RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX, 3 ÈME ANNEE, OPTION MECANIQUE GENERALE

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC.

Préliminaires

Objectifs Pédagogiques du Cours 🎯

Ce cours a pour objectif de doter le futur technicien de la capacité de dimensionner des pièces et des structures simples en s’assurant qu’elles peuvent résister en toute sécurité aux efforts qui leur sont appliqués. Il s’agit de passer d’une description géométrique (dessin) à une analyse quantitative des contraintes et des déformations internes. Au terme de cette année, l’élève maîtrisera les concepts fondamentaux de contrainte et de déformation, et saura appliquer les formules de base pour vérifier la résistance d’une pièce soumise aux sollicitations simples : traction, compression, cisaillement, torsion et flexion.

Approche Didactique et Méthodologique 📈

L’enseignement de la Résistance des Matériaux (RDM) s’appuie sur les acquis du cours de statique et se veut résolument tourné vers l’application. Chaque nouvelle sollicitation est introduite par des exemples concrets, suivie de l’établissement de la formule de contrainte, puis de la condition de résistance. Conformément aux directives, les développements mathématiques complexes sont écartés au profit de la compréhension physique des phénomènes. L’accent est mis sur la résolution de nombreux exercices pratiques qui illustrent l’application des formules, préparant ainsi l’élève au calcul complet d’éléments de machines de l’année suivante.

Contexte Industriel et Sécurité 🏗️

La RDM est présentée non comme une science abstraite, mais comme l’outil fondamental de la sécurité en conception mécanique. La notion de coefficient de sécurité est au cœur de la démarche, garantissant la fiabilité des constructions, qu’il s’agisse de la charpente métallique d’un hangar à Lubumbashi, du châssis d’un camion parcourant les routes du pays, ou de l’arbre d’un broyeur dans l’industrie minière du Lualaba. Les calculs visent à s’assurer que les pièces fonctionnent dans leur domaine élastique, sans risque de rupture ou de déformation permanente.

Partie I : Concepts Fondamentaux et Sollicitation Axiale

Cette partie introductive établit les bases de la Résistance des Matériaux. Elle part de l’étude expérimentale du comportement des matériaux sous charge pour définir les concepts clés de contrainte et de déformation, puis applique ces concepts aux sollicitations les plus simples, la traction et la compression.

Chapitre 1 : Introduction à la Résistance des Matériaux

Ce chapitre pose le cadre de la discipline en définissant son objet d’étude et les hypothèses simplificatrices qui permettent de modéliser le comportement des structures réelles.

1.1. Objet et Hypothèses de la Résistance des Matériaux

La RDM est définie comme la science qui étudie l’équilibre des corps solides déformables. Les hypothèses fondamentales (matériau homogène, isotrope, continuité de la matière, comportement élastique linéaire) sont présentées comme des approximations nécessaires pour rendre les calculs possibles.

1.2. Notion de Solide Déformable et d’Équilibre

La différence entre le solide indéformable de la mécanique générale et le solide réel déformable est établie. Le principe de la coupe (ou méthode des sections) est introduit comme l’outil intellectuel permettant d’étudier les efforts internes qui assurent l’équilibre de chaque partie d’une structure.

1.3. Les Sollicitations Simples : Définitions et Exemples

Les cinq sollicitations simples (traction, compression, cisaillement, torsion, flexion) sont définies et illustrées par des exemples clairs et concrets : un câble de levage (traction), un poteau de soutien (compression), un rivet (cisaillement), un arbre de transmission (torsion) et une poutre de plancher (flexion).

1.4. Le Concept de Contrainte Interne

La contrainte est définie comme la mesure de l’intensité des efforts internes par unité de surface (en N/mm² ou Mégapascal, MPa). La distinction fondamentale entre la contrainte normale (perpendiculaire à la section) et la contrainte tangentielle (dans le plan de la section) est établie.

