COURS DE TECHNOLOGIES DE L’INFORMATION ET DE LA COMMUNICATION, 1ÈRE ANNÉE, HUMANITÉS SCIENTIFIQUES
Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC
PRÉLIMINAIRES
I. Présentation du cours 📜
Ce cours de Technologies de l’Information et de la Communication (TIC) établit les bases d’une culture numérique indispensable au citoyen du 21e siècle. Le programme est conçu pour fournir aux élèves des humanités scientifiques une compréhension approfondie des concepts, de l’architecture et des applications de l’informatique. Il vise à développer des compétences pratiques solides et une pensée critique face aux enjeux de la société de l’information, en contextualisant les savoirs avec les réalités et les défis du numérique en République Démocratique du Congo.
II. Objectifs généraux 🎯
L’objectif principal est de permettre à l’élève de maîtriser les outils informatiques fondamentaux et de comprendre les principes qui régissent le traitement et la communication de l’information. Au terme de ce cours, il devra être capable d’identifier les composants d’un ordinateur, d’utiliser efficacement un système d’exploitation et des logiciels de bureautique, de naviguer sur Internet de manière sécurisée et d’aborder les bases de la logique algorithmique.
III. Compétences visées 🧠
Ce programme vise à forger une polyvalence numérique. L’élève apprendra à gérer un système de fichiers, à créer et mettre en forme des documents complexes, à utiliser un tableur pour l’analyse de données, à concevoir une présentation assistée par ordinateur, à communiquer via les réseaux et à décomposer un problème simple en une séquence d’instructions logiques.
IV. Méthode d’évaluation 📝
L’évaluation des compétences sera essentiellement pratique et continue. Elle s’appuiera sur des projets concrets (création d’un rapport, analyse d’un budget sur tableur), des exercices en salle informatique pour mesurer la maîtrise des logiciels, et des examens intégrant des situations-problèmes, comme la conception d’un système de classement numérique pour une petite entreprise à Mbuji-Mayi ou la recherche d’informations fiables en ligne.
V. Matériel requis 💻
Une assimilation efficace des concepts de ce cours nécessite un accès régulier à une salle informatique fonctionnelle. Chaque poste de travail doit être équipé d’un ordinateur doté d’un système d’exploitation moderne, d’une suite bureautique complète et d’une connexion Internet stable. Des supports de cours numériques et des exercices en ligne viendront compléter le dispositif pédagogique.
PREMIÈRE PARTIE : CULTURE INFORMATIQUE ET SYSTÈMES D’INFORMATION
Cette partie établit les fondements conceptuels des technologies de l’information en développant une culture informatique solide et une compréhension des systèmes d’information. Elle présente l’évolution historique de l’informatique, son impact sociétal et les principes de base qui régissent le traitement automatisé de l’information, initiant les élèves aux enjeux contemporains de la société numérique. 🌐
CHAPITRE 1 : HISTORIQUE ET ÉVOLUTION DE L’INFORMATIQUE
Ce chapitre retrace l’épopée de l’informatique, de ses origines mécaniques à l’ère du numérique.
1.1 Origine et développement de l’informatique
L’étude couvre les premières machines à calculer, comme la Pascaline, jusqu’à l’invention du transistor et des circuits intégrés, qui ont permis la miniaturisation et l’essor de l’informatique moderne.
1.2 Générations d’ordinateurs et leurs caractéristiques
Les différentes générations d’ordinateurs sont présentées, chacune marquée par une innovation technologique majeure : tubes à vide, transistors, circuits intégrés, et microprocesseurs.
1.3 Personnalités marquantes de l’informatique
Le rôle de figures pionnières comme Alan Turing, John von Neumann, et plus récemment Bill Gates et Steve Jobs, est mis en lumière pour comprendre les avancées conceptuelles et commerciales qui ont façonné le monde numérique.
1.4 Impact de l’informatique sur la société
L’influence profonde de l’informatique sur tous les secteurs de la société est analysée : communication, économie, éducation, santé. L’exemple de l’essor des services de paiement mobile en RDC illustre cette transformation.
CHAPITRE 2 : NOTIONS FONDAMENTALES D’INFORMATIQUE
Ce chapitre définit le vocabulaire de base et les concepts clés de la discipline.
2.1 Définitions et terminologie informatique
Les termes fondamentaux tels que « informatique », « ordinateur », « matériel » (hardware) et « logiciel » (software) sont définis de manière précise pour établir un langage commun.
2.2 Information, donnée et traitement automatique
La distinction essentielle entre une donnée (fait brut) et une information (donnée interprétée) est établie. L’informatique est présentée comme la science du traitement logique et automatique de l’information.
2.3 Domaines d’application de l’informatique
La diversité des applications de l’informatique est explorée : gestion d’entreprise, conception assistée par ordinateur (CAO), communication, divertissement, et recherche scientifique.
2.4 Avantages et inconvénients de l’informatique
Une analyse équilibrée est menée sur les bénéfices de l’informatique (rapidité, fiabilité, accès à l’information) et ses défis (fracture numérique, sécurité des données, impact sur l’emploi).
CHAPITRE 3 : SYSTÈMES D’INFORMATION
Ce chapitre se concentre sur la manière dont l’information est organisée et gérée au sein des organisations.
3.1 Concept et composants d’un système d’information
Un système d’information (SI) est défini comme un ensemble organisé de ressources (personnel, matériel, logiciel) permettant de collecter, stocker, traiter et diffuser l’information.
3.2 Types de systèmes d’information
Les différents types de SI sont présentés en fonction de leur rôle, comme les systèmes de traitement des transactions (TPS) ou les systèmes d’aide à la décision (DSS).
3.3 Rôle des systèmes d’information en entreprise
Le rôle stratégique du SI dans la performance d’une entreprise est souligné, notamment pour l’optimisation des processus, la prise de décision et l’obtention d’un avantage concurrentiel.
3.4 Sécurité et protection de l’information
Les enjeux de la sécurité informatique sont introduits : confidentialité, intégrité et disponibilité des données. Les menaces (virus, piratage) et les mesures de protection de base (mots de passe, antivirus) sont présentées.
CHAPITRE 4 : REPRÉSENTATION ET CODAGE DE L’INFORMATION
Ce chapitre explore comment l’ordinateur, une machine binaire, représente les informations complexes du monde réel.
4.1 Systèmes de numération et conversions
Le système binaire (base 2) est présenté comme le langage fondamental de l’ordinateur. Les élèves apprennent les techniques de conversion entre le binaire, le décimal et d’autres bases comme l’hexadécimal.
4.2 Codage des caractères et des données
Le codage des caractères alphanumériques (codes ASCII et Unicode) est expliqué, ainsi que la représentation binaire des images, des sons et des vidéos.
4.3 Unités de mesure de l’information
Les unités de mesure de la capacité de stockage de l’information sont définies : le bit, l’octet (byte), et leurs multiples (kilo-octet, méga-octet, giga-octet).
4.4 Compression et stockage des données
Les principes de la compression de données sont introduits, en distinguant les méthodes sans perte (ZIP) et avec perte (JPEG, MP3), pour optimiser l’espace de stockage.
DEUXIÈME PARTIE : ARCHITECTURE ET COMPOSANTS INFORMATIQUES
Cette partie développe la compréhension de l’architecture matérielle des systèmes informatiques et des principes de fonctionnement des ordinateurs. Elle explore les composants internes et externes, les périphériques et les technologies de stockage, permettant aux élèves d’appréhender la structure physique des systèmes informatiques modernes. 🛠️
CHAPITRE 5 : ARCHITECTURE DES MICRO-ORDINATEURS
Ce chapitre dissèque l’organisation fonctionnelle d’un ordinateur personnel.
5.1 Structure générale d’un micro-ordinateur
L’architecture de von Neumann est présentée comme le modèle de base, organisée autour d’une unité centrale de traitement, d’une mémoire, d’unités d’entrée et d’unités de sortie.
5.2 Unité centrale et processeur
L’Unité Centrale de Traitement (CPU ou processeur) est décrite comme le « cerveau » de l’ordinateur, responsable de l’exécution des instructions des programmes.
5.3 Mémoires principales et auxiliaires
La hiérarchie des mémoires est expliquée, distinguant la mémoire principale (RAM, volatile) de la mémoire de masse ou auxiliaire (disque dur, SSD, non-volatile).
5.4 Bus de données et d’adresses
Les bus sont présentés comme les « autoroutes » de l’information qui relient les différents composants de l’ordinateur, permettant la circulation des données et des instructions.
CHAPITRE 6 : COMPOSANTS INTERNES
Ce chapitre offre un regard à l’intérieur de l’unité centrale pour en découvrir les composants essentiels.
6.1 Carte mère et ses composants
La carte mère est décrite comme le circuit imprimé principal qui interconnecte tous les composants de l’ordinateur (processeur, mémoire, cartes d’extension).
