GRAPHOSTATIQUE

OPTION CONSTRUCTION – 2ÈME ANNÉE

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC.

Préliminaire

Objectifs du cours

Ce cours a pour objectif de former l’élève à la résolution de problèmes de statique par des méthodes exclusivement graphiques. La graphostatique se présente comme un outil puissant de visualisation et de vérification, où la rigueur du dessin se substitue à la complexité du calcul analytique. L’ambition est de développer chez le futur technicien un jugement sûr et un sens quasi intuitif des ordres de grandeur des efforts dans les structures, en le rendant capable de déterminer les réactions d’appui et les sollicitations internes par la construction d’épures précises. 📐

Approche Pédagogique

Privilégiant la méthode active, l’enseignement s’articulera autour de la construction pas à pas d’épures graphiques de complexité croissante. Une insistance particulière sera portée sur la précision du tracé, car d’elle dépend directement l’exactitude de la solution. Pour forger le sens critique de l’élève, une confrontation systématique des résultats graphiques avec ceux obtenus par le calcul analytique (vu au cours de Résistance des Matériaux) sera encouragée. Le professeur guidera l’élève dans le choix judicieux des échelles, un paramètre clé pour la lisibilité et la précision des constructions.

Compétences Visées

Au terme de cette année, l’élève détiendra les compétences suivantes :

• Modéliser : Représenter un système de forces par des vecteurs à une échelle choisie et maîtriser les conventions graphiques.
• Composer et Décomposer : Déterminer graphiquement la résultante d’un système de forces et, inversement, décomposer une force selon des directions imposées.
• Analyser : Appliquer la méthode du polygone funiculaire pour déterminer les réactions d’appui d’une poutre isostatique soumise à divers types de chargements.
• Interpréter : Construire et interpréter le diagramme des moments fléchissants à partir du polygone funiculaire pour évaluer les sollicitations dans une poutre.

Modalités d’Évaluation

L’évaluation sera essentiellement pratique, basée sur la production d’épures graphiques. Chaque travail sera jugé sur la précision du dessin, la correction de la construction géométrique, le respect des échelles et la clarté de la présentation. Des interrogations régulières et des devoirs à domicile permettront de valider la maîtrise progressive des différentes méthodes. Un projet de synthèse final demandera l’analyse complète d’une poutre soumise à un chargement complexe, de la détermination des réactions au tracé du diagramme des moments. 📝

Partie I : Les Outils Fondamentaux de la Graphostatique

Cette partie introductive a pour but de doter l’élève de l’ensemble des outils conceptuels et graphiques de base. De la représentation vectorielle des forces à la composition de systèmes simples, chaque chapitre construit une fondation solide, indispensable avant d’aborder l’analyse de structures plus complexes comme les poutres.

Chapitre 1 : Le Langage Vectoriel et les Échelles

Avant toute construction, la maîtrise du langage de la graphostatique est impérative. Ce chapitre se consacre à la représentation des forces et à l’art fondamental de la mise à l’échelle.

1.1. Le Vecteur Force : Représentation et Caractéristiques

Toute action mécanique se modélise par un vecteur force. Ses caractéristiques (point d’application, direction, sens, intensité) et sa représentation graphique rigoureuse sont les premiers éléments à maîtriser.

1.2. Le Principe des Échelles (Longueurs et Forces)

La graphostatique repose sur une double mise à l’échelle : celle des longueurs de la structure et celle des intensités des forces. Le choix intelligent et la manipulation correcte de ces échelles conditionnent la réussite de toute l’épure.

1.3. La Précision du Tracé Graphique

Une solution graphique n’a de valeur que si elle est précise. Cette section insiste sur la qualité du tracé (finesse des lignes, précision des intersections) comme condition sine qua non de l’exactitude du résultat.

1.4. La Traduction Numérique des Résultats

Une épure aboutit à des longueurs de vecteurs. L’opération finale consiste toujours à traduire ces longueurs graphiques en valeurs numériques d’efforts ou de moments, par l’application inverse de l’échelle des forces.