Chapitre 2 : L’Essai de Traction et les Propriétés Mécaniques

Ce chapitre explore le comportement réel des matériaux à travers l’essai mécanique le plus fondamental, l’essai de traction, qui permet de quantifier leurs propriétés de résistance et de déformation.

2.1. Principe et Réalisation de l’Essai de Traction

Le principe de l’essai, qui consiste à étirer une éprouvette normalisée jusqu’à la rupture en mesurant simultanément l’effort appliqué et l’allongement, est décrit. La machine de traction et la forme de l’éprouvette sont présentées.

2.2. Analyse du Diagramme Contrainte-Déformation

Le diagramme obtenu lors de l’essai est analysé en détail, en identifiant ses différentes zones : le domaine élastique, où la déformation est réversible, et le domaine plastique, où la déformation devient permanente, jusqu’à la rupture finale.

2.3. Caractéristiques d’Élasticité et de Résistance

Les grandeurs clés issues du diagramme sont définies : la limite d’élasticité (Re), qui marque la frontière entre le comportement élastique et plastique, la résistance à la traction (Rm), et le module d’élasticité (ou module de Young, E), qui caractérise la rigidité du matériau.

2.4. Le Coefficient de Sécurité : Principe et Application

Le concept de coefficient de sécurité est introduit comme le rapport entre la résistance du matériau (généralement Re) et la contrainte de service. Son rôle est de prendre en compte les incertitudes du calcul et les imperfections de fabrication pour garantir la sécurité de la structure.

Chapitre 3 : La Sollicitation de Traction Simple

Ce chapitre applique les concepts fondamentaux au calcul des pièces soumises à un effort d’étirement pur.

3.1. Distribution de la Contrainte Normale

Il est montré que dans une pièce tendue, loin des points d’application de la charge, la contrainte normale est uniforme sur toute la section droite et est égale à l’effort divisé par l’aire de la section ().

3.2. Condition de Résistance en Traction

La condition de résistance est établie : la contrainte maximale dans la pièce doit rester inférieure à une contrainte admissible, elle-même égale à la limite d’élasticité divisée par le coefficient de sécurité ().

3.3. Déformation Élastique : Allongement et Loi de Hooke

La loi de Hooke () est utilisée pour calculer l’allongement total d’une pièce tendue (), une notion importante pour vérifier la rigidité d’un assemblage.

3.4. Applications : Calcul de Câbles, Tirants et Courroies

Des exercices pratiques sont menés sur le dimensionnement de câbles de levage pour les chantiers de construction de Kinshasa, de tirants de charpente métallique ou la vérification de la section d’une courroie de transmission.

Chapitre 4 : La Sollicitation de Compression Simple

Ce chapitre traite des pièces soumises à un effort d’écrasement, en se limitant aux cas où il n’y a pas de risque de flambage.

4.1. Contrainte Normale et Condition de Résistance

Par analogie avec la traction, la contrainte normale de compression est définie () et la condition de résistance est appliquée, en utilisant la limite d’élasticité en compression.

4.2. Déformation Élastique : Raccourcissement

Le calcul du raccourcissement élastique d’une pièce comprimée est présenté. La similitude des formules avec celles de la traction est soulignée.

4.3. Pression de Matage et Contrainte Admissible

La notion de pression de matage (ou de contact) est introduite pour vérifier la résistance des surfaces d’appui entre deux pièces, afin d’éviter l’écrasement local de la matière.

4.4. Applications : Poteaux Courts, Bâtis de Machine

Des applications sont traitées, comme le calcul de la section d’un poteau court en béton ou la vérification des colonnes d’un bâti de presse hydraulique.

Partie II : Caractéristiques Géométriques et Sollicitations de Cisaillement

Cette partie aborde les sollicitations qui font travailler la matière en glissement (cisaillement et torsion) et introduit les outils mathématiques nécessaires à leur étude : les caractéristiques géométriques des sections.

Chapitre 5 : Le Cisaillement Simple

Ce chapitre est consacré à l’étude des pièces soumises à deux forces opposées et très rapprochées qui tendent à faire glisser une section par rapport à l’autre.

