COURS DE MATHEMATIQUES, 5 EME ANNEE PRIMAIRE

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC.

PRÉLIMINAIRES

1. Introduction Générale

1.1. Positionnement du cours

✍️ L’enseignement des mathématiques en cinquième année primaire constitue une année charnière, consolidant la maîtrise des opérations du degré moyen pour l’étendre aux grands nombres et à la complexité des décimaux. Ce cours structure la pensée logique, en passant de l’arithmétique de base à la proportionnalité et à la géométrie analytique (aires et volumes), préparant ainsi l’élève aux défis du degré terminal.

1.2. Philosophie de l’apprentissage

La démarche pédagogique s’ancre dans la résolution de problèmes concrets issus de la vie courante. L’élève est amené à manipuler, à observer et à déduire. L’apprentissage des fractions se fait par le partage, la géométrie par la construction, et la proportionnalité par l’étude de situations réelles (marché, vitesse). L’erreur est un outil pédagogique pour affiner le raisonnement.

1.3. Articulation des domaines

Le programme s’articule autour de quatre domaines interconnectés : la Numération (la construction de tous les types de nombres), les Opérations (la maîtrise des calculs complexes), les Grandeurs (l’application des calculs aux mesures du réel) et la Géométrie (l’analyse de l’espace). La Résolution de Problèmes sert de compétence intégratrice, mobilisant tous ces domaines.

2. Objectifs du Cours (Profil de sortie)

2.1. Maîtriser les Nombres (Numération)

🔢 Au terme de cette année, l’élève doit composer, nommer, comparer, lire et écrire les nombres naturels jusqu’à 1 000 000 et les nombres décimaux (à virgule) jusqu’au millionième. Il doit maîtriser la conversion entre fractions, nombres décimaux et pourcentages, et comprendre la numération romaine.

2.2. Maîtriser les Opérations

🧮 L’élève doit effectuer mentalement et par écrit les quatre opérations fondamentales sur les nombres naturels, les nombres décimaux et les fractions. Il maîtrise les propriétés des opérations, les critères de divisibilité, le calcul du PPCM/PGCD, et les puissances (carré, cube).

2.3. Maîtriser les Grandeurs

📐 L’élève doit établir et utiliser les relations entre les différentes unités de mesure (longueur, masse, capacité, aire, volume, temps). Il maîtrise les mesures agraires, la relation volume/capacité/masse (eau pure) et effectue des opérations sur les nombres complexes (temps).

2.4. Maîtriser la Géométrie et les Problèmes

🏗️ L’élève doit identifier, construire et analyser les figures planes (polygones, cercle) et les solides (cube, pavé droit). Il calcule leurs périmètres, aires, et volumes. Il doit surtout être capable de résoudre des problèmes complexes et concrets (commerce, finance, proportionnalité, gestion) en appliquant une démarche logique.

3. Méthodologie (Approche Par les Compétences)

3.1. La Situation-Problème comme point de départ

Chaque notion nouvelle est introduite par une situation concrète. Pour aborder l’intérêt, l’enseignant simule un dépôt d’argent dans une coopérative d’épargne à Boma. Pour l’échelle, il utilise le plan de la cour de l’école. Cette approche contextualisée permet à l’élève de comprendre l’utilité sociale de l’outil mathématique.

3.2. La Manipulation et la Construction

La géométrie et les grandeurs sont enseignées par la manipulation. L’élève construit les solides (développement du cube), mesure les objets de la classe, et utilise des bandelettes pour visualiser les fractions. L’expérimentation (ex: verser 1 litre d’eau dans un cube de ) précède la règle.

3.3. L’Entraînement Systématique (Calcul mental et écrit)

La maîtrise des opérations exige un entraînement régulier. L’enseignant consacre des moments quotidiens au calcul mental rapide (procédés, tables de multiplication). Le calcul écrit (techniques opératoires) est consolidé par des exercices progressifs, en insistant sur la disposition correcte des chiffres, notamment pour les opérations avec des nombres à virgule.