6.2 Processeur et coprocesseur
Les caractéristiques d’un processeur, comme sa fréquence d’horloge et le nombre de cœurs, sont expliquées. Le rôle du coprocesseur, spécialisé dans certains calculs, est également abordé.
6.3 Mémoires RAM et ROM
La distinction est faite entre la RAM (Random Access Memory), mémoire vive où sont stockées les données et programmes en cours d’utilisation, et la ROM (Read-Only Memory), mémoire morte contenant le programme de démarrage de l’ordinateur (BIOS/UEFI).
6.4 Cartes d’extension et connecteurs
Les cartes d’extension (carte graphique, carte son, carte réseau) sont présentées comme des modules permettant d’ajouter des fonctionnalités à l’ordinateur via les connecteurs de la carte mère.
CHAPITRE 7 : PÉRIPHÉRIQUES ET INTERFACES
Ce chapitre étudie les dispositifs qui permettent à l’utilisateur d’interagir avec l’ordinateur.
7.1 Périphériques d’entrée
Les principaux périphériques d’entrée sont passés en revue : le clavier pour la saisie de texte, la souris pour le pointage, le scanner pour la numérisation de documents et le microphone pour l’acquisition audio.
7.2 Périphériques de sortie
Les périphériques de sortie les plus courants sont décrits : l’écran (moniteur) pour l’affichage visuel, l’imprimante pour la production de documents papier et les haut-parleurs pour la restitution du son.
7.3 Périphériques d’entrée-sortie
Certains périphériques, comme les écrans tactiles ou les modems, combinent les fonctions d’entrée et de sortie et sont étudiés en tant que tels.
7.4 Ports et connecteurs d’interface
Les différents types de ports (USB, HDMI, Ethernet) qui permettent de connecter les périphériques à l’unité centrale sont identifiés et leur fonction est expliquée.
CHAPITRE 8 : SUPPORTS ET UNITÉS DE STOCKAGE
Ce chapitre se concentre sur les technologies utilisées pour conserver l’information de manière permanente.
8.1 Supports de stockage magnétiques
Le fonctionnement des disques durs magnétiques (HDD), basés sur la magnétisation de plateaux rotatifs, est expliqué.
8.2 Supports de stockage optiques
Les technologies de lecture et d’écriture par laser sur les supports optiques comme le CD, le DVD et le Blu-ray sont décrites.
8.3 Supports de stockage électroniques
Les supports à base de mémoire flash, comme les clés USB et les disques SSD (Solid-State Drive), sont étudiés, en soulignant leurs avantages en termes de rapidité et de robustesse.
8.4 Caractéristiques et performances des supports
Les critères de performance des supports de stockage sont comparés : capacité de stockage, vitesse de transfert, temps d’accès et coût par giga-octet.
TROISIÈME PARTIE : SYSTÈMES D’EXPLOITATION ET RÉSEAUX
Cette partie explore les logiciels de base qui contrôlent le fonctionnement des ordinateurs et les technologies de communication en réseau. Elle développe les compétences nécessaires à l’utilisation efficace des systèmes d’exploitation et à la compréhension des architectures réseau, préparant les élèves aux environnements informatiques connectés. 📡
CHAPITRE 9 : SYSTÈMES D’EXPLOITATION
Ce chapitre se consacre au logiciel le plus important de l’ordinateur, qui sert d’interface entre le matériel et l’utilisateur.
9.1 Définition et rôle du système d’exploitation
Le système d’exploitation (SE ou OS) est défini comme l’ensemble des programmes qui gèrent les ressources matérielles de l’ordinateur et fournissent une plateforme pour l’exécution des logiciels d’application.
9.2 Types et classifications des systèmes d’exploitation
Les SE sont classifiés selon divers critères : mono-tâche ou multi-tâche, mono-utilisateur ou multi-utilisateur. Des exemples comme Windows, macOS, Linux et les SE mobiles (Android, iOS) sont présentés.
9.3 Fonctions principales et services
Les fonctions essentielles d’un SE sont détaillées : gestion du processeur, gestion de la mémoire, gestion des périphériques et gestion des fichiers.
9.4 Interface utilisateur et gestion des ressources
La distinction entre interface en ligne de commande et interface graphique (GUI) est expliquée. Le rôle du SE dans l’allocation des ressources (temps CPU, mémoire) aux différents processus est souligné.
CHAPITRE 10 : GESTION DES FICHIERS ET DOSSIERS
Ce chapitre aborde les compétences pratiques liées à l’organisation de l’information sur un support de stockage.
10.1 Organisation hiérarchique des fichiers
Le système de fichiers, avec sa structure arborescente de dossiers (répertoires) et de sous-dossiers, est présenté comme la méthode standard pour organiser les données de manière logique.
10.2 Opérations sur les fichiers et dossiers
Les opérations de base (créer, renommer, copier, déplacer, supprimer) sur les fichiers et les dossiers sont enseignées de manière pratique.
10.3 Attributs et propriétés des fichiers
Les métadonnées associées à un fichier, comme son nom, son type (extension), sa taille, sa date de création et ses permissions (lecture, écriture), sont étudiées.
10.4 Outils de recherche et de maintenance
Les outils intégrés au SE pour la recherche de fichiers et la maintenance des disques (nettoyage, défragmentation) sont présentés.
CHAPITRE 11 : RÉSEAUX INFORMATIQUES
Ce chapitre introduit les concepts qui permettent aux ordinateurs de communiquer entre eux.
11.1 Concepts de base des réseaux
Un réseau informatique est défini comme un ensemble d’équipements interconnectés pour partager des ressources et des informations. Les notions de client, de serveur et de support de transmission sont introduites.
11.2 Topologies et architectures réseau
Les différentes manières d’organiser physiquement un réseau (topologies en bus, en étoile, en anneau) et logiquement (architectures client-serveur, pair-à-pair) sont décrites.
11.3 Protocoles de communication
Un protocole est présenté comme un ensemble de règles qui régissent la communication entre les machines. Le modèle TCP/IP est introduit comme le protocole fondamental d’Internet.
11.4 Réseaux locaux et étendus
La distinction est faite entre les réseaux locaux (LAN), qui couvrent une zone géographique limitée (un bâtiment), et les réseaux étendus (WAN), qui connectent des sites distants, comme les agences d’une banque entre Kinshasa et Goma.
CHAPITRE 12 : INTERNET ET SERVICES WEB
Ce chapitre se focalise sur le plus grand réseau informatique mondial et ses applications.
12.1 Structure et fonctionnement d’Internet
Internet est décrit comme un « réseau de réseaux » mondial et décentralisé, basé sur la suite de protocoles TCP/IP.
12.2 Protocoles Internet et adressage
Les concepts d’adresse IP (identifiant unique d’une machine sur le réseau) et de nom de domaine (URL, plus facile à mémoriser) sont expliqués.
12.3 Services Internet et applications
Les principaux services offerts par Internet sont passés en revue : le World Wide Web (WWW), la messagerie électronique (e-mail), le transfert de fichiers (FTP) et la voix sur IP (VoIP).
12.4 Recherche d’information et navigation web
Les compétences de navigation efficace à l’aide d’un navigateur web et de recherche d’information pertinente via les moteurs de recherche sont développées, en insistant sur l’évaluation de la fiabilité des sources.
QUATRIÈME PARTIE : LOGICIELS D’APPLICATION ET PROGRAMMATION
Cette partie développe les compétences pratiques d’utilisation des logiciels d’application et introduit les concepts de base de la programmation. Elle couvre les outils de bureautique, de création multimédia et les principes algorithmiques, permettant aux élèves de maîtriser les outils numériques essentiels et de comprendre les fondements de la création logicielle. ⌨️
CHAPITRE 13 : LOGICIELS DE BUREAUTIQUE
Ce chapitre est consacré à la maîtrise des outils logiciels les plus utilisés dans les environnements professionnels et académiques.
13.1 Traitement de texte et mise en forme
L’utilisation d’un logiciel de traitement de texte est enseignée pour la création de documents structurés, incluant la mise en forme du texte, l’insertion de tableaux et d’images, et la gestion des styles.
13.2 Tableurs et calculs automatisés
Le tableur est présenté comme un outil puissant pour l’organisation et l’analyse de données numériques. Les élèves apprennent à utiliser les formules, les fonctions et à créer des graphiques pour visualiser les données.
13.3 Présentation assistée par ordinateur
La création de diaporamas dynamiques à l’aide d’un logiciel de présentation est abordée, en se concentrant sur les principes d’une communication visuelle claire et impactante.
13.4 Intégration et partage de documents
Les techniques pour intégrer des éléments d’un logiciel à un autre (ex: un graphique de tableur dans un rapport texte) et pour partager des documents en utilisant les formats universels comme le PDF sont étudiées.
CHAPITRE 14 : ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION DE BASE
Ce chapitre constitue une initiation à la pensée computationnelle et à la logique de la programmation.
14.1 Concepts d’algorithme et de programmation
Un algorithme est défini comme une suite finie et non ambiguë d’instructions permettant de résoudre un problème. La programmation est l’étape de traduction de cet algorithme dans un langage compréhensible par l’ordinateur.
