GRAPHOSTATIQUE

OPTION CONSTRUCTION – 3ÈME ANNÉE

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC.

Préliminaire

Objectifs du cours

Ce cours de troisième année a pour ambition de faire de l’élève un praticien expert de la graphostatique, capable d’analyser des structures isostatiques complexes telles que les poutres en console, les arcs et les systèmes en treillis. Dépassant l’étude des poutres simples, l’objectif est d’appliquer les méthodes graphiques à des cas de figure plus réalistes et de les utiliser comme un outil d’ingénierie à part entière. L’aboutissement de ce cursus est la réalisation d’une étude statique complète d’une petite structure, synthétisant l’ensemble des compétences acquises. 🏗️

Approche Pédagogique

Fondé sur la pratique intensive du dessin de haute précision, l’enseignement insistera sur la rigueur et le soin apportés à la réalisation des épures, dont la complexité croissante exigera une méthode de travail irréprochable. La démarche pédagogique s’articulera autour de la résolution de problèmes concrets, en encourageant l’autonomie de l’élève dans le choix des échelles et l’interprétation des résultats. Des devoirs à domicile réguliers et un projet final d’envergure permettront d’ancrer durablement les savoir-faire et de développer une réelle aisance dans la manipulation des concepts.

Compétences Visées

Au terme de cette année, l’élève détiendra les compétences suivantes :

• Analyser : Déterminer graphiquement les efforts (réactions, moments, efforts internes) dans des poutres isostatiques complexes, incluant les consoles et les arcs à trois articulations.
• Maîtriser : Appliquer avec rigueur et précision la méthode de l’équilibre des nœuds et l’épure de Cremona pour calculer les efforts de traction et de compression dans toutes les barres d’un treillis.
• Synthétiser : Mener l’étude graphostatique complète d’une ferme de charpente simple, depuis la modélisation des charges jusqu’à la présentation des résultats.
• Valider : Utiliser des méthodes de vérification, comme la méthode des coupes, pour contrôler la validité de ses constructions graphiques et développer un regard critique sur ses résultats.

Modalités d’Évaluation

L’évaluation sera centrée sur la production d’épures graphiques complexes et de dossiers de calcul. La notation portera sur la correction de la démarche, la précision du tracé, la clarté de la présentation et la justesse des résultats numériques qui en découlent. Un projet final consistant en l’étude complète d’une ferme métallique ou en bois constituera l’évaluation sommative principale, mesurant la capacité de l’élève à intégrer et à appliquer l’ensemble des méthodes vues durant l’année. 📊

Partie I : L’Analyse des Poutres Isostatiques Complexes

Cette première partie vise à consolider et à étendre les compétences de l’élève dans l’analyse des poutres. Après une révision approfondie des cas de base, l’étude s’élargit à des structures plus complexes comme les poutres en console, les systèmes à charges indirectes et les arcs, qui sont omniprésents dans les ouvrages de génie civil.

Chapitre 1 : Consolidation des Acquis sur les Poutres Simples

Avant d’aborder de nouvelles structures, une maîtrise parfaite de l’analyse des poutres sur deux appuis est indispensable. Ce chapitre est consacré à la révision et à l’approfondissement des méthodes vues l’année précédente.

1.1. Rappel de la Méthode du Polygone Funiculaire

Les principes de la construction du polygone des forces et du polygone funiculaire sont révisés en détail, en insistant sur le rôle de la ligne de fermeture pour la détermination des réactions.

1.2. Analyse de la Poutre sur Deux Appuis avec Charges Combinées

Des exercices récapitulatifs complexes sont traités, impliquant des combinaisons de charges ponctuelles et de charges uniformément réparties, pour développer une véritable aisance dans la méthode.

1.3. Étude Complète de la Poutre avec Un Porte-à-Faux

Le cas de la poutre avec une console est réexaminé en profondeur, en portant une attention particulière à l’interprétation du diagramme des moments et à la localisation du point de moment nul.

1.4. Cas de la Poutre à Deux Porte-à-Faux

L’analyse est étendue au cas de la poutre avec deux porte-à-faux, une configuration typique des travées de ponts routiers comme ceux qui enjambent les affluents du fleuve Congo.

Chapitre 2 : La Poutre Encastrée-Libre (Poutre en Console)

La poutre en console est un élément structural fondamental, utilisé pour la construction des balcons, des auvents ou des potences. Son analyse statique présente des spécificités importantes.

