RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX APPLIQUÉE ET CALCUL DES STRUCTURES, 4 ÈME ANNEE, OPTION MECANIQUE GENERALE

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC.

Préliminaires

Objectifs Pédagogiques du Cours 🎯

Ce cours constitue le sommet de la formation en calcul de structures et d’éléments de machines. Son objectif est de rendre l’élève capable d’appliquer les principes de la Résistance des Matériaux à des problèmes de dimensionnement concrets et complexes, incluant les phénomènes d’instabilité et les sollicitations combinées. Au terme de cette année, l’apprenant devra savoir modéliser un composant mécanique, analyser l’ensemble des efforts qui le sollicitent, et mener à bien les calculs de vérification ou de dimensionnement pour garantir sa résistance et sa fiabilité en service.

Approche Didactique et Méthodologique 📈

L’enseignement abandonne l’étude séquentielle des sollicitations simples pour adopter une approche par problèmes et par études de cas. Chaque chapitre est centré sur le calcul d’un type d’organe mécanique (arbres, engrenages, assemblages, etc.). Pour chaque cas, la démarche est systématisée : analyse fonctionnelle, bilan des actions mécaniques, identification des sollicitations (souvent combinées), et application des critères de résistance appropriés. Cette méthode, résolument orientée vers le métier de technicien de bureau d’études, vise à développer la rigueur, l’esprit d’analyse et la capacité à justifier un dimensionnement.

Contexte Industriel et Enjeux de Sécurité ⛓️

Ce cours prépare directement aux responsabilités techniques en matière de sécurité et de fiabilité. Les exemples et les calculs portent sur des composants critiques dont la défaillance peut avoir des conséquences graves. Le dimensionnement d’un crochet de levage pour le port de Matadi, le calcul d’un arbre de transmission pour l’industrie brassicole à Bukavu, ou la vérification des boulons d’une bride de pipeline illustrent l’importance et l’impact direct de ces calculs. L’élève est formé à une application rigoureuse des normes et des coefficients de sécurité pour concevoir des systèmes mécaniques durables et sûrs.

Partie I : Sollicitations Complexes et Phénomènes d’Instabilité

Cette première partie complète l’arsenal théorique de l’élève en abordant les modes de sollicitation qui vont au-delà des cas simples. Elle traite de l’instabilité des pièces comprimées et de la superposition de plusieurs sollicitations, situations les plus fréquemment rencontrées dans les mécanismes réels.

Chapitre 1 : Le Flambage des Éléments Comprimés

Ce chapitre est consacré à l’étude du flambage, un phénomène d’instabilité qui constitue le mode de ruine principal des pièces élancées soumises à la compression.

1.1. Mise en Évidence du Phénomène d’Instabilité

Le flambage est présenté comme une perte de stabilité de la forme rectiligne d’une poutre, qui se dérobe latéralement sous une charge de compression bien avant que la matière n’atteigne sa limite d’élasticité. La distinction avec la rupture par simple compression est fondamentale.

1.2. La Charge Critique d’Euler et la Notion d’Élancement

La formule d’Euler est introduite comme le modèle théorique permettant de calculer la charge critique de flambage pour une colonne parfaite. Le concept d’élancement (rapport entre la longueur et la « rigidité » de la section) est défini comme le paramètre clé gouvernant ce phénomène.

1.3. La Formule de Rankine pour les Poteaux Réels

La formule de Rankine est présentée comme une formule pratique et plus sûre, qui fait la transition entre la rupture par compression pour les pièces courtes et le flambage d’Euler pour les pièces longues, offrant un modèle applicable à tous les cas de figure.

1.4. Application au Dimensionnement des Bielles et des Colonnes

La méthodologie de vérification au flambage est appliquée à des cas concrets, comme le dimensionnement de la bielle d’un compresseur ou la vérification d’une colonne de charpente métallique.

Chapitre 2 : Le Principe de Superposition et la Flexion Déviée

Ce chapitre, enrichi, formalise le principe de superposition et l’applique à l’étude de la flexion lorsque les charges ne sont pas contenues dans un plan de symétrie de la poutre.

