COURS DE GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE, 2ÈME ANNÉE DES HUMANITÉS SCIENTIFIQUES

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC

PRÉLIMINAIRES

I. Présentation du cours 📜

Ce cours de géométrie et trigonométrie de deuxième année approfondit l’étude des structures spatiales en intégrant les outils de l’algèbre vectorielle et de la géométrie analytique. Le programme est conçu pour développer une compréhension avancée des relations géométriques dans le plan et dans l’espace, tout en consolidant les bases de la trigonométrie. L’objectif est de fournir aux élèves un cadre mathématique rigoureux pour la modélisation des phénomènes physiques et l’ingénierie.

II. Objectifs généraux 🎯

L’ambition de ce cours est de permettre à l’élève de maîtriser l’analyse vectorielle et analytique des objets géométriques. Au terme de ce cursus, il devra être capable de manipuler les équations de droites et de cercles, de résoudre des problèmes métriques dans le plan et l’espace, de maîtriser les concepts de la géométrie descriptive et d’appliquer les fonctions trigonométriques à des situations complexes.

III. Compétences visées 🧠

Ce programme vise à forger des compétences de raisonnement spatial et de modélisation mathématique. L’élève apprendra à traduire un problème géométrique en langage algébrique, à utiliser le calcul vectoriel pour démontrer des propriétés, à représenter des objets tridimensionnels sur un plan, et à résoudre des triangles quelconques en utilisant les lois trigonométriques.

IV. Méthode d’évaluation 📝

L’évaluation des acquis sera continue et axée sur la résolution de problèmes intégrant plusieurs concepts. Elle comprendra des exercices de géométrie analytique, des projets de construction en géométrie descriptive, et des examens semestriels. Ces derniers comporteront des situations-problèmes, comme la détermination de l’équation de la trajectoire d’un mobile ou l’analyse des positions relatives de plans dans une structure architecturale à Lubumbashi.

V. Matériel requis 💻

La pratique de la géométrie analytique et spatiale exige des outils de visualisation et de calcul. En plus des instruments de dessin traditionnels (compas, lattes), une calculatrice graphique ou l’accès à un logiciel de géométrie dynamique est fortement recommandé. Ces outils permettent d’explorer les concepts, de vérifier les constructions et de visualiser les objets en trois dimensions, renforçant ainsi l’intuition géométrique.

PREMIÈRE PARTIE : GÉOMÉTRIE VECTORIELLE DANS LE PLAN

Cette partie développe les concepts fondamentaux du calcul vectoriel dans le plan, établissant les bases algébriques et géométriques nécessaires à l’étude des vecteurs. Elle explore les opérations vectorielles, les propriétés du produit scalaire et leurs applications en géométrie analytique, permettant aux élèves de maîtriser les outils vectoriels pour la résolution de problèmes géométriques. ➡️

CHAPITRE 1 : VECTEURS DANS LE PLAN

Ce chapitre consolide la notion de vecteur comme outil de modélisation géométrique.

1.1 Définition et représentation des vecteurs

Le vecteur est formellement défini comme une classe d’équipollence de bipoints, caractérisée par sa direction, son sens et sa norme. Sa représentation par une flèche est systématisée.

1.2 Égalité et relation de Chasles

L’égalité de deux vecteurs est revue, et la relation de Chasles est présentée comme un outil fondamental pour la décomposition et la composition des vecteurs, simplifiant de nombreuses démonstrations.

1.3 Vecteurs colinéaires et vecteurs libres

La condition de colinéarité de deux vecteurs est étudiée analytiquement. La notion de vecteur libre, indépendant de son point d’application, est soulignée.

1.4 Norme d’un vecteur et vecteurs unitaires

La norme d’un vecteur est sa longueur. Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1 qui sert à indiquer une direction. La notion de normalisation d’un vecteur est introduite.

CHAPITRE 2 : OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS

Ce chapitre se concentre sur l’algèbre des vecteurs du plan.

2.1 Addition et soustraction vectorielle

Les opérations d’addition et de soustraction sont revues géométriquement et analytiquement. La soustraction est définie comme l’addition de l’opposé.

2.2 Multiplication d’un vecteur par un scalaire

La multiplication par un scalaire est étudiée, en analysant son effet sur la norme et le sens du vecteur.

