propriétés des figures planes usuelles (triangles, quadrilatères, cercles) et des théorèmes fondamentaux de la géométrie plane (Thalès, Pythagore). La manipulation des nombres réels, le calcul algébrique élémentaire (développement, factorisation) et la résolution d’équations du premier degré constituent des outils indispensables. Une familiarité avec la notion de vecteur, introduite précédemment, ainsi qu’une aptitude à visualiser des objets dans l’espace tridimensionnel, faciliteront grandement l’acquisition des nouveaux concepts.

0.3. Compétences visées et profil de sortie

Au terme de cette année de formation, l’apprenant devra démontrer sa capacité à résoudre des problèmes de configuration dans le plan et dans l’espace. Il maîtrisera l’outil vectoriel pour démontrer des propriétés géométriques et résoudre des problèmes métriques. En géométrie descriptive, il sera capable de représenter des objets tridimensionnels sur un plan en utilisant la méthode de Monge. En trigonométrie, il manipulera avec aisance les fonctions circulaires pour résoudre des équations et traiter des situations de modélisation (topographie, phénomènes périodiques). Le profil de sortie correspond à un élève capable de modéliser mathématiquement son environnement et de poursuivre des études scientifiques supérieures avec une base géométrique robuste.

0.4. Méthodologie et matériel didactique

La méthodologie préconisée repose sur l’alternance entre l’exploration intuitive, la formalisation rigoureuse et l’application contextuelle. Chaque chapitre s’ouvre sur une situation-problème ancrée dans les réalités de la République Démocratique du Congo, invitant l’élève à ressentir le besoin de l’outil mathématique. L’usage des instruments de dessin (règle, équerre, compas, rapporteur) est obligatoire pour garantir la précision des constructions, particulièrement en géométrie descriptive. L’intégration des TIC, via des logiciels de géométrie dynamique, est vivement encouragée pour visualiser les concepts spatiaux et les variations trigonométriques.

📐 PARTIE 1 : GÉOMÉTRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE DU PLAN

Cette première partie consolide et approfondit les acquis sur les vecteurs pour en faire des outils puissants d’analyse géométrique. Elle établit le pont entre la géométrie pure et l’algèbre via la méthode des coordonnées. L’élève apprendra à caractériser les objets géométriques par des équations et à résoudre des problèmes de parallélisme et d’orthogonalité par le calcul. Cette approche analytique est fondamentale pour les applications en physique et en ingénierie.

Chapitre 1 : Vecteurs du Plan et Bases

Ce chapitre formalise la notion de vecteur et introduit les structures algébriques nécessaires au repérage dans le plan. Il dépasse la simple vision géométrique « flèche » pour installer le concept de vecteur comme objet mathématique défini par ses composantes dans une base.

1.1. Vecteurs colinéaires et vecteurs libres

Cette section définit rigoureusement les vecteurs libres comme classes d’équivalence de bipoints équipollents. Elle traite de la colinéarité, condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme de droites ou l’alignement de points. L’élève apprendra à utiliser la colinéarité pour démontrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles, compétences essentielles pour la résolution de problèmes géométriques classiques.

1.2. Bases et repères du plan

Nous introduisons ici la notion de base comme couple de vecteurs non colinéaires permettant d’engendrer tout le plan vectoriel. La distinction entre repère quelconque, repère orthogonal et repère orthonormé est établie. L’élève doit comprendre qu’un point est repéré par ses coordonnées et un vecteur par ses composantes, et que le choix d’un repère adapté simplifie souvent la résolution d’un problème.

1.3. Expression analytique et opérations

Cette sous-section développe l’aspect calculatoire. Elle présente les formules donnant les composantes d’un vecteur défini par deux points, les coordonnées du milieu d’un segment et du centre de gravité d’un triangle. Les opérations d’addition vectorielle et de multiplication par un scalaire sont traduites en langage analytique. Ces outils permettent de traiter des situations concrètes, comme le calcul de déplacements cumulés lors d’une navigation sur le fleuve Congo entre Kinshasa et Mbandaka.