14.2 Structures de contrôle et boucles
Les structures de contrôle fondamentales qui régissent le flux d’exécution d’un programme sont introduites : la séquence, la condition (si… alors… sinon) et la répétition (boucles « pour » et « tant que »).
14.3 Variables, constantes et types de données
Les concepts de variable (emplacement mémoire dont le contenu peut changer) et de constante sont définis. Les types de données de base (entier, réel, caractère) sont présentés.
14.4 Résolution de problèmes par la programmation
Les élèves s’exercent à appliquer la démarche algorithmique pour résoudre des problèmes simples, comme le calcul d’une moyenne ou la recherche du plus grand nombre dans une liste.
ANNEXES
Annexe I : Glossaire des termes informatiques 📖
Cette annexe fournit des définitions claires et concises pour tous les termes techniques et acronymes introduits dans le cours. C’est un outil de référence essentiel pour maîtriser le vocabulaire spécifique des TIC.
Annexe II : Conversions et équivalences numériques 🔢
Un tableau récapitulatif présente les équivalences entre les systèmes de numération (binaire, décimal, hexadécimal) et les multiples des unités de mesure de l’information (octet, kilo-octet, etc.), facilitant les exercices de conversion.
Annexe III : Raccourcis clavier et commandes usuelles 🖱️
Cette section regroupe une liste des raccourcis clavier les plus utiles pour les systèmes d’exploitation et les logiciels de bureautique courants, permettant d’améliorer l’efficacité et la rapidité du travail sur ordinateur.
COURS DE STATISTIQUE, 1ÈRE ANNÉE DES HUMANITÉS SCIENTIFIQUES
Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC
PRÉLIMINAIRES
I. Présentation du cours 📜
Ce cours de statistique constitue une introduction rigoureuse à la science de la collecte, de l’analyse, de l’interprétation et de la présentation des données. Conçu pour les élèves des humanités scientifiques, il vise à développer une pensée quantitative et critique, indispensable pour comprendre les phénomènes complexes dans les domaines scientifiques, économiques et sociaux. Le programme s’ancre dans des exemples concrets tirés de la réalité congolaise pour rendre les concepts directement applicables.
II. Objectifs généraux 🎯
L’objectif fondamental est de permettre à l’élève de maîtriser les outils de la statistique descriptive pour résumer et visualiser des ensembles de données. Au terme de ce cours, il devra être capable d’organiser des données brutes, de calculer les indicateurs de tendance centrale et de dispersion, de construire des représentations graphiques pertinentes et de s’initier aux concepts fondamentaux de la probabilité.
III. Compétences visées 🧠
Ce programme vise à forger des compétences analytiques solides. L’élève apprendra à définir une population et à choisir un échantillon représentatif, à construire et interpréter des tableaux et des graphiques statistiques, à choisir les paramètres de synthèse les plus appropriés pour décrire une distribution, et à appliquer les règles de base du calcul des probabilités pour modéliser des situations aléatoires simples.
IV. Méthode d’évaluation 📝
L’évaluation des acquis sera continue et orientée vers la résolution de problèmes. Elle comprendra des exercices d’application pour vérifier la maîtrise des techniques de calcul, des projets d’enquête statistique à petite échelle pour évaluer la démarche méthodologique, et des examens semestriels. Ces derniers intégreront des études de cas basées sur des données réelles, comme l’analyse de la production agricole d’une province ou l’étude de statistiques démographiques de la ville de Matadi.
V. Matériel requis 💻
Pour une assimilation efficace des concepts, ce cours requiert l’utilisation d’outils de calcul appropriés. Une calculatrice scientifique dotée de fonctions statistiques est indispensable. L’accès à un logiciel tableur (comme Microsoft Excel) est fortement recommandé pour le traitement de séries de données plus importantes et la construction de graphiques de qualité professionnelle.
PREMIÈRE PARTIE : INTRODUCTION À LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE
Cette partie établit les fondements conceptuels de la statistique et développe le vocabulaire de base nécessaire à l’analyse des données. Elle présente les outils fondamentaux de collecte et d’organisation des données statistiques, initiant les élèves aux méthodes d’observation scientifique et à la rigueur méthodologique indispensable dans l’approche quantitative des phénomènes. 📊
CHAPITRE 1 : CONCEPTS FONDAMENTAUX DE LA STATISTIQUE
Ce chapitre introduit le langage et les concepts clés qui structurent la pensée statistique.
1.1 Définitions et terminologie statistique
La statistique est définie comme un ensemble de méthodes permettant de décrire quantitativement des ensembles nombreux. La distinction entre la statistique descriptive (résumer l’information) et la statistique inférentielle (généraliser à partir d’un échantillon) est établie.
1.2 Population et échantillon
La population est définie comme l’ensemble de tous les individus ou objets sur lesquels porte l’étude. L’échantillon est un sous-ensemble de la population, qui doit être représentatif pour permettre des conclusions valides.
1.3 Variables et caractères statistiques
Une variable statistique (ou caractère) est une caractéristique étudiée au sein de la population. La distinction fondamentale entre les variables qualitatives (décrivant une qualité, ex: couleur) et quantitatives (mesurant une quantité, ex: taille) est expliquée.
1.4 Modalités et valeurs
Les modalités sont les différentes formes que peut prendre une variable qualitative. Les valeurs sont les résultats numériques d’une variable quantitative. Les variables quantitatives sont elles-mêmes divisées en discrètes (valeurs isolées) et continues (valeurs dans un intervalle).
CHAPITRE 2 : COLLECTE ET ORGANISATION DES DONNÉES
Ce chapitre se concentre sur les étapes pratiques de l’acquisition et de la structuration des données brutes.
2.1 Méthodes de collecte des données
Les différentes méthodes de collecte sont présentées : le recensement (étude de toute la population), le sondage (étude d’un échantillon), l’observation directe et l’enquête par questionnaire.
2.2 Tableaux statistiques
Le tableau statistique est présenté comme l’outil principal pour organiser et synthétiser les données brutes. Sa structure (titre, colonnes, lignes, source) est normalisée pour assurer une lecture claire.
2.3 Effectifs et fréquences
L’effectif d’une modalité ou d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît. La fréquence (relative) est le rapport de cet effectif à l’effectif total, souvent exprimée en pourcentage pour faciliter les comparaisons.
2.4 Classes et regroupements
Pour les variables quantitatives continues ou discrètes à grand nombre de valeurs, la technique du regroupement en classes (intervalles) est enseignée pour simplifier l’analyse et la représentation des données.
CHAPITRE 3 : REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES ÉLÉMENTAIRES
Ce chapitre explore les techniques de visualisation qui permettent de communiquer l’information contenue dans les données de manière intuitive.
3.1 Diagrammes en barres et en bâtons
Le diagramme en bâtons est utilisé pour représenter des variables quantitatives discrètes, tandis que le diagramme en barres est utilisé pour les variables qualitatives. Les règles de construction (axes, légendes) sont précisées.
3.2 Diagrammes circulaires
Le diagramme circulaire (ou « camembert ») est utilisé pour visualiser la répartition des effectifs d’une variable qualitative, où l’angle de chaque secteur est proportionnel à la fréquence de la modalité.
3.3 Histogrammes simples
L’histogramme est la représentation graphique appropriée pour une variable quantitative continue regroupée en classes. L’aire de chaque rectangle y est proportionnelle à l’effectif de la classe.
3.4 Courbes des effectifs cumulés
La courbe des effectifs cumulés (ou polygone des fréquences cumulées) est construite pour visualiser la progression des effectifs et permet de déterminer graphiquement certains paramètres de position comme la médiane.
DEUXIÈME PARTIE : PARAMÈTRES DE TENDANCE CENTRALE
Cette partie développe les outils de mesure qui permettent de caractériser le centre d’une distribution statistique. Elle approfondit les concepts de moyenne, médiane et mode en tant qu’indicateurs essentiels pour décrire et comparer des ensembles de données, préparant ainsi les élèves à l’interprétation quantitative des phénomènes étudiés. 🎯
CHAPITRE 4 : LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE
Ce chapitre se concentre sur le paramètre de tendance centrale le plus utilisé et le plus intuitif.
4.1 Définition et calcul de la moyenne simple
La moyenne arithmétique simple est définie comme la somme des valeurs d’une série divisée par le nombre de ces valeurs. Sa méthode de calcul pour des données brutes est enseignée.
4.2 Moyenne pondérée
La moyenne pondérée est introduite pour les situations où les valeurs ont des « poids » (coefficients) différents. C’est la méthode utilisée pour calculer la moyenne des notes dans un bulletin scolaire.
4.3 Propriétés de la moyenne arithmétique
Les propriétés mathématiques de la moyenne sont étudiées, notamment sa sensibilité aux valeurs extrêmes (aberrantes), ce qui constitue sa principale limite.