5.1. Définition et Exemples de Cisaillement

Le phénomène de cisaillement pur est illustré par de nombreux exemples technologiques : la coupe d’une tôle par une cisaille, l’action sur un rivet, un boulon, une goupille ou une clavette.

5.2. Contrainte Tangentielle et Condition de Résistance

La contrainte tangentielle (ou de cisaillement) est définie comme l’effort tranchant divisé par l’aire de la section cisaillée (). La condition de résistance est établie en comparant cette contrainte à la résistance au cisaillement du matériau.

5.3. Déformation Élastique de Cisaillement

La déformation de cisaillement, qui se traduit par une distorsion angulaire, est décrite. Le module d’élasticité transversal (G) est introduit comme la constante qui lie la contrainte et la déformation de cisaillement.

5.4. Applications : Calcul de Rivets, Boulons et Clavettes

Des exercices de dimensionnement sont réalisés sur des assemblages courants : calcul du diamètre d’un rivet dans un assemblage de tôles, vérification d’un axe d’articulation ou dimensionnement d’une clavette pour la transmission d’un couple.

Chapitre 6 : Caractéristiques Géométriques des Sections Planes

Ce chapitre est un intermède mathématique indispensable qui a pour but d’apprendre à calculer les grandeurs géométriques des sections droites des poutres, qui interviennent dans les formules de torsion et de flexion.

6.1. Centre de Gravité des Surfaces

La méthode de détermination du centre de gravité des surfaces planes simples et composées est revue et appliquée. La position du centre de gravité est fondamentale car c’est autour de lui que s’articulent les calculs d’inertie.

6.2. Moment Statique d’une Surface Plane

Le moment statique est défini comme le produit de l’aire d’une surface par la distance de son centre de gravité à un axe. Son utilité pour la détermination du centre de gravité des sections composées est démontrée.

6.3. Moment d’Inertie Axial et Théorème de Huygens

Le moment d’inertie (ou moment quadratique) d’une section par rapport à un axe est défini comme sa capacité à résister à la flexion. Les formules pour les sections usuelles (rectangle, cercle) sont données, et le théorème de Huygens (transport) est introduit pour le calcul des sections composées.

6.4. Moment d’Inertie Polaire

Le moment d’inertie polaire, qui caractérise la résistance d’une section à la torsion, est défini. Il est montré que pour une section donnée, il est égal à la somme des moments d’inertie par rapport à deux axes orthogonaux passant par le pôle.

Chapitre 7 : La Sollicitation de Torsion

Ce chapitre étudie le comportement des pièces, typiquement des arbres de section circulaire, soumises à un couple qui tend à les tordre autour de leur axe longitudinal.

7.1. Définition et Exemples de Torsion (Arbres de transmission)

La torsion est définie et illustrée par son application la plus courante : les arbres de transmission de puissance, depuis l’arbre d’un petit moteur électrique jusqu’à l’arbre d’hélice d’une barge sur le fleuve Congo.

7.2. Contrainte Tangentielle de Torsion

Il est montré que la torsion engendre des contraintes tangentielles dont la distribution est linéaire, nulle au centre et maximale à la périphérie de l’arbre. La formule donnant la contrainte maximale () est établie.

7.3. Condition de Résistance en Torsion

La condition de résistance est écrite en s’assurant que la contrainte tangentielle maximale reste inférieure à la contrainte de cisaillement admissible du matériau. Cette condition permet de dimensionner le diamètre d’un arbre pour un couple donné.

7.4. Angle de Torsion et Condition de Rigidité

En plus de la résistance, la déformation de torsion est étudiée. La formule donnant l’angle de torsion total est établie. Une condition de rigidité (limitation de l’angle de torsion par unité de longueur) est souvent imposée pour les arbres de machines de précision.