1.4. Changement de base et de repère

L’analyse se complexifie avec l’étude des formules de changement de base. L’élève apprendra comment les coordonnées d’un point ou les composantes d’un vecteur se transforment lorsqu’on passe d’un repère à un autre. Cette compétence est cruciale pour adapter le référentiel à la géométrie du problème, par exemple en physique lors de l’étude de mouvements relatifs.

Chapitre 2 : Le Produit Scalaire et ses Applications

Le produit scalaire constitue l’outil fondamental pour traiter les notions de métrique (distances) et d’angularité (orthogonalité) en géométrie vectorielle. Ce chapitre marque le passage de la géométrie affine à la géométrie euclidienne.

2.1. Définition et interprétation géométrique

Le produit scalaire est introduit par la projection orthogonale. Cette définition géométrique permet de lier le produit scalaire à la longueur des vecteurs et à l’angle qu’ils forment. L’élève visualisera le produit scalaire comme une mesure de l’efficacité d’un vecteur dans la direction d’un autre, concept illustré par le travail d’une force déplaçant un wagonnet dans les mines de Kolwezi.

2.2. Expression analytique dans une base orthonormée

Cette section fournit la formule algébrique du produit scalaire (). Elle démontre la puissance du repère orthonormé qui simplifie considérablement les calculs de distances et d’angles. L’élève doit maîtriser le calcul de la norme d’un vecteur et la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées, outils indispensables pour l’arpentage de terrains dans la province du Kwilu.

2.3. Propriétés et règles de calcul

Nous étudions ici la bilinéarité, la symétrie et la positivité du produit scalaire. Les identités remarquables vectorielles sont développées, dont le théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus) qui généralise le théorème de Pythagore aux triangles quelconques. Ces propriétés permettent de résoudre des triangles non rectangles, situation fréquente en topographie.

2.4. Applications à l’orthogonalité et lieux géométriques

L’application majeure du produit scalaire réside dans la caractérisation de l’orthogonalité (produit scalaire nul). Cette propriété est utilisée pour démontrer des théorèmes géométriques (hauteurs d’un triangle, médiatrices) et pour déterminer des lieux géométriques, tels que le cercle défini par son diamètre ou l’ensemble des points équidistants de deux points fixes.

Chapitre 3 : Étude Analytique de la Droite

Ce chapitre applique les acquis vectoriels à l’étude des droites. Il vise à rendre l’élève capable de passer fluidement de la représentation géométrique d’une droite à ses diverses équations algébriques et inversement.

3.1. Vecteurs directeurs et vecteurs normaux

La caractérisation d’une droite repose sur la donnée d’un point et d’une direction. Nous définissons le vecteur directeur, qui indique l’orientation de la droite, et le vecteur normal, qui lui est orthogonal. La maîtrise de ces deux concepts est préalable à l’écriture des équations et permet de comprendre l’orientation des voies de communication rectilignes, comme certains tronçons du Boulevard du 30 Juin à Kinshasa.

3.2. Équations paramétriques et cartésiennes

Nous développons les méthodes pour établir l’équation d’une droite. L’équation paramétrique est présentée comme la traduction du mouvement d’un point le long d’une direction. L’équation cartésienne () est ensuite déduite, mettant en évidence le lien entre les coefficients () et le vecteur normal. L’élève apprendra à passer d’une forme à l’autre selon les besoins du problème.

3.3. Positions relatives de deux droites

L’étude analytique permet de déterminer si deux droites sont sécantes, strictement parallèles ou confondues en comparant leurs vecteurs directeurs ou leurs pentes. La recherche du point d’intersection se ramène à la résolution d’un système d’équations linéaires. Cette compétence est appliquée à la détermination des points de rencontre de réseaux de canalisation dans les projets d’adduction d’eau de la Regideso.

3.4. Distances et conditions d’orthogonalité

Ce sous-chapitre traite du calcul de la distance d’un point à une droite, application directe du produit scalaire. Nous formalisons également les conditions analytiques pour que deux droites soient perpendiculaires (produit des pentes égal à -1 ou produit scalaire des vecteurs directeurs nul). Ces notions sont essentielles en architecture pour vérifier l’équerrage des fondations de bâtiments à Kisangani.