4.4 Applications et interprétations
La moyenne est appliquée pour calculer des indicateurs concrets, comme la production agricole moyenne par hectare dans la province du Kwilu ou le revenu mensuel moyen d’un ménage à Kinshasa.
CHAPITRE 5 : LA MÉDIANE
Ce chapitre présente la médiane comme une mesure de position robuste, moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.
5.1 Définition et détermination de la médiane
La médiane est définie comme la valeur qui partage une série statistique, ordonnée par ordre croissant, en deux sous-ensembles de même effectif.
5.2 Médiane pour les variables discrètes
La méthode de détermination de la médiane est détaillée, en distinguant le cas où l’effectif total est pair de celui où il est impair.
5.3 Médiane pour les variables continues
Pour les données groupées en classes, la médiane est déterminée par interpolation linéaire (calcul) ou graphiquement à l’aide de la courbe des effectifs cumulés.
5.4 Comparaison avec la moyenne
La comparaison entre la moyenne et la médiane permet d’obtenir des informations sur la symétrie de la distribution. Dans une distribution asymétrique, la médiane est souvent un meilleur indicateur de la tendance centrale.
CHAPITRE 6 : LE MODE ET AUTRES MESURES DE POSITION
Ce chapitre explore d’autres indicateurs qui complètent l’analyse de la tendance centrale et de la position au sein d’une distribution.
6.1 Définition et détermination du mode
Le mode est défini comme la modalité ou la valeur de la variable qui a l’effectif le plus élevé. C’est la seule mesure de tendance centrale applicable aux variables qualitatives.
6.2 Distributions unimodales et multimodales
Une distribution peut être unimodale (un seul mode), bimodale (deux modes) ou multimodale, ce qui peut révéler la présence de sous-populations hétérogènes.
6.3 Quartiles et déciles
Les quartiles (qui partagent la série en quatre parties égales) et les déciles (en dix parties égales) sont introduits comme des mesures de position qui permettent d’affiner la description de la distribution des données.
6.4 Rang et percentiles
La notion de percentile est généralisée pour situer une valeur donnée au sein de la distribution. Par exemple, être au 90e percentile signifie que 90% des observations ont une valeur inférieure.
TROISIÈME PARTIE : PARAMÈTRES DE DISPERSION
Cette partie introduit les mesures qui permettent d’évaluer la variabilité et l’homogénéité des données statistiques. Elle développe les concepts d’étendue, d’écart-type et de variance comme outils fondamentaux pour analyser la dispersion des observations autour des valeurs centrales, enrichissant ainsi l’analyse descriptive des distributions. ↔️
CHAPITRE 7 : MESURES SIMPLES DE DISPERSION
Ce chapitre présente des indicateurs de dispersion simples à calculer et à interpréter.
7.1 Étendue et amplitude
L’étendue (ou amplitude) est la mesure de dispersion la plus simple, définie comme la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série.
7.2 Écart interquartile
L’écart interquartile est défini comme la différence entre le troisième quartile (Q3) et le premier quartile (Q1). Il mesure la dispersion des 50% de valeurs centrales et est plus robuste que l’étendue.
7.3 Coefficient de variation
Le coefficient de variation est une mesure de dispersion relative, sans unité, qui exprime l’écart-type en pourcentage de la moyenne. Il permet de comparer la dispersion de séries de données ayant des unités ou des ordres de grandeur différents.
7..4 Interprétation des mesures de dispersion
L’interprétation de ces mesures est soulignée : une faible dispersion indique que les données sont homogènes et concentrées autour de la tendance centrale, tandis qu’une forte dispersion révèle une grande hétérogénéité.
CHAPITRE 8 : VARIANCE ET ÉCART-TYPE
Ce chapitre se concentre sur les deux mesures de dispersion les plus importantes et les plus utilisées en statistique.
8.1 Définition et calcul de la variance
La variance est définie comme la moyenne des carrés des écarts de chaque valeur par rapport à la moyenne arithmétique. Elle mesure la dispersion globale des données.
8.2 Écart-type et ses propriétés
L’écart-type est la racine carrée de la variance. Il a l’avantage d’être exprimé dans la même unité que la variable, ce qui facilite son interprétation comme une mesure de l’écart typique des valeurs par rapport à la moyenne.
8.3 Variance pour les données groupées
La méthode de calcul de la variance et de l’écart-type pour des données présentées sous forme de tableau d’effectifs ou regroupées en classes est détaillée.
8.4 Applications pratiques
L’écart-type est utilisé dans de nombreux domaines, par exemple en contrôle de qualité pour mesurer la régularité d’une production industrielle ou en finance pour évaluer la volatilité d’un actif.
CHAPITRE 9 : ANALYSE COMPARATIVE DES DISTRIBUTIONS
Ce chapitre synthétise les outils descriptifs pour comparer plusieurs séries de données.
9.1 Comparaison de moyennes et dispersions
La comparaison de plusieurs distributions se fait en analysant simultanément leurs paramètres de tendance centrale (pour comparer leur « niveau ») et leurs paramètres de dispersion (pour comparer leur « homogénéité »).
9.2 Standardisation des données
La technique de la standardisation (ou calcul du score Z) est introduite. Elle permet de comparer des valeurs issues de distributions différentes en les exprimant en nombre d’écarts-types par rapport à leur moyenne respective.
9.3 Coefficients de variation
Le coefficient de variation est rappelé comme l’outil privilégié pour comparer la dispersion relative de deux séries, par exemple pour déterminer si la production de café dans le Kivu est plus ou moins variable que la production de maïs dans le Kasaï.
9.4 Boîtes à moustaches
La boîte à moustaches (ou diagramme de Tukey) est présentée comme un outil de synthèse graphique extrêmement efficace. Elle représente sur un même diagramme la médiane, les quartiles et l’étendue, permettant une comparaison visuelle immédiate de plusieurs distributions.
QUATRIÈME PARTIE : INTRODUCTION AUX PROBABILITÉS
Cette partie constitue l’initiation aux concepts probabilistes fondamentaux en partant des situations concrètes pour développer progressivement les notions d’expérience aléatoire et de probabilité. Elle établit les bases mathématiques nécessaires à la compréhension des phénomènes aléatoires et prépare les élèves aux applications statistiques plus avancées des années suivantes. 🎲
CHAPITRE 10 : EXPÉRIENCES ALÉATOIRES ET ÉVÉNEMENTS
Ce chapitre introduit le vocabulaire et les concepts de base pour la modélisation du hasard.
10.1 Notion d’expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est définie comme une expérience dont on ne peut pas prédire l’issue avec certitude, mais dont on connaît l’ensemble de tous les résultats possibles.
10.2 Univers et événements
L’univers (Ω) est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. Un événement est un sous-ensemble de l’univers. Les événements élémentaires, certains et impossibles sont définis.
10.3 Opérations sur les événements
Les opérations ensemblistes sont appliquées aux événements : l’union (A ou B), l’intersection (A et B) et le complémentaire (non A).
10.4 Diagrammes de Venn et représentations
Les diagrammes de Venn sont utilisés comme un outil visuel pour représenter les événements et les relations entre eux, facilitant la compréhension des opérations ensemblistes.
CHAPITRE 11 : PROBABILITÉ D’UN ÉVÉNEMENT
Ce chapitre formalise la notion de probabilité et établit ses règles de calcul.
11.1 Définition classique de la probabilité
Dans le cas d’équiprobabilité (où tous les résultats ont la même chance de se produire), la probabilité d’un événement est définie par la formule de Laplace : nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.
11.2 Propriétés fondamentales
Les axiomes et propriétés de base d’une probabilité sont établis : une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, la probabilité de l’événement certain est 1, et celle de l’événement impossible est 0.
11.3 Probabilité d’événements composés
Les formules pour calculer la probabilité de l’union de deux événements et la probabilité de l’événement complémentaire sont démontrées.
11.4 Règles d’addition et de multiplication
Les règles fondamentales du calcul des probabilités sont présentées, notamment la règle d’addition pour les événements incompatibles et une introduction à la règle de multiplication pour les événements indépendants.
CHAPITRE 12 : APPLICATIONS ÉLÉMENTAIRES DES PROBABILITÉS
Ce chapitre met en pratique les concepts probabilistes à travers la résolution de problèmes concrets.
12.1 Problèmes de dénombrement simple
Des problèmes simples faisant appel au dénombrement direct des cas possibles et favorables sont résolus pour renforcer la compréhension de la formule de Laplace.
12.2 Tirages avec et sans remise
La distinction fondamentale entre un tirage avec remise (où les événements sont indépendants) et un tirage sans remise (où ils ne le sont pas) est illustrée à travers des exemples d’urnes.
12.3 Probabilités conditionnelles simples
La notion de probabilité conditionnelle est introduite de manière intuitive : c’est la probabilité qu’un événement A se réalise sachant qu’un événement B est déjà réalisé.
12.4 Arbres de probabilité
L’arbre de probabilité est présenté comme un outil de modélisation puissant pour représenter des expériences aléatoires se déroulant en plusieurs étapes et pour calculer les probabilités des événements finaux.