2.3 Propriétés des opérations vectorielles

Les propriétés d’espace vectoriel de l’ensemble des vecteurs du plan sont formellement établies (commutativité, associativité, distributivité).

2.4 Applications aux parallélogrammes et triangles

Le calcul vectoriel est appliqué pour démontrer les propriétés des figures planes, comme le théorème de la droite des milieux ou le fait que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

CHAPITRE 3 : REPÈRES VECTORIELS DU PLAN

Ce chapitre introduit le concept de repère pour permettre l’étude analytique des vecteurs.

3.1 Base vectorielle d’un plan

Une base du plan est définie comme un couple de deux vecteurs non colinéaires. Tout vecteur du plan peut s’exprimer de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base.

3.2 Coordonnées d’un vecteur dans une base

Les coordonnées (ou composantes) d’un vecteur sont les coefficients de sa décomposition dans une base donnée.

3.3 Repères orthonormés du plan

Un repère orthonormé est un repère dont les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1. Ce type de repère simplifie considérablement les calculs de normes et d’angles.

3.4 Expression analytique des vecteurs

Le calcul des coordonnées d’une somme de vecteurs, d’un produit par un scalaire, et du vecteur reliant deux points est systématisé.

CHAPITRE 4 : PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN

Ce chapitre approfondit l’étude du produit scalaire et de ses multiples applications.

4.1 Définition et propriétés du produit scalaire

Les différentes définitions du produit scalaire (géométrique, par projection orthogonale) sont revues. Ses propriétés de bilinéarité et de symétrie sont étudiées.

4.2 Expression analytique du produit scalaire

L’expression analytique du produit scalaire dans une base orthonormée () est rappelée et utilisée de manière intensive.

4.3 Norme d’un vecteur et théorème de Pythagore

La norme d’un vecteur est calculée à partir de ses coordonnées. Le théorème de Pythagore est redémontré comme une conséquence directe des propriétés du produit scalaire.

4.4 Applications géométriques du produit scalaire

Le produit scalaire est appliqué pour calculer des longueurs, des angles, et pour démontrer l’orthogonalité. Son utilisation dans le calcul du travail d’une force en physique est également mentionnée.

DEUXIÈME PARTIE : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DU PLAN

Cette partie applique les outils vectoriels à l’étude analytique des figures géométriques du plan, particulièrement les droites. Elle développe les méthodes de représentation algébrique des objets géométriques et les techniques de résolution de problèmes par la géométrie analytique, établissant le lien entre algèbre et géométrie. 📈

CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DE DROITES DANS LE PLAN

Ce chapitre explore les différentes manières de représenter algébriquement une droite.

5.1 Équations paramétriques d’une droite

La représentation paramétrique d’une droite, définie par un point et un vecteur directeur, est introduite. Elle est particulièrement utile pour décrire des trajectoires en physique.

5.2 Équation cartésienne d’une droite

Toute droite du plan admet une équation de la forme . La méthode pour obtenir cette équation à partir d’un point et d’un vecteur directeur ou de deux points est enseignée.

5.3 Équation réduite d’une droite

L’équation réduite  est étudiée, en interprétant géométriquement le coefficient directeur m (la pente) et l’ordonnée à l’origine p.

5.4 Vecteur directeur et vecteur normal d’une droite

Le lien entre les coefficients de l’équation cartésienne et les coordonnées d’un vecteur directeur et d’un vecteur normal (orthogonal) à la droite est établi.

CHAPITRE 6 : PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES DROITES

Ce chapitre utilise les équations de droites pour résoudre des problèmes de distance et d’angle.

6.1 Distance d’un point à une droite

La formule donnant la distance d’un point à une droite à partir de son équation cartésienne est démontrée et appliquée.

6.2 Conditions de parallélisme de deux droites

Les conditions de parallélisme sont exprimées en fonction des vecteurs directeurs (colinéarité) ou des coefficients directeurs (égalité).

6.3 Conditions de perpendicularité de deux droites

Les conditions de perpendicularité sont exprimées en fonction des vecteurs directeurs (produit scalaire nul) ou des coefficients directeurs (produit égal à -1).

6.4 Angle entre deux droites

La formule permettant de calculer l’angle aigu entre deux droites sécantes à partir de leurs vecteurs directeurs ou de leurs pentes est établie.