🏗️ PARTIE 2 : GÉOMÉTRIE DE L’ESPACE ET DESCRIPTIVE

Cette partie invite l’élève à quitter la planéité de la feuille pour raisonner en trois dimensions. Elle développe l’intuition spatiale indispensable aux architectes et ingénieurs. La géométrie descriptive, spécifiquement, offre une méthode rigoureuse pour représenter des objets 3D sur une surface 2D, compétence technique fondamentale.

Chapitre 4 : Configuration de l’Espace : Droites et Plans

Ce chapitre pose les axiomes et théorèmes régissant les positions relatives des éléments fondamentaux de l’espace. Il s’agit de construire une représentation mentale solide de l’espace euclidien tridimensionnel.

4.1. Détermination et représentation des plans

Un plan est défini par trois points non alignés, une droite et un point extérieur, ou deux droites sécantes/parallèles. Nous étudions comment représenter ces plans et comment vérifier l’appartenance d’un point ou d’une droite à un plan. Cette section utilise l’exemple des toitures à versants multiples des maisons coloniales de Mbanza-Ngungu pour illustrer les plans sécants.

4.2. Positions relatives de deux droites dans l’espace

Contrairement au plan, deux droites dans l’espace peuvent être ni sécantes ni parallèles : elles sont alors gauches (non coplanaires). L’élève apprendra à distinguer ces cas et à démontrer la coplanarité ou non de deux droites. Cette notion est illustrée par l’agencement complexe des câbles du Pont Maréchal à Matadi.

4.3. Positions relatives droite-plan et plan-plan

Nous analysons les conditions de parallélisme et d’intersection entre une droite et un plan, ainsi qu’entre deux plans. La notion de droite percée dans un plan et de droite d’intersection de deux plans est approfondie. L’élève devra visualiser ces intersections, comme celles formées par les murs et le plafond d’une salle de classe.

4.4. Orthogonalité dans l’espace

L’orthogonalité dans l’espace est plus subtile que dans le plan. Nous définissons la droite perpendiculaire à un plan et le théorème des trois perpendiculaires. La distinction entre droites orthogonales (qui ne se coupent pas nécessairement) et droites perpendiculaires est clarifiée. Ces concepts sont vitaux pour la construction de structures stables, telles que les pylônes de haute tension d’Inga.

Chapitre 5 : Introduction à la Géométrie Descriptive : Le Point

La géométrie descriptive, ou méthode de Monge, est l’art de représenter l’espace sur le plan. Ce chapitre introduit le système de projection et la représentation de l’élément le plus simple : le point.

5.1. Dièdres et plans de projection

Nous installons le système de référence constitué de deux plans perpendiculaires (Horizontal H et Frontal F) qui divisent l’espace en quatre dièdres. La ligne de terre (LT) est définie comme l’intersection de ces plans. L’élève doit comprendre le principe du rabattement du plan frontal sur le plan horizontal pour obtenir l’épure.

5.2. Projections orthogonales et épure du point

Le point de l’espace est projeté orthogonalement sur les plans H et F, donnant respectivement la projection horizontale () et verticale (). L’élève apprendra à placer ces projections sur l’épure et à lire la position spatiale du point à partir de son épure.

5.3. Cote et éloignement : Coordonnées descriptives

La position d’un point est quantifiée par sa cote (hauteur par rapport à H) et son éloignement (distance par rapport à F). Nous analysons le signe de ces coordonnées selon le dièdre où se situe le point. Cette section permet de localiser précisément des objets dans l’espace, comme des minerais dans une galerie souterraine au Katanga.

5.4. Positions particulières et plans bissecteurs

Nous étudions les points situés sur les plans de projection (cote ou éloignement nul) et sur les plans bissecteurs (plans de symétrie des dièdres). L’élève devra identifier les caractéristiques graphiques de ces points sur l’épure (ex: symétrie par rapport à la ligne de terre pour le premier bissecteur).