4. Matériel Didactique Essentiel

4.1. Outils de Mesure et de Traçage

📏 L’enseignant et les élèves doivent disposer d’instruments de mesure : double-décimètre, mètre-ruban (ou ficelle graduée), équerre, rapporteur, compas. Une balance (type Roberval) avec des masses marquées, des récipients gradués (litres, ) et un chronomètre (ou horloge) sont nécessaires.

4.2. Matériel de Numération et de Manipulation

🎲 Du matériel de manipulation est crucial : un tableau de numération (partie entière/décimale), des abaques, des disques de fractions, des bandelettes fractionnaires. Des objets concrets (bâtonnets, cailloux) servent aux calculs de PPCM/PGCD et aux partages.

4.3. Supports Visuels et Géométriques

📐 Des planches murales illustrant les figures géométriques (polygones, cercle) et les solides (cube, pavé) sont affichées. L’enseignant utilise des développements (patrons) de solides en carton. L’utilisation de papier quadrillé facilite le repérage et la construction de figures.

PARTIE 1 : LA CONSTRUCTION DES NOMBRES (NUMÉRATION ET FONDEMENTS)

🔢 Cette première partie établit le socle de toutes les connaissances mathématiques de l’année. Elle vise à solidifier la compréhension de l’univers des nombres. L’élève explore en détail la structure des grands nombres entiers et décimaux, apprend à naviguer avec aisance dans le monde des fractions, et découvre les outils fondamentaux de l’arithmétique (divisibilité, nombres premiers, PPCM/PGCD) qui sont essentiels pour les opérations et la résolution de problèmes.

Chapitre 1 : Les Nombres Naturels et Décimaux

1.1. 🌍 Lecture, Écriture et Comparaison (Nombres > 1 000 000)

Cette section étend le champ de vision de l’élève aux grands nombres. Il apprend à lire, écrire (en chiffres et en lettres), et ordonner les nombres naturels jusqu’au million et au-delà. Il maîtrise également la lecture et l’écriture des nombres décimaux (à virgule) avec une précision allant jusqu’au millionième. La comparaison (>, <, =) de ces deux types de nombres est systématisée.

1.2. 📊 Le Tableau de Numération (Valeur absolue et relative)

L’outil central de la numération est ici approfondi. L’élève utilise un tableau structuré (classes, ordres, partie entière, partie décimale) pour y placer correctement n’importe quel nombre. Il fait la distinction fondamentale entre la valeur absolue d’un chiffre (ex: la valeur de ‘7’ est toujours sept) et sa valeur relative ou de position (ex: dans 1,75, le ‘7’ vaut sept dixièmes ; dans 700, il vaut sept centaines).

1.3. 🧩 Composition et Décomposition (Additive, Multiplicative)

Pour prouver sa compréhension de la structure des nombres, l’élève s’exerce à les « casser » et à les « reconstruire ». Il maîtrise la décomposition additive (ex: 502,3 = 500 + 2 + 0,3), la décomposition multiplicative (ex: 502,3 = (5 x 100) + (2 x 1) + (3 x 0,1)), ou la forme polynomiale, démontrant ainsi sa maîtrise parfaite de la valeur de position de chaque chiffre.

1.4. 🏛️ La Numération Romaine (Lecture, écriture, conversion)

Cette section constitue une ouverture culturelle et logique. L’élève apprend à identifier les sept chiffres romains de base (I, V, X, L, C, D, M). Il étudie les règles d’addition et de soustraction (ex: IV = 4, VI = 6, XL = 40, LX = 60) pour lire et écrire des dates ou des numéros de chapitres. Il s’exerce à convertir les nombres du système romain au système arabe (décimal) et inversement.

Chapitre 2 : Le Monde des Fractions

2.1. 🍰 Identification et Représentation (Types de fractions)

L’élève formalise sa connaissance des fractions. Il apprend à les identifier visuellement (part d’un gâteau, d’une bandelette), à les lire (numérateur, dénominateur) et à les écrire. Il distingue les différents types : fractions propres (inférieures à 1), impropres (supérieures à 1), et les expressions fractionnaires (nombre entier + fraction, ex: 2 1/2).