2.1. Le Principe de Fonctionnement de la Poutre en Console

Contrairement à la poutre sur appuis simples, la poutre en console est tenue par un seul encastrement, qui doit fournir à la fois une réaction de force et une réaction de moment pour assurer l’équilibre.

2.2. Détermination des Réactions d’Encastrement

La méthode graphique permettant de déterminer l’effort tranchant et le moment d’encastrement est développée, en se basant sur les propriétés du polygone funiculaire.

2.3. Tracé du Diagramme des Moments pour des Charges Simples

L’élève apprend à tracer le diagramme des moments fléchissants pour une console soumise à une charge ponctuelle en son extrémité ou à une charge uniformément répartie.

2.4. Analyse d’un Balcon en Console

Un cas d’étude concret, l’analyse d’un balcon d’un immeuble à Lubumbashi, permet de synthétiser les acquis du chapitre en modélisant les charges et en déterminant les sollicitations à l’encastrement.

Chapitre 3 : Les Systèmes de Charges Indirectes

Dans de nombreux cas, les charges ne sont pas appliquées directement sur les poutres principales, mais transmises par l’intermédiaire d’un système de poutres secondaires.

3.1. Le Principe de la Charge Indirecte

Le concept de charge indirecte est illustré par l’exemple classique d’un plancher où des solives reposent sur des poutres maîtresses. Les charges du plancher ne sont appliquées aux poutres maîtresses qu’aux points d’appui des solives.

3.2. La Détermination des Actions sur les Poutres Principales

La première étape de l’analyse consiste à étudier l’équilibre des poutres secondaires (les solives) pour déterminer les forces concentrées qu’elles transmettent aux poutres principales.

3.3. L’Analyse d’un Système Poutrelles-Longrines

L’étude complète d’un tel système est menée graphiquement, en déterminant d’abord les efforts dans les poutrelles, puis en utilisant ces résultats pour analyser les longrines.

3.4. Application au Plancher d’un Pont Simple

Cette méthode trouve une application directe dans l’étude des ponts, où le tablier transmet les charges aux traverses, qui elles-mêmes les transmettent aux poutres principales.

Chapitre 4 : L’Arc à Trois Articulations

L’arc est une forme structurale d’une grande efficacité, qui permet de franchir de grandes portées en travaillant principalement en compression. Le cas de l’arc isostatique à trois articulations est le plus simple à analyser.

4.1. Le Principe Statique de l’Arc à Trois Articulations

La présence de trois rotules (deux aux appuis et une à la clé) rend le système isostatique. Le principe de son fonctionnement, qui génère des poussées horizontales aux appuis, est expliqué.

4.2. La Détermination Graphique des Réactions d’Appui

Une méthode de construction graphique élégante, utilisant le fait que le moment fléchissant est nul à la rotule de clé, permet de déterminer la direction et l’intensité des réactions d’appui.

4.3. Le Tracé du Polygone Funiculaire et du Moment Fléchissant

Une fois les réactions connues, le polygone funiculaire de l’arc peut être tracé, permettant de visualiser le diagramme des moments fléchissants et de le comparer à celui d’une poutre de même portée.

4.4. L’Intérêt de la Forme Courbe pour la Reprise des Charges

L’analyse montre que dans un arc bien dessiné, les moments de flexion sont très faibles par rapport à une poutre droite, illustrant la pertinence de cette forme pour les grands ouvrages.

Partie II : L’Étude des Systèmes en Treillis

Cette partie est entièrement consacrée à l’analyse des structures en treillis, aussi appelées systèmes articulés. Ces structures, composées de barres assemblées en triangles, sont omniprésentes dans les charpentes, les ponts et les pylônes. Les méthodes graphiques s’avèrent particulièrement puissantes pour en déterminer les efforts internes.

Chapitre 5 : Introduction aux Treillis Isostatiques

Ce chapitre introductif définit ce qu’est un système en treillis et présente les hypothèses de calcul ainsi que les différentes typologies de poutres triangulées.

5.1. Définition et Typologie des Poutres en Treillis

Les poutres en treillis les plus courantes (Pratt, Warren, Howe) sont présentées, en analysant leur géométrie et leurs domaines d’application privilégiés, des fermes de toiture aux ponts métalliques comme celui de Matadi.