ANNEXES
Annexe I : Tables statistiques usuelles 📊
Cette annexe fournit des tables numériques de référence, comme la table de la loi normale centrée réduite, qui seront utiles pour les cours de statistique des années supérieures.
Annexe II : Formulaire de statistique descriptive 📝
Un résumé de toutes les formules importantes de la statistique descriptive est présenté, incluant les formules de calcul de la moyenne, de la variance, de l’écart-type et de la médiane pour les données brutes et groupées.
Annexe III : Méthodes de calcul des paramètres 🧮
Des fiches méthodologiques détaillent, étape par étape, les procédures de calcul des principaux paramètres statistiques, servant de guide pratique pour la résolution d’exercices.
Annexe IV : Utilisation de la calculatrice scientifique 📟
Cette section offre un guide d’utilisation des fonctions statistiques de base d’une calculatrice scientifique standard (saisie de données, calcul direct de la moyenne et de l’écart-type).
Annexe V : Symboles et notations statistiques ✒️
Un glossaire des symboles et notations mathématiques utilisés en statistique et en probabilités (Σ, x̄, σ, P(A), etc.) est fourni pour assurer une lecture fluide et sans ambiguïté des formules et des textes scientifiques.
COURS D’ALGÈBRE ET ANALYSE, 2ÈME ANNÉE DES HUMANITÉS SCIENTIFIQUES
Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC
PRÉLIMINAIRES
I. Présentation du cours 📜
Ce cours d’algèbre et d’analyse de deuxième année approfondit les concepts fondamentaux et introduit des outils plus sophistiqués pour la modélisation et la résolution de problèmes. Le programme est conçu pour consolider la maîtrise des polynômes, étendre l’étude aux fonctions du second degré, et initier les élèves à l’analyse des suites numériques. L’accent est mis sur le développement du raisonnement déductif et l’application des concepts à des situations complexes, préparant les élèves aux exigences de l’année terminale et de l’enseignement supérieur.
II. Objectifs généraux 🎯
L’objectif principal est de permettre à l’élève de maîtriser les techniques de résolution des équations et inéquations du second degré et de développer une compréhension approfondie des fonctions polynomiales. Au terme de ce cours, il devra être capable d’analyser une fonction du second degré, de modéliser des phénomènes évolutifs à l’aide de suites arithmétiques et géométriques, et d’utiliser le raisonnement logique pour construire des démonstrations mathématiques rigoureuses.
III. Compétences visées 🧠
Ce programme vise à forger une maturité mathématique. L’élève apprendra à manipuler des expressions rationnelles, à résoudre analytiquement et graphiquement des problèmes du second degré, à interpréter les paramètres d’une fonction pour en prédire le comportement, et à choisir le modèle de suite approprié pour décrire une situation d’évolution discrète, comme le calcul d’intérêts composés dans une institution de microfinance à Mbuji-Mayi.
IV. Méthode d’évaluation 📝
L’évaluation sera continue et axée sur la capacité à résoudre des problèmes de plus en plus abstraits. Elle s’appuiera sur des interrogations régulières pour valider la compréhension des théorèmes, des devoirs pour développer l’autonomie dans la recherche de solutions, et des examens semestriels. Ces derniers intégreront des problèmes de synthèse qui exigent la mobilisation de compétences issues de plusieurs chapitres pour modéliser une situation complète.
V. Matériel requis 💻
La réussite dans ce cours exige l’utilisation d’outils de calcul et de visualisation. Une calculatrice scientifique programmable est indispensable pour les calculs complexes et l’exploration des fonctions. L’accès à un logiciel de géométrie dynamique ou à un grapheur est fortement encouragé pour permettre la visualisation des fonctions, des transformations et des suites, renforçant ainsi l’intuition et la compréhension des concepts.
PREMIÈRE PARTIE : LANGAGE MATHÉMATIQUE ET NOMBRES RÉELS APPROFONDIS
Cette partie consolide et approfondit les acquis du langage mathématique et étend l’étude des nombres réels aux aspects plus complexes. Elle développe la maîtrise des propriétés fondamentales des nombres réels, introduit les puissances à exposants rationnels et explore les radicaux d’indice quelconque, renforçant les bases nécessaires aux développements algébriques et analytiques ultérieurs. 🧠
CHAPITRE 1 : ALPHABET DU LANGAGE MATHÉMATIQUE
Ce chapitre formalise les outils de la logique et du raisonnement indispensables à la pratique mathématique.
1.1 Propositions mathématiques et connecteurs logiques
L’étude des propositions et des tables de vérité est approfondie. Les élèves apprennent à analyser la structure logique d’un énoncé complexe et à en déterminer la validité.
1.2 Quantificateurs universels et existentiels
Les quantificateurs « pour tout » (∀) et « il existe » (∃) sont introduits pour formuler des énoncés mathématiques précis. La négation de propositions quantifiées est étudiée.
1.3 Raisonnement déductif et démonstrations
La structure d’une démonstration mathématique (hypothèses, déductions, conclusion) est formalisée. L’importance de la rigueur et de la justification de chaque étape est soulignée.
1.4 Méthodes de démonstration mathématique
Différentes stratégies de démonstration sont présentées : la démonstration directe, la démonstration par contraposition et la démonstration par l’absurde.
CHAPITRE 2 : NOMBRES RÉELS – EXTENSIONS ET PROPRIÉTÉS
Ce chapitre étend les opérations dans l’ensemble des nombres réels.
2.1 Puissances d’exposants rationnels
La notion de puissance est généralisée aux exposants rationnels (fractions), en établissant le lien fondamental : .
2.2 Radicaux d’indice n et leurs propriétés
Les radicaux d’indice quelconque () sont étudiés. Les règles de calcul (produit, quotient) et de simplification des expressions contenant ces radicaux sont développées.
2.3 Expressions irrationnelles et rationalisation
Les techniques pour manipuler des expressions contenant des radicaux sont approfondies, notamment la rationalisation du dénominateur d’une fraction pour simplifier les calculs.
2.4 Encadrements et approximations
Les méthodes d’encadrement et de calcul de valeurs approchées pour les nombres irrationnels sont présentées, développant le sens de l’ordre de grandeur et de la précision.
CHAPITRE 3 : POLYNÔMES DANS R – OPÉRATIONS AVANCÉES
Ce chapitre approfondit l’étude de l’arithmétique des polynômes.
3.1 Quotient et reste de la division euclidienne
L’algorithme de la division euclidienne des polynômes est maîtrisé. Le théorème fondamental est appliqué systématiquement.
3.2 Divisibilité par x – a et zéros d’un polynôme
Le théorème du reste et le critère de divisibilité par sont utilisés pour déterminer si un nombre est une racine (un zéro) d’un polynôme.
3.3 Méthodes de factorisation des polynômes
Des stratégies de factorisation avancées sont développées, en utilisant la division euclidienne et la recherche de racines pour décomposer un polynôme en facteurs de plus bas degré.
3.4 PPCM et PGCD des polynômes
Les concepts de Plus Petit Commun Multiple (PPCM) et de Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) sont étendus aux polynômes, en se basant sur leur factorisation.
CHAPITRE 4 : FRACTIONS RATIONNELLES
Ce chapitre introduit les fractions rationnelles et leur manipulation algébrique.
4.1 Définition et propriétés des fractions rationnelles
Une fraction rationnelle est définie comme le quotient de deux polynômes. Son domaine de définition, qui exclut les zéros du dénominateur, est étudié.
4.2 Opérations sur les fractions rationnelles
Les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication et de division des fractions rationnelles sont définies, en utilisant le PPCM des dénominateurs pour l’addition.
4.3 Zéros et signes des fractions rationnelles
La détermination des zéros (racines du numérateur) et l’étude du signe d’une fraction rationnelle à l’aide d’un tableau de signes sont systématisées.
4.4 Décomposition en éléments simples
Une introduction à la décomposition d’une fraction rationnelle en une somme de fractions plus simples est proposée, une technique fondamentale en calcul intégral.
DEUXIÈME PARTIE : ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES ALGÉBRIQUES
Cette partie développe l’étude systématique des équations et inéquations du second degré, ainsi que leurs applications. Elle explore les méthodes de résolution, les propriétés des racines et l’analyse des systèmes d’équations, développant les compétences de résolution algébrique et d’interprétation des solutions dans des contextes variés. ⚙️
CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Ce chapitre est consacré à la résolution complète des équations polynomiales de degré deux.
5.1 Méthodes de résolution des équations du second degré
Les différentes approches sont étudiées : la factorisation, la complétion du carré et l’utilisation de la formule quadratique (formule du discriminant).
5.2 Discriminant et nature des racines
Le discriminant () est introduit comme un outil permettant de déterminer, sans les calculer, le nombre et la nature des racines d’une équation du second degré (réelles et distinctes, réelle et double, ou complexes).