CHAPITRE 7 : SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ET INTERSECTIONS

Ce chapitre fait le lien entre la résolution algébrique de systèmes et l’intersection de figures géométriques.

7.1 Intersection de deux droites

La recherche du point d’intersection de deux droites est modélisée par la résolution d’un système de deux équations linéaires à deux inconnues.

7.2 Résolution de systèmes linéaires 2×2

Les méthodes de résolution (substitution, combinaison) sont rappelées et leur interprétation géométrique (droites sécantes, parallèles ou confondues) est systématiquement analysée.

7.3 Discussion selon les paramètres

L’étude de l’intersection de droites dont les équations dépendent d’un paramètre est abordée, en discutant le nombre de points d’intersection.

7.4 Applications aux problèmes géométriques

La géométrie analytique est utilisée pour résoudre des problèmes complexes, comme la recherche des coordonnées du centre du cercle circonscrit à un triangle, un problème pertinent pour la triangulation en topographie.

CHAPITRE 8 : LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Ce chapitre introduit la méthode analytique pour déterminer et caractériser des ensembles de points vérifiant une propriété géométrique.

8.1 Méthode de translation pour les lieux

Cette méthode consiste à traduire la propriété géométrique en une équation (l’équation du lieu) en utilisant les coordonnées d’un point générique.

8.2 Méthode des génératrices

Cette approche est utilisée lorsque le lieu est engendré par l’intersection de deux lignes mobiles.

8.3 Cercles et leurs équations

L’équation cartésienne d’un cercle, défini par son centre et son rayon, est établie. Les élèves apprennent à reconnaître une équation de cercle et à en déterminer les caractéristiques.

8.4 Applications aux constructions géométriques

La détermination de lieux géométriques, comme la médiatrice d’un segment ou la bissectrice d’un angle, est traitée par la méthode analytique.

TROISIÈME PARTIE : GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Cette partie étend les concepts géométriques à l’espace tridimensionnel, développant la vision spatiale et les techniques de représentation des objets géométriques dans l’espace. Elle explore les relations entre droites et plans, initiant les élèves aux méthodes de la géométrie descriptive et aux applications spatiales du calcul vectoriel. 🧊

CHAPITRE 9 : CONFIGURATION DE L’ESPACE

Ce chapitre établit les axiomes et les propriétés fondamentales de la géométrie dans l’espace.

9.1 Éléments de détermination d’un plan

Les différentes manières de définir un plan de manière unique sont étudiées : par trois points non alignés, par une droite et un point extérieur, ou par deux droites sécantes ou parallèles.

9.2 Positions relatives de deux droites dans l’espace

Les quatre configurations possibles sont analysées : coplanaires (sécantes ou parallèles) et non coplanaires.

9.3 Positions relatives d’une droite et d’un plan

Les trois positions possibles sont étudiées : la droite est incluse dans le plan, elle est strictement parallèle au plan, ou elle est sécante au plan en un point.

9.4 Positions relatives de deux plans

Deux plans dans l’espace peuvent être soit parallèles, soit sécants selon une droite. La notion de plans perpendiculaires est également introduite.

CHAPITRE 10 : CALCUL VECTORIEL DANS L’ESPACE

Ce chapitre généralise les outils du calcul vectoriel à l’espace tridimensionnel.

10.1 Vecteurs dans l’espace tridimensionnel

La notion de vecteur est étendue à l’espace. Les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire conservent les mêmes propriétés.

10.2 Repères de l’espace et coordonnées

Une base de l’espace est formée par trois vecteurs non coplanaires. Les coordonnées d’un point ou d’un vecteur sont définies dans un repère de l’espace.

10.3 Opérations vectorielles dans l’espace

Les opérations vectorielles sont exprimées analytiquement en utilisant les trois coordonnées.

10.4 Applications spatiales du produit scalaire

Le produit scalaire est utilisé pour calculer des longueurs, des angles et pour caractériser l’orthogonalité entre deux vecteurs, entre une droite et un plan, ou entre deux plans.

CHAPITRE 11 : GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE ÉLÉMENTAIRE

Ce chapitre introduit les techniques de représentation plane des objets de l’espace.