Partie III : La Flexion Plane Simple des Poutres

Cette partie, centrale en RDM, est consacrée à l’étude des poutres, éléments structuraux conçus pour supporter des charges perpendiculaires à leur axe. C’est l’étude de base pour le dimensionnement de tous les éléments de planchers, ponts et châssis.

Chapitre 8 : Principes de la Flexion et Sollicitations Internes

Ce chapitre introduit le phénomène de la flexion et définit les efforts internes qui naissent dans une poutre pour équilibrer les charges externes.

8.1. Définition et Exemples de Flexion Plane Simple

La flexion plane simple est définie comme le cas où les charges sont contenues dans un plan de symétrie de la poutre. Des exemples variés sont pris : une étagère chargée de livres, une passerelle, l’aile d’un avion.

8.2. Hypothèses Fondamentales de la Théorie des Poutres

Les hypothèses simplificatrices (hypothèse de Navier-Bernoulli : les sections planes restent planes après déformation) qui permettent de développer la théorie de la flexion sont énoncées.

8.3. L’Effort Tranchant (T) : Définition et Convention de Signe

L’effort tranchant en une section est défini comme la résultante des efforts internes tangentiels. Il représente la tendance des deux tronçons de la poutre à glisser verticalement l’un par rapport à l’autre. Une convention de signe est établie.

8.4. Le Moment Fléchissant (M) : Définition et Convention de Signe

Le moment fléchissant en une section est défini comme le moment résultant des efforts internes normaux. Il représente la tendance de la poutre à se « casser » par rotation autour de la section considérée.

Chapitre 9 : Diagrammes des Efforts Tranchants et des Moments Fléchissants

Ce chapitre développe les méthodes graphiques et analytiques pour représenter la variation des efforts internes tout le long de la poutre, afin d’identifier les zones les plus sollicitées.

9.1. Relations entre Charge, Effort Tranchant et Moment Fléchissant

Les relations différentielles fondamentales ( et ) sont établies. Elles montrent que la pente du diagramme de moment est égale à l’effort tranchant, un outil puissant pour le tracé et la vérification des diagrammes.

9.2. Méthode des Coupures pour le Calcul de T(x) et M(x)

La méthode analytique consistant à réaliser des coupures virtuelles dans la poutre et à écrire l’équilibre de chaque tronçon est détaillée pour déterminer les équations de l’effort tranchant et du moment fléchissant.

9.3. Tracé des Diagrammes pour les Poutres sur Appuis Simples

La méthode est appliquée aux cas de charge classiques pour une poutre sur deux appuis (charge concentrée, charge répartie), comme une traverse de pont supportant un véhicule à Bandundu.

9.4. Tracé des Diagrammes pour les Poutres Encastrées (en Console)

Le tracé des diagrammes est également réalisé pour le cas de la poutre en console (encastrée à une extrémité et libre à l’autre), qui modélise par exemple un balcon ou une potence de levage.

Chapitre 10 : Contraintes et Déformations en Flexion

Ce chapitre fait le lien entre les efforts internes et les contraintes qui en résultent dans la matière, pour aboutir à la condition de résistance en flexion.

10.1. Distribution de la Contrainte Normale dans une Section

Il est démontré que la contrainte normale de flexion est nulle sur la fibre neutre (qui passe par le centre de gravité) et varie linéairement avec la distance à cette fibre, étant maximale sur les fibres les plus éloignées.

10.2. Condition de Résistance en Flexion

La formule de la flexion () est établie. La condition de résistance s’écrit en s’assurant que cette contrainte maximale reste inférieure à la contrainte admissible.

10.3. Le Module de Flexion des Profilés Courants

Le module de flexion (), qui caractérise la résistance d’une section à la flexion, est introduit. L’intérêt des profilés (comme les IPE ou HEA) est expliqué par leur grand module de flexion pour une quantité de matière donnée. L’utilisation des tables de profilés est exercée.

10.4. La Déformée et la Notion de Flèche

La déformation globale de la poutre, appelée déformée, est décrite qualitativement. La flèche, qui est la déformation transversale maximale, est présentée comme un critère de rigidité souvent aussi important que le critère de résistance.