5.3 Relations entre coefficients et racines
Les relations de Viète, qui lient la somme et le produit des racines aux coefficients de l’équation, sont établies. Elles permettent de vérifier des solutions ou de construire une équation à partir de ses racines.
5.4 Applications et problèmes du second degré
De nombreux problèmes concrets menant à des équations du second degré sont résolus, par exemple l’optimisation de la surface d’un champ agricole dans la plaine de la Ruzizi ou des problèmes de trajectoire.
CHAPITRE 6 : INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Ce chapitre étend les techniques de résolution aux inéquations impliquant des polynômes du second degré.
6.1 Résolution algébrique des inéquations du second degré
La méthode consiste à étudier le signe du trinôme du second degré en fonction des racines, ce qui permet de déterminer les intervalles où l’inéquation est vérifiée.
6.2 Étude graphique et tableau de signes
L’interprétation graphique de la résolution (position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses) est mise en relation avec le tableau de signes du trinôme.
6.3 Inéquations avec valeurs absolues
Des inéquations plus complexes, impliquant des valeurs absolues et des expressions du second degré, sont résolues en utilisant la définition de la valeur absolue et en discutant les cas.
6.4 Systèmes d’inéquations du second degré
La résolution de systèmes d’inéquations à une inconnue est abordée en trouvant l’intersection des ensembles de solutions de chaque inéquation.
CHAPITRE 7 : SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES
Ce chapitre approfondit la résolution des systèmes d’équations, en passant à des systèmes de plus grande taille.
7.1 Systèmes de deux équations à deux inconnues
Les méthodes de substitution, de combinaison linéaire et la méthode graphique sont revues et consolidées.
7.2 Méthodes de résolution : substitution et élimination
Ces méthodes sont systématisées pour être applicables à des systèmes de plus grande taille. La rigueur dans les étapes de calcul est soulignée.
7.3 Systèmes de trois équations à trois inconnues
La résolution de systèmes par la méthode d’élimination de Gauss (méthode du pivot) est introduite comme une approche systématique et efficace.
7.4 Applications et interprétation géométrique
L’interprétation géométrique d’un système comme l’intersection de trois plans dans l’espace est présentée. Des problèmes concrets, comme la détermination des quantités de trois ingrédients dans un mélange, sont modélisés et résolus.
CHAPITRE 8 : ÉQUATIONS AVEC PARAMÈTRES
Ce chapitre introduit la discussion d’équations dont les coefficients dépendent d’un ou plusieurs paramètres.
8.1 Équations du premier degré avec paramètres
La discussion du nombre de solutions d’une équation est menée en fonction des valeurs des paramètres et .
8.2 Équations du second degré avec paramètres
L’existence et le signe des racines d’une équation du second degré sont discutés en fonction des valeurs d’un paramètre, en analysant le signe du discriminant, de la somme et du produit des racines.
8.3 Discussion selon les valeurs du paramètre
Les élèves apprennent à partitionner l’ensemble des valeurs possibles d’un paramètre pour décrire complètement le comportement des solutions de l’équation.
8.4 Optimisation et problèmes paramétriques
Des problèmes d’optimisation où la quantité à maximiser ou minimiser dépend d’un paramètre sont étudiés, une introduction à des concepts plus avancés de l’analyse.
TROISIÈME PARTIE : FONCTIONS NUMÉRIQUES ET ANALYSE ÉLÉMENTAIRE
Cette partie introduit l’étude systématique des fonctions numériques, particulièrement les fonctions du second degré et leurs propriétés. Elle développe les concepts de domaine, image, variations et représentations graphiques, initiant les élèves aux méthodes d’analyse fonctionnelle et à l’interprétation géométrique des propriétés algébriques. 📈
CHAPITRE 9 : GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
Ce chapitre formalise le concept de fonction, un des objets centraux des mathématiques modernes.
9.1 Définition et notation des fonctions
Une fonction est définie formellement comme une relation qui, à chaque élément d’un ensemble de départ, associe au plus un élément d’un ensemble d’arrivée. Les notations et sont maîtrisées.
9.2 Domaine de définition et ensemble image
Le domaine de définition est l’ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. L’ensemble image est l’ensemble de toutes les valeurs que la fonction peut prendre.
9.3 Composition et fonctions réciproques
La composition de fonctions () est définie. La notion de fonction réciproque (), qui « inverse » l’action d’une fonction, est introduite pour les fonctions bijectives.
9.4 Parité et périodicité des fonctions
Les propriétés de symétrie des fonctions sont étudiées : les fonctions paires () et impaires (). La périodicité est définie pour les fonctions qui se répètent à intervalles réguliers.
CHAPITRE 10 : FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ
Ce chapitre est entièrement consacré à l’étude détaillée des fonctions polynomiales de degré deux.
10.1 Forme canonique et forme factorisée
Toute fonction du second degré peut s’écrire sous trois formes : développée, canonique (qui révèle les coordonnées du sommet) et factorisée (qui révèle les racines).
10.2 Zéros et sommet d’une fonction du second degré
Les zéros (ou racines) de la fonction correspondent aux points d’intersection de son graphe avec l’axe des abscisses. Le sommet est le point où la fonction atteint son extremum (maximum ou minimum).
10.3 Axe de symétrie et extremums
La représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole, qui possède un axe de symétrie vertical passant par son sommet.
10.4 Graphique et variations
Les variations de la fonction (croissance, décroissance) sont étudiées et résumées dans un tableau de variations. Les élèves apprennent à tracer avec précision le graphe d’une fonction du second degré.
CHAPITRE 11 : TRANSFORMATIONS DES FONCTIONS
Ce chapitre explore comment le graphe d’une fonction est modifié par des transformations géométriques simples.
11.1 Translations horizontales et verticales
L’effet de l’ajout d’une constante à la variable () ou à la fonction () est analysé comme une translation du graphe.
11.2 Réflexions et symétries
Les transformations et sont interprétées comme des réflexions du graphe par rapport aux axes de coordonnées.
11.3 Dilatations et contractions
La multiplication de la variable ou de la fonction par un facteur ( ou ) est étudiée comme une dilatation ou une contraction du graphe.
11.4 Compositions de transformations
Des transformations plus complexes sont analysées en les décomposant en une séquence de transformations élémentaires (translations, réflexions, dilatations).
CHAPITRE 12 : ANALYSE GRAPHIQUE DES FONCTIONS
Ce chapitre développe la compétence de lecture et d’interprétation d’informations à partir de la représentation graphique d’une fonction.
12.1 Lecture graphique des propriétés
Les élèves apprennent à lire directement sur un graphe le domaine de définition, l’ensemble image, les zéros, le signe, les variations et les extremums d’une fonction.
12.2 Résolution graphique d’équations et d’inéquations
La résolution graphique de l’équation se ramène à la recherche des abscisses des points d’intersection du graphe de avec la droite . De même pour les inéquations.
12.3 Optimisation graphique
Des problèmes d’optimisation (recherche de maximum ou de minimum) sont résolus graphiquement en identifiant le sommet de la parabole représentant la fonction à optimiser.
12.4 Modélisation par fonctions du second degré
Des situations réelles, comme la hauteur d’un objet en chute libre en fonction du temps, sont modélisées par des fonctions du second degré, montrant la puissance de cet outil.
QUATRIÈME PARTIE : SUITES ET APPLICATIONS PRATIQUES
Cette partie introduit les concepts fondamentaux des suites numériques et leurs applications dans la modélisation de phénomènes discrets. Elle explore les suites arithmétiques et géométriques, leurs propriétés et leurs applications pratiques, développant les compétences de modélisation mathématique et d’analyse de situations évolutives. 🔢
CHAPITRE 13 : SUITES NUMÉRIQUES – INTRODUCTION
Ce chapitre pose les bases de l’étude des suites.
13.1 Définition et notation des suites
Une suite numérique est définie comme une fonction dont l’ensemble de départ est l’ensemble des entiers naturels. Les notations et sont introduites.
13.2 Modes de génération des suites
Deux modes de définition d’une suite sont distingués : la définition explicite (où est donné par une formule en fonction de ) et la définition par récurrence (où un terme est défini en fonction du précédent).
13.3 Représentation graphique des suites
Une suite peut être représentée graphiquement par un nuage de points de coordonnées .
13.4 Suites monotones et bornées
Les notions de monotonie (suite croissante, décroissante) et de suite bornée (majorée, minorée) sont définies.
CHAPITRE 14 : SUITES PARTICULIÈRES ET APPLICATIONS
Ce chapitre se concentre sur les deux types de suites les plus importants et leurs applications.
14.1 Suites arithmétiques et leurs propriétés
Une suite arithmétique est une suite où l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant une constante appelée la raison. La formule du terme général et de la somme des termes est établie.
14.2 Suites géométriques et leurs propriétés
Une suite géométrique est une suite où l’on passe d’un terme au suivant en multipliant par une constante appelée la raison. La formule du terme général et de la somme des termes est établie.
14.3 Sommes de termes de suites
Les formules pour calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique sont démontrées et appliquées.