11.1 Dièdres et plans de projection

La méthode de Monge est introduite, basée sur la projection orthogonale sur deux plans perpendiculaires (plan frontal et plan horizontal de projection).

11.2 Représentation du point dans l’espace

Un point de l’espace est représenté par ses deux projections (frontale et horizontale), reliées par une ligne de rappel perpendiculaire à la ligne de terre.

11.3 Positions relatives de deux points

L’analyse des positions relatives des projections permet de déduire la position relative des points dans l’espace.

11.4 Projections orthogonales et épures

L’épure est la figure plane regroupant les projections d’un objet. Les élèves s’entraînent à lire et à construire des épures de points et de segments.

CHAPITRE 12 : REPRÉSENTATION DES DROITES ET PLANS

Ce chapitre applique les principes de la géométrie descriptive à la représentation des droites et des plans.

12.1 Éléments de détermination de la droite

Une droite est représentée par ses projections, qui sont elles-mêmes des droites. Les traces de la droite (points d’intersection avec les plans de projection) sont des éléments caractéristiques.

12.2 Droites particulières et leurs représentations

La représentation de droites particulières (horizontale, frontale, de profil, parallèle à la ligne de terre) est étudiée.

12.3 Éléments de détermination du plan

Un plan est représenté par ses traces sur les plans de projection, qui sont deux droites se coupant sur la ligne de terre.

12.4 Plans projetants et problèmes de représentation

Les plans projetants (perpendiculaires à l’un des plans de projection) sont étudiés pour leur simplicité de représentation.

QUATRIÈME PARTIE : TRIGONOMÉTRIE ET APPLICATIONS

Cette partie développe les concepts trigonométriques fondamentaux et leurs applications en géométrie et en analyse. Elle explore le cercle trigonométrique, les fonctions trigonométriques et leurs propriétés, établissant les bases nécessaires aux applications trigonométriques en géométrie, physique et dans la résolution de triangles. 📈

CHAPITRE 13 : CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

Ce chapitre généralise les notions de trigonométrie à des angles quelconques.

13.1 Définition du cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est défini comme le cercle de rayon 1 centré à l’origine, servant de support à la mesure des angles orientés.

13.2 Mesure des angles en radians

Le radian est consolidé comme l’unité de mesure d’angle la plus naturelle en mathématiques et en physique, notamment pour l’étude des mouvements circulaires.

13.3 Enroulement de la droite sur le cercle

L’association d’un unique point du cercle à chaque nombre réel est formalisée, permettant de définir les fonctions trigonométriques pour tout réel.

13.4 Angles orientés et sens trigonométrique

La notion d’angle orienté est approfondie, en distinguant le sens trigonométrique direct (antihoraire) du sens indirect.

CHAPITRE 14 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Ce chapitre se concentre sur l’étude des fonctions sinus, cosinus et tangente.

14.1 Définitions de sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont formellement définies comme l’ordonnée et l’abscisse du point associé à un angle sur le cercle trigonométrique.

14.2 Fonction tangente et cotangente

Les fonctions tangente et cotangente sont définies à partir du sinus et du cosinus, et leurs propriétés (domaine de définition, périodicité) sont étudiées.

14.3 Relations trigonométriques fondamentales

Les identités fondamentales, comme , et les relations pour les angles associés sont systématiquement utilisées pour la simplification d’expressions.

14.4 Angles remarquables et valeurs particulières

Les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles remarquables du cercle (0, π/6, π/4, π/3, π/2 et leurs multiples) sont maîtrisées.

ANNEXES

Annexe I : Formulaire de géométrie vectorielle et trigonométrie 📝

Cette annexe regroupe toutes les formules essentielles du cours : expressions analytiques des opérations vectorielles, équations de droites, formules de distance, et identités trigonométriques. C’est un outil de référence central pour la résolution d’exercices.

Annexe II : Tables trigonométriques et valeurs remarquables 📊

Un tableau complet des valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles remarquables est fourni, ainsi qu’une table numérique pour les autres angles, facilitant les calculs en l’absence de calculatrice.

Annexe III : Techniques de construction géométrique 📐

Des fiches méthodologiques illustrent les étapes des constructions géométriques avancées et des épures de base en géométrie descriptive, servant de guide visuel pour les travaux pratiques.