2.2. 🟰 Fractions Équivalentes et Simplification

Cette compétence est essentielle pour le calcul. L’élève comprend que différentes fractions peuvent représenter la même quantité (ex: 1/2 = 2/4 = 5/10). Il apprend la technique de simplification (diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre) pour réduire une fraction à sa plus simple expression (fraction irréductible).

2.3. ⚖️ Réduction au même dénominateur et Comparaison

Pour pouvoir comparer ou additionner des fractions, l’élève apprend à les « transformer ». La technique de réduction au même dénominateur (en utilisant souvent le PPCM) est maîtrisée. Une fois les fractions sur la même base (ex: 1/2 et 1/3 deviennent 3/6 et 2/6), il peut aisément les comparer (3/6 > 2/6).

2.4. 🔄 Conversion (Fractions décimales en nombres à virgule)

L’élève apprend à faire le pont entre les deux écritures d’un nombre non entier. Il maîtrise la conversion d’une fraction décimale (dénominateur 10, 100, 1000…) en nombre à virgule (ex: 34/100 = 0,34). Il apprend aussi l’opération inverse : transformer un nombre à virgule en fraction décimale (ex: 1,25 = 125/100).

Chapitre 3 : Fondements de l’Arithmétique (Diviseurs et Multiples)

3.1. ⛓️ Multiples et Diviseurs d’un nombre naturel

L’élève explore les relations entre les nombres entiers. Il apprend à lister les multiples d’un nombre (sa table de multiplication) et à trouver tous les diviseurs d’un nombre (tous les nombres qui peuvent le diviser sans reste). Cette compétence est la base pour comprendre la simplification de fractions et le PPCM/PGCD.

3.2. 🎯 Critères de Divisibilité

Pour travailler efficacement avec de grands nombres, l’élève mémorise et applique les « raccourcis » de la divisibilité. Il sait reconnaître instantanément si un nombre est divisible par 2 (se termine par 0, 2, 4, 6, 8), 5 (par 0 ou 5), 10 (par 0), 3 (somme des chiffres divisible par 3), 9 (somme des chiffres divisible par 9), 4 (deux derniers chiffres divisibles par 4), et 25 (par 00, 25, 50, 75).

3.3. 💎 Nombres Premiers et PGCD

L’élève est initié à la « décomposition en facteurs premiers », l’ADN des nombres. Il apprend à identifier les nombres premiers (divisibles uniquement par 1 et eux-mêmes). Il utilise cette décomposition pour trouver le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres, compétence indispensable pour simplifier les fractions au maximum.

3.4. 🚀 PPCM (Plus Petit Commun Multiple)

En parallèle du PGCD, l’élève apprend à trouver le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de deux nombres. Il comprend que le PPCM est l’outil le plus efficace et le plus rapide pour trouver le dénominateur commun nécessaire à l’addition ou à la soustraction de fractions.

PARTIE 2 : LA MAÎTRISE DES OPÉRATIONS ET DES GRANDEURS

⚙️ Cette deuxième partie est le cœur du calcul en cinquième année. L’élève passe de la connaissance des nombres à leur manipulation experte. Il systématise les quatre opérations sur les nombres décimaux, puis étend cette maîtrise aux fractions et aux pourcentages. Parallèlement, il apprend à appliquer cette puissance de calcul au monde qui l’entoure, en maîtrisant la conversion et les opérations sur les grandeurs (longueur, masse, aire, volume) et le temps.

Chapitre 4 : Les Opérations sur Nombres Décimaux

4.1. 🧠 Propriétés des Opérations

L’élève apprend à calculer de manière « intelligente » en utilisant les propriétés des opérations. Il identifie et applique la commutativité (on peut changer l’ordre, ex: 5 + 1,8 = 1,8 + 5), l’associativité (on peut regrouper les termes, ex: (1,2 + 0,8) + 3,4), et la distributivité (ex: 4 x (5 + 0,1) = (4×5) + (4×0,1)) pour faciliter le calcul mental.

4.2. ➕ Addition et Soustraction (Techniques et Calcul rapide)

La maîtrise des opérations sur les décimaux est ici cruciale. L’élève perfectionne la technique écrite de l’addition et de la soustraction, en portant une attention absolue à l’alignement des virgules. Il s’exerce au calcul mental (ex: trouver le complément à 100) et à la notion d’arrondi pour estimer un ordre de grandeur du résultat avant de calculer.