Partie IV : Stabilité des Structures et Sollicitations Composées

Cette dernière partie, enrichie par rapport au programme strict, introduit des phénomènes plus complexes mais essentiels pour le technicien : l’instabilité par flambage des éléments comprimés et la superposition des sollicitations simples.

Chapitre 11 : Le Flambage des Poutres Élancées

Ce chapitre aborde le cas des pièces longues et minces soumises à la compression, qui peuvent se rompre non pas par écrasement, mais par une brusque flexion latérale.

11.1. Le Phénomène d’Instabilité Élastique : Définition du Flambage

Le flambage est présenté comme un phénomène d’instabilité. Contrairement à la rupture par dépassement de la limite d’élasticité, il peut se produire pour des contraintes très faibles si la pièce est suffisamment « élancée ».

11.2. La Charge Critique d’Euler

La formule d’Euler, qui donne la charge critique de flambage pour une colonne parfaite, est présentée sans démonstration. Son dépendance vis-à-vis du module de Young, du moment d’inertie et de la longueur de la pièce est analysée.

11.3. Notion d’Élancement et Conditions d’Application d’Euler

L’élancement d’une colonne est défini comme le rapport entre sa longueur et son rayon de giration. Il est montré que la formule d’Euler n’est valide que pour les grands élancements, c’est-à-dire pour les pièces longues et fines.

11.4. Formules Pratiques (Rankine) et Dimensionnement

Pour les élancements moyens, des formules empiriques comme celle de Rankine, qui font la transition entre la compression simple et le flambage d’Euler, sont présentées comme des outils de dimensionnement pratiques.

Chapitre 12 : Introduction aux Sollicitations Composées

Ce chapitre introduit les cas, très fréquents en pratique, où une pièce est soumise simultanément à plusieurs sollicitations simples.

12.1. Principe de Superposition des Contraintes

Le principe de superposition est énoncé : pour un matériau travaillant dans le domaine élastique, les contraintes dues à plusieurs sollicitations s’ajoutent algébriquement en chaque point de la structure.

12.2. La Flexion Composée (Flexion et Traction/Compression)

Le cas d’une poutre soumise à la fois à un effort normal et à un moment fléchissant est étudié. La méthode consiste à calculer séparément les contraintes de chaque sollicitation et à les additionner pour trouver la contrainte maximale.

12.3. La Torsion et la Flexion Combinées

Ce cas est l’un des plus importants en construction mécanique, car il correspond à la sollicitation de la plupart des arbres de transmission. La contrainte résultante est une combinaison de contraintes normale et tangentielle.

12.4. Notion de Contrainte Équivalente (von Mises)

Pour comparer l’état de contrainte complexe à la limite d’élasticité (obtenue en traction simple), le concept de contrainte équivalente (critère de von Mises) est introduit. Des formules de moment idéal sont données pour simplifier la vérification de la résistance.

Annexes

Les annexes regroupent des données et des tables numériques indispensables pour la résolution des problèmes de Résistance des Matériaux.

Tableau des Propriétés Mécaniques des Matériaux Courants 📋

Cette annexe fournit les valeurs de la limite d’élasticité, de la résistance à la rupture et du module de Young pour les matériaux les plus utilisés en construction mécanique (aciers, fontes, alliages d’aluminium).

Formulaire des Caractéristiques Géométriques des Sections 📐

Un tableau récapitule les formules pour calculer l’aire, la position du centre de gravité, et les moments d’inertie des sections géométriques les plus courantes (rectangle, cercle, triangle, sections en I et en U).

Extraits des Catalogues de Profilés Métalliques 🏗️

Cette section présente des extraits de catalogues de fabricants de profilés laminés à chaud (IPE, HEA, UPN), donnant pour chaque profilé toutes ses caractéristiques géométriques utiles au calcul (aire, moments d’inertie, modules de flexion).