Chapitre 2 : Composition des Forces Concourantes

L’opération la plus élémentaire de la statique consiste à trouver la force unique qui produit le même effet qu’un ensemble de forces agissant en un même point. Ce chapitre explore les méthodes graphiques pour y parvenir.

2.1. La Résultante de Deux Forces par le Parallélogramme

La méthode du parallélogramme des forces est la technique fondamentale pour composer deux forces concourantes. Sa construction géométrique et ses applications sont étudiées en détail.

2.2. La Résultante de Plusieurs Forces par le Polygone des Forces

Pour composer plus de deux forces, la construction de parallélogrammes successifs devient fastidieuse. La méthode plus élégante du polygone des forces, qui consiste à mettre les vecteurs bout à bout, est ici introduite.

2.3. Cas Particuliers : Forces Colinéaires et Perpendiculaires

L’analyse des cas particuliers où les forces sont colinéaires (même direction) ou perpendiculaires permet de consolider la compréhension et de vérifier rapidement la cohérence des constructions plus générales.

2.4. Application à l’Équilibre d’un Nœud de Structure

La composition des forces trouve une application directe dans la vérification de l’équilibre d’un nœud de treillis ou d’une articulation, où la résultante de toutes les forces doit être nulle.

Chapitre 3 : Décomposition d’une Force

Souvent plus utile en pratique que la composition, la décomposition permet de déterminer les effets d’une force donnée selon des directions spécifiques, par exemple pour trouver les efforts dans deux barres qui soutiennent une charge.

3.1. Le Principe de la Décomposition d’une Force

La décomposition est l’opération inverse de la composition. Elle consiste à trouver un système de forces (les composantes) dont la résultante est la force initiale.

3.2. Décomposition selon Deux Directions Quelconques

La construction graphique permettant de trouver les deux composantes d’une force selon deux directions données passant par son point d’application est une compétence clé, longuement exercée.

3.3. Applications : Tensions dans des Câbles et Barres

Cette méthode est appliquée à des cas concrets et parlants pour un technicien en construction, comme le calcul des tensions dans les brins d’une élingue ou dans les barres articulées d’une potence.

3.4. Le Rôle du Jugement Préalable et de la Visualisation

Le grand avantage de la graphostatique est sa nature visuelle. L’élève est encouragé à toujours esquisser mentalement la solution pour anticiper la direction et l’ordre de grandeur des composantes avant de commencer le tracé précis.

Partie II : L’Analyse des Poutres Isostatiques

Le cœur de la graphostatique appliquée à la construction réside dans l’analyse des poutres. Cette partie est entièrement consacrée à la méthode du polygone funiculaire, un outil graphique d’une puissance remarquable qui permet de déterminer à la fois les réactions d’appui et les moments fléchissants.

Chapitre 4 : La Résultante des Systèmes de Forces Quelconques

Avant d’analyser une poutre, il faut pouvoir déterminer la résultante d’un système de forces qui ne sont plus nécessairement concourantes. C’est le rôle de l’outil central de ce cours : le polygone funiculaire.

4.1. Le Polygone des Forces pour des Forces non Concourantes

La première étape reste la construction du polygone des forces, qui donne l’intensité et la direction de la résultante, mais pas sa position.

4.2. L’Invention du Polygone Funiculaire

Pour trouver la position de la résultante, un artifice graphique est introduit : le polygone funiculaire. Sa construction, par le choix d’un pôle et le tracé des rayons polaires, est expliquée pas à pas.

4.3. Détermination de la Résultante des Forces Verticales

La méthode est d’abord appliquée au cas simple de forces verticales parallèles (de même sens ou de sens contraires), typique des charges de plancher sur une poutre.

4.4. Détermination de la Résultante de Forces Quelconques

La méthode du funiculaire est ensuite généralisée au cas de forces quelconques dans le plan, permettant de trouver la ligne d’action de leur résultante.

Chapitre 5 : Détermination Graphique des Réactions d’Appui

Une fois la résultante des actions connue, le polygone funiculaire peut être utilisé de manière astucieuse pour trouver les réactions d’appui de la poutre, c’est-à-dire les forces que les appuis exercent sur la poutre pour la maintenir en équilibre.