4.3. ✖️ Multiplication (Techniques et Calcul rapide)

L’élève maîtrise la technique écrite de la multiplication de deux nombres décimaux (compter le nombre total de chiffres après la virgule pour placer celle du résultat). Il apprend à utiliser la preuve par 9 pour auto-vérifier ses résultats. Il développe aussi des stratégies de calcul rapide (ex: multiplier par 9, 90, 11, 101…).

4.4. ➗ Division (Techniques et Calcul rapide)

Cette section aborde l’opération la plus complexe. L’élève apprend la technique de la division décimale, notamment comment rendre le diviseur entier (en multipliant diviseur et dividende par 10, 100…). Il s’entraîne à diviser un nombre (entier ou décimal) par un décimal. Il apprend les procédés rapides de division par 10, 100, 5, 50, etc.

Chapitre 5 : Les Opérations sur Fractions, Puissances et Pourcentages

5.1. ➕ Addition et Soustraction de fractions

Fort de sa maîtrise du PPCM (Partie 1), l’élève applique cette compétence pour additionner et soustraire des fractions n’ayant pas le même dénominateur. Il suit la procédure rigoureuse : 1. Trouver un dénominateur commun (PPCM). 2. Réduire les fractions. 3. Additionner/Soustraire les numérateurs. 4. Simplifier le résultat.

5.2. ✖️ Multiplication et Division de fractions

L’élève apprend les techniques opératoires des fractions. Pour la multiplication, il applique la règle (numérateurs x numérateurs, dénominateurs x dénominateurs), en s’exerçant à simplifier avant d’effectuer le calcul. Pour la division, il apprend la règle fondamentale : « diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse ».

5.3. 🚀 Puissances d’un nombre (Carré et Cube)

L’élève est initié à la notion de puissance comme une multiplication répétée. Il apprend à calculer le carré d’un nombre (le nombre multiplié par lui-même, ex: ), une notion essentielle pour l’aire du carré. Il calcule également le cube (ex: ), qui sera utilisé pour le volume du cube.

5.4. 📈 Le Pourcentage (Calculs de base)

Le pourcentage est introduit comme une application des fractions. L’élève apprend à exprimer une fraction en pourcentage (ex: 3/4 = 75/100 = 75%). Il s’exerce au calcul fondamental : calculer le pourcentage d’un nombre (ex: trouver 15% de 30 000 Francs Congolais lors d’une remise à Mbandaka).

Chapitre 6 : L’Univers des Grandeurs et Mesures

6.1. 📏 Mesures de Longueur, Capacité et Masse

L’élève consolide sa maîtrise des unités de base du système métrique. Il utilise les tableaux de conversion pour effectuer des opérations (additions, soustractions) et des conversions complexes impliquant des nombres décimaux (ex: convertir 1,25 km en cm ; additionner 3,5 kg et 800 g). L’estimation et la mesure d’objets réels sont encouragées.

6.2. 🌾 Mesures d’Aire et Mesures Agraires

Cette section relie deux systèmes de mesure de surface. L’élève maîtrise le tableau des mesures d’aire (, , …) en se rappelant qu’il y a deux colonnes par unité. Il apprend ensuite les mesures agraires (hectare ‘ha’, are ‘a’, centiare ‘ca’) utilisées pour les champs. Il établit la relation fondamentale : 1 are =  et 1 ha = .

6.3. 📦 Mesures de Volume

L’élève aborde la mesure de l’espace en 3D. Il étudie le tableau des mesures de volume (, , …) et comprend qu’il y a trois colonnes par unité. Il apprend à manipuler et convertir ces unités (ex: 1  = 1 000 ). La construction d’un  (cube de 10 cm de côté) en carton est une activité centrale.

6.4. 💧 Relation Capacité-Volume-Masse (Eau pure)

C’est une leçon de synthèse fondamentale. L’élève établit la « relation magique » basée sur l’eau pure : 1 Litre d’eau = 1  d’espace = 1 kg de masse. Cette triple équivalence lui permet de résoudre des problèmes complexes, comme calculer la masse d’eau contenue dans un aquarium dont on connaît le volume.