2.1. Domaine de Validité du Principe de Superposition

Le principe de superposition, qui permet d’additionner les effets (contraintes, déformations) de plusieurs charges, est énoncé. Son domaine de validité (comportement élastique linéaire du matériau, petites déformations) est précisé.

2.2. La Flexion Déviée : Principe et Cause

La flexion déviée est définie comme la flexion d’une poutre dont le plan de charge ne contient pas un des axes principaux d’inertie de la section. Il est montré que, dans ce cas, la poutre se fléchit dans une direction différente de celle de la charge.

2.3. Détermination de l’Axe Neutre et des Contraintes Maximales

La méthode pour déterminer la position de l’axe neutre (qui n’est plus perpendiculaire au plan de charge) et pour calculer les contraintes normales maximales aux points les plus éloignés de cet axe est développée.

2.4. Application : Poutre Sollicitée hors de ses Plans de Symétrie

Le cas d’une panne de toiture (profilé en C ou L) soumise à une charge verticale est traité comme un exemple classique de flexion déviée, illustrant l’importance de bien orienter les profilés.

Chapitre 3 : La Flexion Composée – Flexion et Effort Normal

Ce chapitre étudie le cas très fréquent des poutres qui sont simultanément fléchies et tendues (ou comprimées).

3.1. Principe de Calcul : Addition des Contraintes Normales

La méthode de calcul est basée sur le principe de superposition : on additionne en tout point de la section la contrainte normale due à l’effort normal (uniforme) et la contrainte normale due au moment fléchissant (linéaire).

3.2. Distribution des Contraintes et Position de l’Axe Neutre

La distribution de contrainte résultante, qui est toujours linéaire mais n’est plus symétrique par rapport au centre de gravité, est analysée. La nouvelle position de l’axe neutre (où la contrainte est nulle) est déterminée.

3.3. Condition de Non-Traction (Cas des Matériaux non Résistants à la Traction)

Pour les structures en matériaux comme la maçonnerie ou le béton non armé, la condition que la section reste entièrement comprimée est étudiée, menant à la notion de « noyau central » de la section.

3.4. Application : Calcul d’un Poteau de Potence ou d’un Crochet

Le calcul des contraintes maximales dans un poteau de potence de levage ou dans la section droite d’un crochet est traité comme une application directe et fondamentale de la flexion composée.

Chapitre 4 : La Torsion et la Flexion Combinées

Ce chapitre aborde la sollicitation composée la plus importante pour le mécanicien : le cas des arbres de transmission, qui sont soumis à la fois à un couple de torsion et à des efforts de flexion.

4.1. Identification des Contraintes Normales et Tangentielles

Il est montré qu’en un point d’un arbre, coexistent une contrainte normale due à la flexion et une contrainte tangentielle due à la torsion. Ces deux contraintes agissent dans des plans différents et ne peuvent pas être additionnées directement.

4.2. Le Concept de Contrainte Équivalente (von Mises)

Pour pouvoir comparer cet état de contrainte complexe à la limite d’élasticité du matériau (obtenue en traction simple), le critère de résistance de von Mises est introduit. Il permet de calculer une contrainte fictive unique, dite « équivalente ».

4.3. Le Moment de Flexion Idéal ou Équivalent

Pour simplifier les calculs, la notion de moment de flexion idéal est présentée. C’est un moment fictif qui, appliqué seul en flexion, produirait la même contrainte équivalente que la flexion et la torsion combinées, ramenant le problème à un simple calcul de flexion.

4.4. Application au Dimensionnement des Arbres de Transmission

La méthodologie complète de dimensionnement d’un arbre est synthétisée : détermination des efforts, tracé des diagrammes de moments, calcul du moment idéal maximal, et dimensionnement final de l’arbre à partir de la condition de résistance en flexion.

Partie II : Application au Calcul des Organes d’Assemblage

Cette partie applique les principes de la RDM au dimensionnement des liaisons, en s’assurant que les éléments qui tiennent la structure ensemble sont aussi résistants que les pièces qu’ils assemblent.