5.2. Les Hypothèses de Calcul des Treillis

L’analyse des treillis repose sur des hypothèses simplificatrices fortes : les nœuds sont considérés comme des articulations parfaites et les charges ne sont appliquées qu’aux nœuds.

5.3. La Condition d’Isostaticité des Treillis

Pour qu’un treillis soit analysable par les seules équations de la statique, il doit être isostatique. La formule reliant le nombre de barres et le nombre de nœuds pour vérifier cette condition est établie.

5.4. La Modélisation des Charges et des Appuis

La première étape de toute étude consiste à modéliser correctement les appuis (simples ou articulés) et à répartir les charges de surface (vent, neige) en forces concentrées appliquées aux nœuds.

Chapitre 6 : La Méthode de l’Équilibre des Nœuds

Cette méthode, fondamentale et intuitive, consiste à isoler chaque nœud du treillis et à écrire qu’il est en équilibre sous l’action des forces extérieures qui y sont appliquées et des efforts internes provenant des barres.

6.1. Le Principe de l’Isolation de Chaque Nœud

Chaque nœud est considéré comme un point matériel soumis à un système de forces concourantes. Pour qu’il soit en équilibre, la résultante de ces forces doit être nulle.

6.2. La Construction Graphique de l’Équilibre

Graphiquement, la condition d’équilibre se traduit par le fait que le polygone des forces agissant sur le nœud doit être un polygone fermé.

6.3. La Propagation de la Résolution de Nœud en Nœud

La méthode procède pas à pas : on commence par un nœud où seulement deux efforts sont inconnus, on les détermine, puis on passe à un nœud adjacent, et ainsi de suite jusqu’à la résolution complète du treillis.

6.4. La Distinction entre Traction et Compression

La construction graphique du polygone des forces permet de déterminer non seulement l’intensité de l’effort dans chaque barre, mais aussi sa nature (traction ou compression) par l’analyse du sens des vecteurs.

Chapitre 7 : La Méthode de Maxwell-Cremona

La méthode de Cremona est une application graphique brillante et systématique de la méthode de l’équilibre des nœuds. Elle permet de trouver tous les efforts dans un treillis par la construction d’une seule et unique épure.

7.1. Le Principe du Polygone Réciproque

La méthode de Cremona consiste à assembler tous les polygones des forces de chaque nœud en une seule figure. Cette figure globale est appelée l’épure de Cremona ou le polygone réciproque.

7.2. La Notation de Bow pour l’Identification

Pour éviter les erreurs, une méthode de notation systématique, dite de Bow, est utilisée. Elle consiste à nommer les régions du plan délimitées par les forces et les barres, plutôt que les barres et les nœuds eux-mêmes.

7.3. La Construction Pas à Pas de l’Épure de Cremona

La construction de l’épure de Cremona est un processus rigoureux qui commence par le tracé du polygone des forces extérieures, puis par la construction successive des polygones de chaque nœud.

7.4. L’Interprétation Directe des Efforts sur l’Épure

Une fois l’épure achevée, l’intensité de l’effort dans chaque barre est obtenue simplement en mesurant la longueur du segment correspondant dans l’épure de Cremona et en appliquant l’échelle des forces.

Chapitre 8 : La Méthode des Coupes (Ritter)

La méthode des coupes est une technique puissante qui permet de déterminer directement l’effort dans une barre donnée sans avoir à résoudre tout le treillis, ce qui est très utile pour des vérifications ponctuelles.

8.1. Le Principe de la Coupe Fictive à Travers le Treillis

La méthode consiste à réaliser une coupe imaginaire à travers le treillis, en ne coupant généralement pas plus de trois barres, pour l’isoler en deux tronçons.

8.2. L’Équilibre de la Section Isolée

Le tronçon isolé est en équilibre sous l’action des forces extérieures qui lui sont appliquées et des efforts internes dans les barres coupées.

8.3. Application Graphique et Analytique

Bien que souvent présentée de manière analytique (méthode de Ritter), le principe peut être appliqué graphiquement. En écrivant l’équilibre de rotation autour du point de concours de deux efforts inconnus, on peut isoler et déterminer le troisième.

8.4. L’Utilisation pour la Vérification Ponctuelle

La méthode des coupes est l’outil idéal pour vérifier rapidement l’effort dans les barres les plus sollicitées d’un treillis, déterminées au préalable par la méthode de Cremona, offrant ainsi une sécurité supplémentaire au concepteur.