6.5. ⏳ Mesures du Temps (Nombres Complexes)

L’élève apprend à calculer avec le temps, une grandeur non décimale (base 60). Il revoit la subdivision complète de l’année (semestre, trimestre, mois, jour). Il effectue des opérations (addition, soustraction) sur les nombres complexes (ex: 2h 45min + 1h 30min), en maîtrisant la technique de la retenue (60 min = 1 h).

PARTIE 3 : LA GÉOMÉTRIE ET LA RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

🏗️ Cette troisième partie représente l’application finale et l’intégration de toutes les compétences de l’année. L’élève utilise sa maîtrise des nombres et des opérations pour explorer, construire et mesurer l’espace (Géométrie). Il passe des figures planes aux solides, en calculant leurs périmètres, aires et volumes. Enfin, il mobilise l’ensemble de ses savoirs (arithmétique, géométrie, grandeurs) pour analyser et résoudre des situations-problèmes complexes et réalistes, tirées de la vie économique et sociale.

Chapitre 7 : Géométrie Plane (Lignes, Angles et Polygones)

7.1. 📏 Lignes, Droites et Segments

L’élève formalise sa connaissance des éléments de base de la géométrie. Il distingue une droite (infinie), une demi-droite (un début, pas de fin) et un segment (deux extrémités, mesurable). Il apprend à tracer, à l’aide de l’équerre et de la règle, des droites parallèles (qui ne se coupent jamais) et des droites perpendiculaires (qui se coupent à angle droit).

7.2. 📐 Angles, Bissectrice et Médiatrice

L’élève apprend à mesurer et construire des angles à l’aide du rapporteur. Il identifie les angles (aigu, droit, obtus). Il maîtrise deux constructions fondamentales au compas et à la règle : tracer la bissectrice d’un angle (la ligne qui le partage en deux angles égaux) et la médiatrice d’un segment (la droite perpendiculaire qui passe par son milieu). Il apprend aussi le repérage de points sur un quadrillage (coordonnées simples).

7.3. 🔷 Polygones (Propriétés et Construction)

L’élève étudie la famille des polygones (figures planes fermées). Il analyse les propriétés (côtés, angles, diagonales) et s’entraîne à la construction précise (à la règle, au compas, au rapporteur) des figures clés : le triangle (et ses types), le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme et le trapèze.

7.4. 🔴 Cercle et Disque (Construction et Mesure)

L’élève se concentre sur la figure circulaire. Il distingue le cercle (la ligne) du disque (la surface intérieure). Il maîtrise la construction au compas (en identifiant rayon et diamètre). Il apprend et applique les deux formules essentielles : le calcul de la circonférence (Périmètre = Diamètre x ) et le calcul de l’aire du disque (Aire = Rayon x Rayon x ).

Chapitre 8 : Géométrie et Mesures (Aires et Volumes)

8.1. 🖼️ Périmètre et Aire des Polygones (Base)

L’élève apprend à différencier le « tour » (périmètre) et la « surface » (aire). Il maîtrise les formules de calcul du périmètre et de l’aire pour les figures de base : le carré (P=c x 4 ; A=c x c = ), le rectangle (P=(L+l) x 2 ; A=L x l), le triangle (A=(b x h) / 2) et le losange (A=(D x d) / 2). Il compare les périmètres et aires de différentes figures.

8.2. 🔶 Aire du Parallélogramme et du Trapèze

L’élève étend ses compétences de calcul d’aire à des quadrilatères plus complexes. Il apprend la formule de l’aire du parallélogramme (A = base x hauteur) en comprenant qu’elle dérive de celle du rectangle. Il apprend celle du trapèze (A = (Grande base + petite base) x hauteur / 2).

8.3. 📦 Les Solides (Cube et Pavé Droit) : Propriétés et Développement

L’élève passe de 2D à 3D. Il étudie les deux solides de base : le cube (6 faces carrées) et le pavé droit (ou parallélépipède rectangle, 6 faces rectangulaires). Il décrit leurs propriétés (nombre de faces, d’arêtes, de sommets). Il apprend à dessiner leur développement (le « patron » à plat) en vue de leur construction en carton.