5.1. Le Principe d’Équilibre et la Ligne de Fermeture

La condition d’équilibre se traduit graphiquement par la fermeture du polygone funiculaire. L’introduction du « côté de fermeture » est l’étape clé qui permet de « remonter » aux réactions d’appui.

5.2. Réactions pour des Charges Verticales

La détermination des réactions d’appui pour une poutre sur deux appuis simples soumise à une ou plusieurs charges verticales est le cas d’étude fondamental, longuement pratiqué.

5.3. Réactions pour des Charges Obliques

La méthode est étendue au cas de charges inclinées, comme la force du vent sur une poutre de toiture d’un bâtiment à Kisangani, ce qui demande une décomposition finale des réactions en composantes verticale et horizontale.

5.4. Le Cas des Charges Réparties

Pour traiter une charge uniformément répartie, celle-ci est d’abord discrétisée en une série de forces concentrées équivalentes, permettant d’appliquer les méthodes précédentes. Le funiculaire obtenu est alors une ligne brisée qui s’inscrit dans une parabole.

Chapitre 6 : Le Diagramme des Moments Fléchissants

L’une des propriétés les plus remarquables du polygone funiculaire est qu’il représente, à une échelle près, le diagramme des moments fléchissants dans la poutre, donnant ainsi une image directe des sollicitations internes.

6.1. Le Polygone Funiculaire comme Image des Moments

Il sera démontré que l’ordonnée verticale du polygone funiculaire en un point est directement proportionnelle au moment fléchissant en ce point.

6.2. L’Échelle des Moments Fléchissants

Pour passer de la lecture d’une longueur sur le dessin à une valeur de moment en kNm, il faut établir et utiliser une échelle des moments. Sa détermination dépend des échelles de longueurs, des forces et de la distance polaire.

6.3. Le Tracé du Diagramme pour des Charges Concentrées

L’élève s’exercera à tracer le diagramme des moments (qui est une ligne brisée) pour diverses configurations de charges ponctuelles.

6.4. Le Tracé du Diagramme pour des Charges Réparties

Pour les charges réparties, le diagramme des moments est une courbe (une parabole pour une charge uniforme). L’élève apprendra à la tracer comme l’enveloppe tangente au polygone funiculaire.

Chapitre 7 : L’Étude des Poutres à Porte-à-Faux

La méthode graphique se prête parfaitement à l’analyse de poutres plus complexes, comme les poutres avec porte-à-faux (consoles), très courantes dans la construction de balcons ou d’auvents.

7.1. Le Principe de la Poutre avec un Porte-à-Faux

L’analyse d’une poutre avec un seul porte-à-faux est le premier cas étudié. La construction du funiculaire et la détermination des réactions se font de manière similaire au cas de la poutre simple.

7.2. La Détermination des Réactions et des Moments

L’élève apprendra à identifier sur l’épure les zones de moments positifs (en travée) et de moments négatifs (sur l’appui, sous le porte-à-faux), une notion cruciale pour le futur cours de béton armé.

7.3. Le Cas de la Poutre avec Deux Porte-à-Faux

La méthode est ensuite étendue au cas de la poutre avec deux porte-à-faux symétriques ou non, comme une travée centrale d’un pont à Mbandaka supportant des trottoirs en encorbellement.

7.4. L’Interprétation des Diagrammes et la Vérification

Pour chaque cas, l’élève devra prendre l’habitude de vérifier la cohérence de ses résultats, par exemple en s’assurant que la somme des réactions est bien égale à la somme des charges appliquées.

Partie III : Applications Spécifiques et Synthèse

Cette dernière partie vise à appliquer les outils de la graphostatique à d’autres problèmes que l’analyse des poutres, comme la détermination du centre de gravité, et à consolider les acquis par une démarche de projet et de comparaison avec les méthodes analytiques.

Chapitre 8 : Le Centre de Gravité des Surfaces Planes

La méthode du polygone funiculaire, utilisée pour trouver la résultante de forces parallèles, peut être détournée de manière ingénieuse pour déterminer graphiquement la position du centre de gravité d’une surface quelconque.