Partie III : Le Projet de Synthèse

Cette dernière partie est l’aboutissement du cours. Elle consiste en l’étude complète d’une structure en treillis simple, de la modélisation à la présentation des résultats, permettant à l’élève de mobiliser et de synthétiser l’ensemble des compétences acquises durant l’année.

Chapitre 9 : Conception et Modélisation d’une Ferme Simple

La première phase du projet est celle de la conception, où il faut traduire un besoin fonctionnel en un modèle de calcul statique.

9.1. Le Cahier des Charges du Projet

Le projet partira d’un cahier des charges réaliste pour une petite charpente de hangar à Kananga, en spécifiant la portée à franchir, l’entraxe des fermes et les charges climatiques de la région.

9.2. Le Choix de la Géométrie de la Ferme

En fonction de la portée et de l’usage, l’élève devra choisir une géométrie de ferme appropriée (métallique ou en bois) et en justifier le dessin.

9.3. La Détermination des Charges Appliquées aux Nœuds

La phase de « descente de charges » consiste à évaluer le poids de la toiture, des pannes et les charges de vent, pour les transformer en un système de forces concentrées appliquées aux nœuds de la ferme.

9.4. La Modélisation des Appuis et des Conditions de Stabilité

La ferme sera modélisée sur ses appuis (un appui simple, un appui articulé) et sa stabilité d’ensemble, assurée par le contreventement, sera discutée.

Chapitre 10 : L’Analyse Statique Complète de la Ferme

Le cœur du projet est l’analyse statique, qui vise à déterminer l’ensemble des efforts dans la structure.

10.1. La Détermination des Réactions d’Appui

La première étape du calcul consiste à déterminer graphiquement, par la méthode du polygone funiculaire, les réactions d’appui de la ferme sous l’effet des charges.

10.2. Le Calcul de Tous les Efforts par la Méthode de Cremona

L’élève devra ensuite construire l’épure de Cremona complète de sa ferme, pour déterminer l’intensité et la nature (traction ou compression) de l’effort dans chaque barre.

10.3. La Présentation des Résultats dans un Tableau

Les résultats de l’analyse seront synthétisés de manière claire et professionnelle dans un tableau récapitulatif, indiquant pour chaque barre son repère, la valeur de l’effort et sa nature.

10.4. La Vérification par la Méthode des Coupes

Pour valider son épure de Cremona, l’élève devra utiliser la méthode des coupes pour recalculer, à titre de vérification, les efforts dans les trois barres les plus sollicitées.

Chapitre 11 : Introduction au Dimensionnement et aux Assemblages

L’analyse statique fournit les efforts. L’étape suivante, introduite ici, est le dimensionnement, qui consiste à donner à chaque barre des dimensions suffisantes pour résister à l’effort qu’elle subit.

11.1. Le Pré-dimensionnement des Barres

Sur la base des efforts calculés, et en utilisant des contraintes admissibles simples, l’élève réalisera un premier dimensionnement des sections des barres principales (tirants, arbalétriers).

11.2. L’Introduction à la Vérification au Flambage

Pour les barres comprimées, le risque d’instabilité par flambement est un phénomène majeur. Ce concept est introduit et des méthodes simples de vérification sont présentées.

11.3. Le Dessin de Principe des Assemblages aux Nœuds

La manière dont les barres sont connectées entre elles aux nœuds est cruciale. L’élève devra proposer et dessiner des assemblages de principe, par exemple à l’aide de goussets métalliques.

11.4. La Conception du Système de Contreventement

La stabilité de la charpente dans son ensemble repose sur le système de contreventement. Son rôle et son dessin de principe sont étudiés pour conclure la phase de conception.

Annexes

Catalogue de Formes de Treillis

Un recueil de fiches présentera les typologies de treillis les plus courantes, avec leurs noms, leurs schémas et leurs domaines d’application privilégiés. 🌐

Guide de Construction de l’Épure de Cremona

Une fiche méthodologique détaillée rappellera, étape par étape, la procédure de construction de l’épure de Cremona, en insistant sur les points de vigilance et les erreurs à éviter.

Exemple de Descente de Charges

Un exemple numérique complet de « descente de charges » pour une petite toiture sera fourni, pour guider l’élève dans la phase de modélisation de son projet.

Exemple de Projet de Synthèse Complet

Un exemple entièrement traité de projet d’étude de ferme, de l’énoncé à la note de présentation finale, servira de modèle et de référence pour le travail personnel de l’élève. ✅