Chapitre 5 : Le Calcul des Assemblages Vissés

Ce chapitre est dédié à la vérification de la résistance des vis et des boulons, qui sont les éléments d’assemblage les plus courants.

5.1. Calcul d’une Vis en Traction Simple (Tirant)

Le dimensionnement d’une vis soumise à un effort de traction pur est abordé, en insistant sur l’utilisation de la section résistante à fond de filet pour le calcul de la contrainte.

5.2. Calcul d’une Vis en Cisaillement

La vérification d’un boulon travaillant au cisaillement (simple ou double) est détaillée, ainsi que la vérification à la pression diamétrale pour éviter le matage des trous.

5.3. Calcul d’un Groupe de Boulons (Fond de Cylindre)

Le cas d’une bride soumise à une pression interne est étudié. La méthode pour déterminer l’effort de traction dans chaque boulon et pour dimensionner l’assemblage complet est présentée.

5.4. Le Calcul d’une Vis de Manœuvre (Cric à Vis)

La vis d’un cric est analysée comme un élément soumis à une sollicitation composée de compression et de torsion. La méthode de vérification utilisant une contrainte équivalente est appliquée.

Chapitre 6 : Le Calcul des Assemblages par Obstacle et Adhérence

Ce chapitre traite du dimensionnement des liaisons transmettant un couple, comme les clavettes ou les montages serrés.

6.1. Vérification d’une Clavette au Cisaillement et au Matage

La double vérification de la résistance d’une clavette est systématisée : calcul de la contrainte de cisaillement dans la section de la clavette et calcul de la pression de matage sur ses flancs.

6.2. Vérification d’une Goupille au Cisaillement

Le calcul d’une goupille, qu’elle soit utilisée en positionnement ou comme fusible mécanique, est réalisé en vérifiant la contrainte de cisaillement dans sa ou ses sections cisaillées.

6.3. Calcul d’un Assemblage Cannelé

La répartition du couple sur les différentes cannelures est analysée, et la méthode de calcul est présentée, basée sur la vérification de la pression de matage sur les flancs des cannelures.

6.4. Calcul d’un Assemblage Fretté (Interférence)

La méthode de calcul d’un assemblage par emmanchement serré est introduite, en utilisant les formules de Lamé pour déterminer la pression de contact générée par le serrage et en déduire le couple maximal transmissible par adhérence.

Chapitre 7 : Le Calcul des Assemblages Soudés

Ce chapitre, enrichi, applique les principes de la RDM à la vérification des soudures, qui sont des éléments de liaison permanents.

7.1. Contraintes dans un Cordon d’Angle Soumis au Cisaillement

La méthode de calcul de la contrainte dans un cordon d’angle est présentée en considérant que l’effort est repris par cisaillement dans la section de gorge du cordon.

7.2. Contraintes dans un Cordon d’Angle Soumis à la Flexion

Le cas d’un cordon de soudure soumis à un moment fléchissant est analysé, en le modélisant comme une section résistante et en calculant les contraintes normales qui en résultent.

7.3. Contraintes dans un Cordon d’Angle Soumis à la Torsion

Le cas d’un groupe de cordons soumis à un couple de torsion est étudié, en déterminant le centre de gravité du groupe de soudures et en calculant les contraintes de cisaillement qui en découlent.

7.4. Vérification d’un Groupe de Cordons de Soudure

La méthode pour vérifier un groupe de cordons soumis à des sollicitations combinées est présentée, en composant vectoriellement les différentes contraintes de cisaillement en chaque point.

Partie III : Application au Calcul des Organes de Transmission

Cette partie se concentre sur le dimensionnement des composants qui transmettent la puissance dans les machines : arbres, courroies, chaînes et engrenages.

Chapitre 8 : Le Calcul des Arbres de Transmission

Ce chapitre synthétise la démarche complète de dimensionnement d’un arbre, un des exercices les plus complets de la construction mécanique.