8.1. Nécessité de la Détermination du Centre de Gravité

La position du centre de gravité d’une section est une donnée d’entrée indispensable pour les calculs de résistance des matériaux. Son importance est donc rappelée.

8.2. Le Centre de Gravité des Figures Simples

La position du centre de gravité pour les figures géométriques de base (rectangle, triangle, cercle) est rappelée, car elle sert de point de départ à l’analyse des formes complexes.

8.3. La Détermination Graphique par le Polygone Funiculaire

La méthode consiste à décomposer la surface complexe en surfaces simples, à appliquer le poids de chaque surface en son centre de gravité, puis à trouver la ligne d’action de la résultante de ces forces parallèles.

8.4. Application aux Sections Composites

La méthode sera appliquée à des sections courantes en construction, comme les profilés en T, en U ou en I, pour trouver la position de leur centre de gravité.

Chapitre 9 : Confrontation des Méthodes Graphique et Analytique

Comme le préconise le programme national, développer le jugement d’un technicien passe par la capacité à utiliser différents outils et à comparer leurs résultats pour en évaluer la pertinence et la précision.

9.1. La Résolution d’un Problème par les Deux Méthodes

Des exercices types (poutre simple, poutre en console) seront intégralement résolus en parallèle : une fois par la graphostatique, une fois par le calcul analytique des efforts et des moments.

9.2. L’Analyse Comparative des Résultats

Une fois les deux solutions obtenues, un travail critique de comparaison est mené. L’écart entre le résultat graphique et le résultat calculé est quantifié.

9.3. L’Identification des Sources d’Erreur

Cette comparaison permet de mettre en évidence les sources d’imprécision propres à chaque méthode : les erreurs de tracé pour la graphostatique, les erreurs de calcul pour la méthode analytique.

9.4. Le Développement du Sens Critique du Technicien

L’objectif final de cette démarche est de former un technicien qui ne se contente pas d’appliquer une méthode, mais qui est capable de choisir la plus appropriée, d’en connaître les limites et de toujours porter un regard critique sur ses propres résultats.

Chapitre 10 : Projet de Synthèse : Analyse d’une Poutre

Ce chapitre final est un projet intégrateur qui demande à l’élève de mobiliser toutes les compétences de l’année pour réaliser l’analyse graphostatique complète d’une poutre soumise à un chargement réaliste.

10.1. L’Analyse d’un Cas Concret

Le projet partira d’un cas concret, comme le plancher d’une maison d’habitation à Goma, pour lequel il faudra identifier une poutre, évaluer les charges qu’elle supporte (charges permanentes et d’exploitation) et modéliser le problème.

10.2. Le Choix des Échelles et la Préparation de l’Épure

L’élève devra faire preuve d’autonomie dans le choix des échelles de longueurs et de forces, en justifiant ses choix pour garantir une épure à la fois lisible et précise.

10.3. La Détermination Complète des Sollicitations

L’élève mènera l’analyse complète : construction des polygones des forces et funiculaire, détermination des réactions d’appui, tracé du diagramme des moments fléchissants, et identification des valeurs maximales.

10.4. La Rédaction d’une Note de Synthèse

Le travail se conclura par la rédaction d’une note de présentation des résultats, incluant l’épure graphique, le tableau des valeurs numériques et une brève analyse critique de la solution obtenue.

Annexes

Mémento des Constructions Géométriques

Des fiches rappelleront les constructions pas à pas pour les opérations graphiques récurrentes : polygone des forces, polygone funiculaire, détermination des réactions, etc. ⚙️

Catalogue de Cas de Charge pour les Poutres

Un recueil présentera les formes typiques des diagrammes de moments fléchissants pour les cas de chargement les plus courants (charge unique, charge répartie, etc.), servant de référence et d’outil d’auto-vérification.

Guide pour le Choix des Échelles

Une fiche méthodologique donnera des conseils pratiques pour choisir les échelles de manière optimale en fonction de la taille de la structure, de l’intensité des forces et du format de la feuille de dessin.

Exemple de Projet Complet

Un exemple entièrement traité de projet de synthèse sera fourni, de l’énoncé à la note finale, pour servir de modèle et de guide pour le travail personnel de l’élève. ✅