14.4 Applications aux problèmes concrets
Les suites sont utilisées pour modéliser des phénomènes d’évolution, comme le calcul d’intérêts simples (suite arithmétique) ou composés (suite géométrique) pour un crédit dans une banque de la Gombe, ou encore la croissance d’une population.
ANNEXES
Annexe I : Formulaire d’algèbre et propriétés des nombres réels 📝
Cette annexe regroupe de manière synthétique les identités remarquables, les propriétés des puissances et des radicaux, ainsi que les formules de résolution des équations du second degré. C’est un outil de référence indispensable.
Annexe II : Méthodes de résolution et techniques de calcul 🧮
Des fiches méthodologiques décrivent, étape par étape, les algorithmes de résolution pour la division euclidienne, la factorisation de polynômes et la résolution de systèmes d’équations, servant de guide pratique.
Annexe III : Tables de fonctions usuelles et leurs graphiques 📈
Cette section présente un catalogue des fonctions de référence (linéaire, affine, carrée, inverse) avec leur représentation graphique et leurs propriétés essentielles (domaine, variations, parité), facilitant leur reconnaissance et leur utilisation.
COURS DE GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE, 2ÈME ANNÉE DES HUMANITÉS SCIENTIFIQUES
Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC
PRÉLIMINAIRES
I. Présentation du cours 📜
Ce cours de géométrie et trigonométrie de deuxième année approfondit l’étude des structures spatiales en intégrant les outils de l’algèbre vectorielle et de la géométrie analytique. Le programme est conçu pour développer une compréhension avancée des relations géométriques dans le plan et dans l’espace, tout en consolidant les bases de la trigonométrie. L’objectif est de fournir aux élèves un cadre mathématique rigoureux pour la modélisation des phénomènes physiques et l’ingénierie.
II. Objectifs généraux 🎯
L’ambition de ce cours est de permettre à l’élève de maîtriser l’analyse vectorielle et analytique des objets géométriques. Au terme de ce cursus, il devra être capable de manipuler les équations de droites et de cercles, de résoudre des problèmes métriques dans le plan et l’espace, de maîtriser les concepts de la géométrie descriptive et d’appliquer les fonctions trigonométriques à des situations complexes.
III. Compétences visées 🧠
Ce programme vise à forger des compétences de raisonnement spatial et de modélisation mathématique. L’élève apprendra à traduire un problème géométrique en langage algébrique, à utiliser le calcul vectoriel pour démontrer des propriétés, à représenter des objets tridimensionnels sur un plan, et à résoudre des triangles quelconques en utilisant les lois trigonométriques.
IV. Méthode d’évaluation 📝
L’évaluation des acquis sera continue et axée sur la résolution de problèmes intégrant plusieurs concepts. Elle comprendra des exercices de géométrie analytique, des projets de construction en géométrie descriptive, et des examens semestriels. Ces derniers comporteront des situations-problèmes, comme la détermination de l’équation de la trajectoire d’un mobile ou l’analyse des positions relatives de plans dans une structure architecturale à Lubumbashi.
V. Matériel requis 💻
La pratique de la géométrie analytique et spatiale exige des outils de visualisation et de calcul. En plus des instruments de dessin traditionnels (compas, lattes), une calculatrice graphique ou l’accès à un logiciel de géométrie dynamique est fortement recommandé. Ces outils permettent d’explorer les concepts, de vérifier les constructions et de visualiser les objets en trois dimensions, renforçant ainsi l’intuition géométrique.
PREMIÈRE PARTIE : GÉOMÉTRIE VECTORIELLE DANS LE PLAN
Cette partie développe les concepts fondamentaux du calcul vectoriel dans le plan, établissant les bases algébriques et géométriques nécessaires à l’étude des vecteurs. Elle explore les opérations vectorielles, les propriétés du produit scalaire et leurs applications en géométrie analytique, permettant aux élèves de maîtriser les outils vectoriels pour la résolution de problèmes géométriques. ➡️
CHAPITRE 1 : VECTEURS DANS LE PLAN
Ce chapitre consolide la notion de vecteur comme outil de modélisation géométrique.
1.1 Définition et représentation des vecteurs
Le vecteur est formellement défini comme une classe d’équipollence de bipoints, caractérisée par sa direction, son sens et sa norme. Sa représentation par une flèche est systématisée.
1.2 Égalité et relation de Chasles
L’égalité de deux vecteurs est revue, et la relation de Chasles est présentée comme un outil fondamental pour la décomposition et la composition des vecteurs, simplifiant de nombreuses démonstrations.
1.3 Vecteurs colinéaires et vecteurs libres
La condition de colinéarité de deux vecteurs est étudiée analytiquement. La notion de vecteur libre, indépendant de son point d’application, est soulignée.
1.4 Norme d’un vecteur et vecteurs unitaires
La norme d’un vecteur est sa longueur. Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1 qui sert à indiquer une direction. La notion de normalisation d’un vecteur est introduite.
CHAPITRE 2 : OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS
Ce chapitre se concentre sur l’algèbre des vecteurs du plan.
2.1 Addition et soustraction vectorielle
Les opérations d’addition et de soustraction sont revues géométriquement et analytiquement. La soustraction est définie comme l’addition de l’opposé.
2.2 Multiplication d’un vecteur par un scalaire
La multiplication par un scalaire est étudiée, en analysant son effet sur la norme et le sens du vecteur.
2.3 Propriétés des opérations vectorielles
Les propriétés d’espace vectoriel de l’ensemble des vecteurs du plan sont formellement établies (commutativité, associativité, distributivité).
2.4 Applications aux parallélogrammes et triangles
Le calcul vectoriel est appliqué pour démontrer les propriétés des figures planes, comme le théorème de la droite des milieux ou le fait que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
CHAPITRE 3 : REPÈRES VECTORIELS DU PLAN
Ce chapitre introduit le concept de repère pour permettre l’étude analytique des vecteurs.
3.1 Base vectorielle d’un plan
Une base du plan est définie comme un couple de deux vecteurs non colinéaires. Tout vecteur du plan peut s’exprimer de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base.
3.2 Coordonnées d’un vecteur dans une base
Les coordonnées (ou composantes) d’un vecteur sont les coefficients de sa décomposition dans une base donnée.
3.3 Repères orthonormés du plan
Un repère orthonormé est un repère dont les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1. Ce type de repère simplifie considérablement les calculs de normes et d’angles.
3.4 Expression analytique des vecteurs
Le calcul des coordonnées d’une somme de vecteurs, d’un produit par un scalaire, et du vecteur reliant deux points est systématisé.
CHAPITRE 4 : PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN
Ce chapitre approfondit l’étude du produit scalaire et de ses multiples applications.
4.1 Définition et propriétés du produit scalaire
Les différentes définitions du produit scalaire (géométrique, par projection orthogonale) sont revues. Ses propriétés de bilinéarité et de symétrie sont étudiées.
4.2 Expression analytique du produit scalaire
L’expression analytique du produit scalaire dans une base orthonormée () est rappelée et utilisée de manière intensive.
4.3 Norme d’un vecteur et théorème de Pythagore
La norme d’un vecteur est calculée à partir de ses coordonnées. Le théorème de Pythagore est redémontré comme une conséquence directe des propriétés du produit scalaire.
4.4 Applications géométriques du produit scalaire
Le produit scalaire est appliqué pour calculer des longueurs, des angles, et pour démontrer l’orthogonalité. Son utilisation dans le calcul du travail d’une force en physique est également mentionnée.
DEUXIÈME PARTIE : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DU PLAN
Cette partie applique les outils vectoriels à l’étude analytique des figures géométriques du plan, particulièrement les droites. Elle développe les méthodes de représentation algébrique des objets géométriques et les techniques de résolution de problèmes par la géométrie analytique, établissant le lien entre algèbre et géométrie. 📈
CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DE DROITES DANS LE PLAN
Ce chapitre explore les différentes manières de représenter algébriquement une droite.
5.1 Équations paramétriques d’une droite
La représentation paramétrique d’une droite, définie par un point et un vecteur directeur, est introduite. Elle est particulièrement utile pour décrire des trajectoires en physique.
5.2 Équation cartésienne d’une droite
Toute droite du plan admet une équation de la forme . La méthode pour obtenir cette équation à partir d’un point et d’un vecteur directeur ou de deux points est enseignée.
5.3 Équation réduite d’une droite
L’équation réduite est étudiée, en interprétant géométriquement le coefficient directeur m (la pente) et l’ordonnée à l’origine p.
5.4 Vecteur directeur et vecteur normal d’une droite
Le lien entre les coefficients de l’équation cartésienne et les coordonnées d’un vecteur directeur et d’un vecteur normal (orthogonal) à la droite est établi.
CHAPITRE 6 : PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES DROITES
Ce chapitre utilise les équations de droites pour résoudre des problèmes de distance et d’angle.
6.1 Distance d’un point à une droite
La formule donnant la distance d’un point à une droite à partir de son équation cartésienne est démontrée et appliquée.