8.1. Détermination des Actions Mécaniques sur un Arbre

La première étape, fondamentale, consiste à faire le bilan de toutes les forces (poids des roues, efforts sur les dents, tensions des courroies) qui s’exercent sur l’arbre.

8.2. Tracé des Diagrammes de Sollicitations (Flexion, Torsion)

À partir des actions mécaniques, les diagrammes de l’effort tranchant, du moment fléchissant et du moment de torsion sont tracés sur toute la longueur de l’arbre pour identifier les sections critiques.

8.3. Dimensionnement à la Résistance (Critère de von Mises)

La section la plus sollicitée est identifiée, et le diamètre de l’arbre est déterminé en appliquant la condition de résistance aux sollicitations combinées de flexion et de torsion.

8.4. Vérification à la Déformation (Flèche et Angle de Torsion)

Une fois l’arbre dimensionné à la résistance, sa déformation est calculée (flèche sous les charges, angle de torsion total) et comparée aux limites admissibles pour garantir la rigidité de la transmission.

Chapitre 9 : Le Calcul des Transmissions par Liens Flexibles

Ce chapitre applique les principes de la RDM et de la dynamique au calcul des courroies, des chaînes et des câbles.

9.1. Calcul des Tensions dans une Courroie Plate (Formule d’Euler)

La relation d’Euler, qui lie les tensions dans le brin tendu et le brin mou d’une courroie à l’angle d’enroulement et au coefficient de frottement, est appliquée pour déterminer les efforts dans la courroie.

9.2. Dimensionnement de la Section d’une Courroie

La section de la courroie est déterminée en vérifiant que la contrainte de traction maximale (dans le brin tendu) reste inférieure à la contrainte admissible du matériau de la courroie.

9.3. Calcul d’une Transmission par Chaîne

Le calcul d’une chaîne est abordé en vérifiant la pression sur les axes et les rouleaux, qui est le principal facteur limitant, et en se référant aux catalogues de fabricants pour le choix final.

9.4. Calcul d’un Câble de Levage

Le calcul d’un câble est détaillé, en tenant compte de la contrainte de traction due à la charge et des contraintes de flexion dues à l’enroulement, et en appliquant un coefficient de sécurité élevé (typiquement de 5 ou plus).

Chapitre 10 : Le Calcul des Engrenages

Ce chapitre introduit les méthodes de base pour la vérification de la résistance des dentures d’engrenages, une étape essentielle dans la conception de réducteurs.

10.1. Détermination des Efforts sur les Dents (Tangentiel, Radial)

La décomposition de l’effort inter-dentaire en une composante tangentielle (qui transmet le couple) et une composante radiale est établie. Ces efforts sont nécessaires pour le calcul de la dent et des arbres.

10.2. Calcul de la Résistance de la Dent à la Flexion (Formule de Lewis)

La formule de Lewis, qui modélise la dent comme une poutre en console, est appliquée pour vérifier que la contrainte de flexion à la base de la dent reste inférieure à la limite admissible.

10.3. Vérification de la Pression de Contact (Pression de Hertz)

La pression de contact (ou pression de Hertz) sur les flancs des dents est identifiée comme un autre mode de défaillance (le pitting). Des formules simplifiées sont utilisées pour vérifier cette pression.

10.4. Calcul des Efforts sur les Paliers de l’Arbre

Les efforts tangentiels et radiaux déterminés sur la denture sont utilisés pour calculer les actions résultantes sur les paliers (roulements) qui supportent l’arbre porte-engrenage, en vue de leur sélection.

Partie IV : Application au Calcul des Organes de Machines Spécifiques

Cette dernière partie est une série d’études de cas qui appliquent les connaissances acquises au dimensionnement de composants variés, illustrant la polyvalence des outils de la RDM.

Chapitre 11 : Le Calcul des Organes de Guidage

Ce chapitre se concentre sur le dimensionnement des éléments qui supportent et guident les pièces en mouvement.

11.1. Calcul des Tourillons et Paliers Lisses

La vérification d’un tourillon d’arbre est menée en calculant la pression de contact dans le palier lisse et en la comparant à la pression admissible du matériau de frottement, un calcul crucial pour la fiabilité des machines lourdes de l’industrie forestière de la Tshopo.