Chapitre 6 : Représentation de la Droite et du Plan

Ce chapitre complexifie l’étude descriptive en abordant les droites et les plans. Il s’agit de comprendre comment les propriétés spatiales (parallélisme, intersection) se traduisent graphiquement sur l’épure.

6.1. Épure de la droite et traces

Une droite est définie par deux points. Son épure est constituée des droites joignant les projections homonymes de ces points. Nous introduisons les notions de traces (points de percée de la droite dans les plans de projection), essentielles pour déterminer la visibilité de la droite dans les différents dièdres.

6.2. Droites particulières

Certaines droites occupent des positions spécifiques par rapport aux plans de projection : droites horizontales, frontales, de profil, verticales ou de bout. L’élève apprendra à reconnaître ces droites par le parallélisme ou la perpendicularité de leurs projections par rapport à la ligne de terre. Ces droites servent souvent d’axes ou d’arêtes dans les dessins techniques.

6.3. Représentation du plan par ses traces

Un plan illimité est représenté par ses intersections avec les plans de projection, appelées traces du plan. Nous étudions comment construire ces traces à partir d’éléments définissant le plan (trois points, deux droites). L’élève devra visualiser la portion de plan limitée par les plans de projection.

6.4. Plans particuliers et appartenance

Comme pour les droites, nous étudions les plans particuliers : plans horizontaux, frontaux, de profil, projetants. La condition d’appartenance d’une droite ou d’un point à un plan est formalisée graphiquement. Cette compétence permet de résoudre des problèmes d’intersection, comme la détermination de la ligne de faîte d’un toit à partir des plans des versants.

📐 PARTIE 3 : TRIGONOMÉTRIE

Cette dernière partie dote l’élève des outils nécessaires pour traiter les relations métriques dans les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. La trigonométrie est abordée comme une extension de la géométrie, ouvrant la voie à l’analyse mathématique.

Chapitre 7 : Cercle Trigonométrique et Formules Fondamentales

Ce chapitre pose les bases de la trigonométrie moderne en s’affranchissant du triangle rectangle pour travailler sur le cercle unité. Il généralise les notions de sinus, cosinus et tangente à des angles orientés quelconques.

7.1. Le cercle trigonométrique et le radian

Nous définissons le cercle trigonométrique (rayon 1, orienté positivement) et l’unité d’angle radian. La conversion degrés-radians est maîtrisée. L’élève apprend à enrouler la droite réelle sur le cercle, associant tout réel à un point du cercle, concept précurseur des fonctions périodiques.

7.2. Définition des nombres trigonométriques

Les fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente sont définies comme coordonnées ou rapports de coordonnées d’un point sur le cercle. L’élève doit savoir placer ces valeurs sur les axes correspondants et déterminer leurs signes selon le quadrant. Cette visualisation est cruciale pour éviter les erreurs de signe fréquentes.

7.3. La relation fondamentale et ses dérivées

La relation  est établie comme conséquence directe du théorème de Pythagore dans le cercle unité. Nous dérivons les formules reliant la tangente au cosinus (). L’élève utilisera ces identités pour simplifier des expressions trigonométriques complexes.

7.4. Valeurs des angles remarquables

Nous établissons par des considérations géométriques (carré, triangle équilatéral) les valeurs exactes des lignes trigonométriques pour les angles de , ,  et les angles axiaux (). La mémorisation et la restitution rapide de ces valeurs sont exigées pour la fluidité des calculs.

Chapitre 8 : Relations entre Angles Associés et Réduction

Ce chapitre exploite les symétries du cercle trigonométrique pour simplifier les calculs. Il permet de ramener l’étude de n’importe quel angle à celle d’un angle du premier quadrant.

8.1. Angles opposés et angles supplémentaires

Nous étudions les relations entre les lignes trigonométriques d’un angle  et celles de  (opposé) ou de  (supplémentaire). L’élève apprendra à visualiser ces symétries axiales ou centrales sur le cercle pour retrouver les formules sans les apprendre par cœur.