6.2 Conditions de parallélisme de deux droites
Les conditions de parallélisme sont exprimées en fonction des vecteurs directeurs (colinéarité) ou des coefficients directeurs (égalité).
6.3 Conditions de perpendicularité de deux droites
Les conditions de perpendicularité sont exprimées en fonction des vecteurs directeurs (produit scalaire nul) ou des coefficients directeurs (produit égal à -1).
6.4 Angle entre deux droites
La formule permettant de calculer l’angle aigu entre deux droites sécantes à partir de leurs vecteurs directeurs ou de leurs pentes est établie.
CHAPITRE 7 : SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ET INTERSECTIONS
Ce chapitre fait le lien entre la résolution algébrique de systèmes et l’intersection de figures géométriques.
7.1 Intersection de deux droites
La recherche du point d’intersection de deux droites est modélisée par la résolution d’un système de deux équations linéaires à deux inconnues.
7.2 Résolution de systèmes linéaires 2×2
Les méthodes de résolution (substitution, combinaison) sont rappelées et leur interprétation géométrique (droites sécantes, parallèles ou confondues) est systématiquement analysée.
7.3 Discussion selon les paramètres
L’étude de l’intersection de droites dont les équations dépendent d’un paramètre est abordée, en discutant le nombre de points d’intersection.
7.4 Applications aux problèmes géométriques
La géométrie analytique est utilisée pour résoudre des problèmes complexes, comme la recherche des coordonnées du centre du cercle circonscrit à un triangle, un problème pertinent pour la triangulation en topographie.
CHAPITRE 8 : LIEUX GÉOMÉTRIQUES
Ce chapitre introduit la méthode analytique pour déterminer et caractériser des ensembles de points vérifiant une propriété géométrique.
8.1 Méthode de translation pour les lieux
Cette méthode consiste à traduire la propriété géométrique en une équation (l’équation du lieu) en utilisant les coordonnées d’un point générique.
8.2 Méthode des génératrices
Cette approche est utilisée lorsque le lieu est engendré par l’intersection de deux lignes mobiles.
8.3 Cercles et leurs équations
L’équation cartésienne d’un cercle, défini par son centre et son rayon, est établie. Les élèves apprennent à reconnaître une équation de cercle et à en déterminer les caractéristiques.
8.4 Applications aux constructions géométriques
La détermination de lieux géométriques, comme la médiatrice d’un segment ou la bissectrice d’un angle, est traitée par la méthode analytique.
TROISIÈME PARTIE : GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
Cette partie étend les concepts géométriques à l’espace tridimensionnel, développant la vision spatiale et les techniques de représentation des objets géométriques dans l’espace. Elle explore les relations entre droites et plans, initiant les élèves aux méthodes de la géométrie descriptive et aux applications spatiales du calcul vectoriel. 🧊
CHAPITRE 9 : CONFIGURATION DE L’ESPACE
Ce chapitre établit les axiomes et les propriétés fondamentales de la géométrie dans l’espace.
9.1 Éléments de détermination d’un plan
Les différentes manières de définir un plan de manière unique sont étudiées : par trois points non alignés, par une droite et un point extérieur, ou par deux droites sécantes ou parallèles.
9.2 Positions relatives de deux droites dans l’espace
Les quatre configurations possibles sont analysées : coplanaires (sécantes ou parallèles) et non coplanaires.
9.3 Positions relatives d’une droite et d’un plan
Les trois positions possibles sont étudiées : la droite est incluse dans le plan, elle est strictement parallèle au plan, ou elle est sécante au plan en un point.
9.4 Positions relatives de deux plans
Deux plans dans l’espace peuvent être soit parallèles, soit sécants selon une droite. La notion de plans perpendiculaires est également introduite.
CHAPITRE 10 : CALCUL VECTORIEL DANS L’ESPACE
Ce chapitre généralise les outils du calcul vectoriel à l’espace tridimensionnel.
10.1 Vecteurs dans l’espace tridimensionnel
La notion de vecteur est étendue à l’espace. Les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire conservent les mêmes propriétés.
10.2 Repères de l’espace et coordonnées
Une base de l’espace est formée par trois vecteurs non coplanaires. Les coordonnées d’un point ou d’un vecteur sont définies dans un repère de l’espace.
10.3 Opérations vectorielles dans l’espace
Les opérations vectorielles sont exprimées analytiquement en utilisant les trois coordonnées.
10.4 Applications spatiales du produit scalaire
Le produit scalaire est utilisé pour calculer des longueurs, des angles et pour caractériser l’orthogonalité entre deux vecteurs, entre une droite et un plan, ou entre deux plans.
CHAPITRE 11 : GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE ÉLÉMENTAIRE
Ce chapitre introduit les techniques de représentation plane des objets de l’espace.
11.1 Dièdres et plans de projection
La méthode de Monge est introduite, basée sur la projection orthogonale sur deux plans perpendiculaires (plan frontal et plan horizontal de projection).
11.2 Représentation du point dans l’espace
Un point de l’espace est représenté par ses deux projections (frontale et horizontale), reliées par une ligne de rappel perpendiculaire à la ligne de terre.
11.3 Positions relatives de deux points
L’analyse des positions relatives des projections permet de déduire la position relative des points dans l’espace.
11.4 Projections orthogonales et épures
L’épure est la figure plane regroupant les projections d’un objet. Les élèves s’entraînent à lire et à construire des épures de points et de segments.
CHAPITRE 12 : REPRÉSENTATION DES DROITES ET PLANS
Ce chapitre applique les principes de la géométrie descriptive à la représentation des droites et des plans.
12.1 Éléments de détermination de la droite
Une droite est représentée par ses projections, qui sont elles-mêmes des droites. Les traces de la droite (points d’intersection avec les plans de projection) sont des éléments caractéristiques.
12.2 Droites particulières et leurs représentations
La représentation de droites particulières (horizontale, frontale, de profil, parallèle à la ligne de terre) est étudiée.
12.3 Éléments de détermination du plan
Un plan est représenté par ses traces sur les plans de projection, qui sont deux droites se coupant sur la ligne de terre.
12.4 Plans projetants et problèmes de représentation
Les plans projetants (perpendiculaires à l’un des plans de projection) sont étudiés pour leur simplicité de représentation.
QUATRIÈME PARTIE : TRIGONOMÉTRIE ET APPLICATIONS
Cette partie développe les concepts trigonométriques fondamentaux et leurs applications en géométrie et en analyse. Elle explore le cercle trigonométrique, les fonctions trigonométriques et leurs propriétés, établissant les bases nécessaires aux applications trigonométriques en géométrie, physique et dans la résolution de triangles. 📈
CHAPITRE 13 : CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Ce chapitre généralise les notions de trigonométrie à des angles quelconques.
13.1 Définition du cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est défini comme le cercle de rayon 1 centré à l’origine, servant de support à la mesure des angles orientés.
13.2 Mesure des angles en radians
Le radian est consolidé comme l’unité de mesure d’angle la plus naturelle en mathématiques et en physique, notamment pour l’étude des mouvements circulaires.
13.3 Enroulement de la droite sur le cercle
L’association d’un unique point du cercle à chaque nombre réel est formalisée, permettant de définir les fonctions trigonométriques pour tout réel.
13.4 Angles orientés et sens trigonométrique
La notion d’angle orienté est approfondie, en distinguant le sens trigonométrique direct (antihoraire) du sens indirect.
CHAPITRE 14 : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Ce chapitre se concentre sur l’étude des fonctions sinus, cosinus et tangente.
14.1 Définitions de sinus et cosinus
Les fonctions sinus et cosinus sont formellement définies comme l’ordonnée et l’abscisse du point associé à un angle sur le cercle trigonométrique.
14.2 Fonction tangente et cotangente
Les fonctions tangente et cotangente sont définies à partir du sinus et du cosinus, et leurs propriétés (domaine de définition, périodicité) sont étudiées.
14.3 Relations trigonométriques fondamentales
Les identités fondamentales, comme , et les relations pour les angles associés sont systématiquement utilisées pour la simplification d’expressions.
14.4 Angles remarquables et valeurs particulières
Les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles remarquables du cercle (0, π/6, π/4, π/3, π/2 et leurs multiples) sont maîtrisées.
ANNEXES
Annexe I : Formulaire de géométrie vectorielle et trigonométrie 📝
Cette annexe regroupe toutes les formules essentielles du cours : expressions analytiques des opérations vectorielles, équations de droites, formules de distance, et identités trigonométriques. C’est un outil de référence central pour la résolution d’exercices.
Annexe II : Tables trigonométriques et valeurs remarquables 📊
Un tableau complet des valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles remarquables est fourni, ainsi qu’une table numérique pour les autres angles, facilitant les calculs en l’absence de calculatrice.
Annexe III : Techniques de construction géométrique 📐
Des fiches méthodologiques illustrent les étapes des constructions géométriques avancées et des épures de base en géométrie descriptive, servant de guide visuel pour les travaux pratiques.