11.2. Choix d’un Roulement à Partir de sa Durée de Vie

La méthode de base pour la sélection d’un roulement est présentée. Elle consiste à calculer la charge dynamique équivalente et à utiliser la formule du fabricant pour estimer la durée de vie en millions de tours.

11.3. Vérification des Bagues et des Portées

Le calcul des ajustements serrés pour le montage des bagues de roulements est abordé, en vérifiant les contraintes générées dans la bague et sur l’arbre pour éviter le risque de rupture.

11.4. Calcul de la Rigidité des Glissières

La déformation d’une glissière de machine-outil sous l’effet des efforts de coupe et du poids des mobiles est analysée pour garantir la précision géométrique de l’usinage.

Chapitre 12 : Le Calcul des Organes de Levage

Ce chapitre applique les méthodes de la RDM à des composants où la sécurité est l’unique et absolue priorité.

12.1. Calcul d’un Crochet de Levage

Le calcul complet d’un crochet de levage est réalisé en tant qu’application de la flexion composée sur une poutre courbe, en identifiant la section critique et en y déterminant la contrainte maximale.

12.2. Calcul du Tambour d’un Treuil

Le tambour d’enroulement est analysé en considérant les contraintes de flexion dues à la portée entre ses supports et les contraintes de compression dues à l’enroulement du câble sous tension.

12.3. Calcul d’une Dent de Roue à Rochet

La dent d’un cliquet de sécurité est modélisée et calculée comme une petite poutre en console soumise à un effort de flexion et de cisaillement, pour garantir qu’elle ne rompra pas sous la charge.

12.4. Calcul du Châssis d’un Appareil de Levage

La modélisation du châssis d’un cric ou d’un palan comme un système de poutres est proposée, permettant de vérifier la résistance de ses éléments principaux.

Chapitre 13 : Le Calcul des Organes de Moteurs et Mécanismes

Ce chapitre final applique les connaissances à des pièces de machines motrices, soumises à des efforts dynamiques et complexes.

13.1. Calcul du Corps d’une Bielle au Flambage

La bielle, soumise à un effort de compression intense lors de la combustion, est vérifiée au flambage en utilisant les formules appropriées, en tenant compte des conditions de liaison à ses extrémités.

13.2. Calcul de l’Axe de Piston au Cisaillement et à la Flexion

L’axe de piston, qui transmet l’effort du piston à la bielle, est modélisé comme une petite poutre sur deux appuis soumise à un effort central, et est vérifié en flexion et en cisaillement.

13.3. Calcul du Maneton du Vilebrequin

Le maneton (partie du vilebrequin sur laquelle tourne la bielle) est analysé comme un arbre court soumis à de la flexion et du cisaillement, en plus des contraintes de contact.

13.4. Calcul d’un Ressort de Soupape

Le calcul d’un ressort hélicoïdal de soupape est réalisé, en déterminant la contrainte de torsion dans le fil pour la flèche maximale et en vérifiant la résistance à la fatigue, essentielle pour ce composant.

Annexes

Les annexes regroupent des outils de travail essentiels pour le technicien calculateur, synthétisant les données et les formules nécessaires.

Formulaire de Résistance des Matériaux Appliquée 📝

Un formulaire complet rappelle les expressions des contraintes et les conditions de résistance pour toutes les sollicitations simples et composées, ainsi que pour les cas spécifiques (câbles, ressorts, etc.).

Tableau des Propriétés des Matériaux et Coefficients de Sécurité 📊

Un tableau fournit les caractéristiques mécaniques (limite d’élasticité, résistance à la rupture) des matériaux de construction les plus courants, ainsi que des recommandations pour le choix du coefficient de sécurité en fonction de l’application.

Aide-Mémoire pour le Calcul des Engrenages ⚙️

Cette annexe fournit les relations géométriques et la formule de Lewis pour le prédimensionnement rapide des engrenages cylindriques à denture droite.