8.4. 📥 Aire latérale, Aire totale et Volume (Cube et Pavé Droit)

Cette section constitue l’aboutissement de la géométrie. L’élève apprend à calculer :

• Le Volume (l’espace intérieur) : V(cube) = ; V(pavé) = L x l x h.
• L’Aire latérale (l’aire des faces sur le côté).
• L’Aire totale (l’aire de toutes les faces), en utilisant ses patrons.

Chapitre 9 : Résolution de Problèmes (Situations d’intégration)

9.1. 🛒 Problèmes de la Vie Courante (Commerce en %)

L’élève applique ses connaissances sur le pourcentage à des situations commerciales concrètes. Il apprend à calculer un Prix de Vente (PV), un Prix d’Achat (PA), un Bénéfice (B) ou une Perte (P), en intégrant le calcul du bénéfice ou de la perte en pourcentage du prix d’achat.

9.2. 🗺️ Proportionnalité (Règle de trois, Échelle, Vitesse)

L’élève utilise la proportionnalité pour résoudre des problèmes variés. Il maîtrise la règle de trois simple (produit en croix) dans des tableaux. Il applique cette règle à des situations spécifiques : calculs d’échelle (sur un plan ou une carte), et calculs de vitesse moyenne, de distance parcourue ou de durée (temps) d’un trajet (ex: un bus reliant Kinshasa à Matadi).

9.3. 🏦 Problèmes Financiers (Intérêt, Taux, Capital)

L’élève est initié aux mathématiques financières de base. Il apprend à calculer les quatre éléments d’un prêt ou d’un placement d’argent : l’Intérêt (l’argent gagné/dû), le Capital (la somme de départ), le Taux (le pourcentage annuel) et le Temps (la durée du placement). Il résout aussi des problèmes simples de taux de change (ex: convertir des dollars américains en francs congolais).

9.4. 🧾 Problèmes de Gestion (Facturation, Budget, Partages)

L’élève est mis en situation de gestionnaire. Il apprend à établir et à vérifier des documents commerciaux comme un bon de commande ou une facture. Il résout des problèmes de gestion de budget (calcul de revenu, dépenses et épargne). Il apprend à résoudre des problèmes de partages inégaux (ex: partager une somme selon des ratios ou avec des conditions).

ANNEXES

1. Tableaux de Conversion des Grandeurs

Cette annexe fournit les outils visuels indispensables pour le Chapitre 6. 📊 Elle contient les tableaux de conversion complets (avec les colonnes multiples) pour :

• Les Mesures de Longueur (km à mm)
• Les Mesures de Masse (t à mg)
• Les Mesures de Capacité (hl à ml)
• Les Mesures d’Aire (avec les correspondances Agraires)
• Les Mesures de Volume (avec les correspondances de Capacité)

2. Formulaire de Géométrie (Aires et Volumes)

Un aide-mémoire visuel regroupe toutes les formules de géométrie étudiées dans la Partie 3. 🖼️ Il présente la figure (carré, rectangle, triangle, losange, trapèze, parallélogramme, cercle, cube, pavé droit) accompagnée de ses formules de Périmètre, d’Aire et (pour les solides) d’Aire latérale/totale et de Volume.

3. Principaux Critères de Divisibilité

Un tableau synthétique rappelle les règles de divisibilité (Chapitre 3) pour faciliter le calcul mental, la simplification de fractions et la recherche de PPCM/PGCD. 🎯 Il liste les critères pour 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 25, 100, 125.

4. Vocabulaire et Notations Mathématiques

Un glossaire définit les termes clés et les symboles introduits en 5ème année. 📖 Il inclut : « Valeur absolue/relative », « Numérateur/Dénominateur », « PPCM/PGCD », « Nombre premier », « Fraction irréductible », « Proportionnalité », « Échelle », « Taux d’intérêt », « Capital », « Polygone », « Bissectrice », « Médiatrice », « Patron (Développement) ».