8.2. Angles complémentaires et anti-supplémentaires

L’analyse s’étend aux angles  (complémentaires) et  (anti-supplémentaires). La co-fonctionnalité (sinus devient cosinus et inversement) pour les angles complémentaires est mise en évidence. Ces relations sont fondamentales pour l’étude des signaux électriques alternatifs (déphasage).

8.3. Périodicité et réduction au premier quadrant

La propriété de périodicité () permet de réduire les angles de grande mesure à leur mesure principale comprise entre  et  ou  et . L’élève développera une méthode systématique pour ramener le calcul des lignes trigonométriques de tout angle à celles d’un angle aigu positif, simplifiant ainsi l’analyse.

8.4. Identités trigonométriques usuelles

Ce sous-chapitre regroupe des exercices de démonstration d’égalités trigonométriques utilisant l’ensemble des relations vues précédemment. L’objectif est de développer la dextérité calculatoire et le raisonnement déductif, compétences nécessaires pour aborder le calcul intégral dans les classes supérieures.

Chapitre 9 : Équations Trigonométriques et Résolution de Triangles

Ce chapitre final applique la trigonométrie à la résolution de problèmes concrets. Il traite de la recherche d’inconnues angulaires et de la détermination complète de la géométrie d’un triangle.

9.1. Équations trigonométriques élémentaires

Nous apprenons à résoudre les équations de base du type ,  et . L’élève doit maîtriser l’usage du cercle trigonométrique pour trouver l’ensemble des solutions (principales et générales) et distinguer les cas impossibles (ex: ).

9.2. Équations réductibles aux formes simples

L’étude s’élargit aux équations nécessitant une transformation algébrique préalable (factorisation, changement de variable, utilisation de la formule fondamentale) pour se ramener aux types élémentaires. Des cas simples d’équations homogènes ou linéaires en sinus et cosinus sont abordés.

9.3. Résolution du triangle rectangle

Nous appliquons la trigonométrie pour trouver les longueurs des côtés et les mesures des angles manquants dans un triangle rectangle. Les notions d’angle d’élévation et de dépression sont introduites. Ces compétences sont appliquées à des problèmes de la vie courante, comme calculer la hauteur d’un arbre géant dans la forêt de l’Ituri sans l’abattre.

9.4. Applications : Topographie et géométrie pratique

Ce dernier sous-chapitre intègre l’ensemble des acquis pour résoudre des triangles quelconques (via la décomposition en triangles rectangles ou l’usage du théorème d’Al-Kashi). Des problèmes complexes de triangulation, inspirés des travaux cadastraux ou de la construction d’infrastructures comme le pont sur la rivière Lualaba, servent de toile de fond pour démontrer l’utilité pratique des mathématiques.

📎 ANNEXES

A.1. Formulaire de Trigonométrie

Ce document regroupe de manière synthétique et structurée toutes les formules indispensables : valeurs remarquables, relations fondamentales, formules de réduction et relations métriques dans le triangle. Il constitue un outil de référence permanent pour l’élève lors des exercices.

A.2. Guide d’utilisation des instruments de mesure angulaire

Cette annexe technique décrit le fonctionnement et l’utilisation correcte du rapporteur, du théodolite simplifié (clinomètre artisanal) et de la boussole. Elle propose des instructions pour fabriquer un clinomètre simple afin de réaliser des mesures de terrain dans la cour de l’école.

A.3. Recueil de problèmes de géométrie descriptive

Une collection de planches d’exercices progressifs en géométrie descriptive est proposée. Elle permet à l’élève de s’entraîner au tracé des épures de points, droites et plans, avec des solutions graphiques détaillées pour favoriser l’auto-correction et l’autonomie.

A.4. Cartographie vectorielle de la RDC

Cette section présente des exercices appliquant le calcul vectoriel sur la carte de la RDC. Les élèves utiliseront des vecteurs pour modéliser des déplacements entre grandes villes, calculer des distances réelles à partir de l’échelle et déterminer des caps de navigation aérienne.