COURS DE MATHÉMATIQUES, 4ÈME ANNÉE PRIMAIRE

Edition 2025 / Enseignement primaire, secondaire et technique en RDC

Préliminaires

0.1. Introduction Générale au Cours

Le programme de mathématiques de quatrième année primaire marque une transition cruciale, propulsant l’élève de la maîtrise des milliers vers celle des grands nombres jusqu’à 100 000. Cette année introduit systématiquement les nombres décimaux (jusqu’au millième) et approfondit les opérations sur les fractions. L’objectif est de consolider les quatre opérations de base sur des nombres plus complexes et de les appliquer à une gamme élargie de grandeurs (aires, angles, temps) et à des problèmes concrets à étapes multiples, posant ainsi les fondations de la pensée logique et de la résolution de problèmes.

0.2. Objectifs Pédagogiques du Degré Moyen

Conformément au programme national, ce cours vise à amener l’élève à traiter avec succès les situations qui lui demandent de compter, nommer, composer, lire et écrire les nombres jusqu’à 100 000, et en lettres jusqu’à 10 000. Il doit pouvoir effectuer mentalement et par écrit les opérations sur les nombres décimaux et les fractions. L’élève doit également estimer, mesurer et calculer des grandeurs (longueur, masse, capacité, temps, aire), identifier et construire des figures géométriques en calculant leur périmètre et leur aire, et résoudre des problèmes simples et complexes.

0.3. Compétences Visées à la fin de l’année

À l’issue de cette année, l’élève doit être capable de lire, écrire, comparer et décomposer n’importe quel nombre entier jusqu’à 100 000. Il saura maîtriser les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sur les nombres naturels et les nombres décimaux. Il pourra additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions simples. L’élève sera apte à calculer le périmètre et l’aire d’un carré et d’un rectangle, à mesurer un angle à l’aide d’un rapporteur, et à résoudre des problèmes concrets impliquant des notions commerciales (prix d’achat, vente, bénéfice) ou de mesure (masse brute, tare, vitesse moyenne).

0.4. Matériel Didactique Requis

La réussite de ce programme exige un matériel didactique varié. L’enseignant doit disposer d’un tableau de numération (incluant la partie décimale). Pour les élèves, l’usage des instruments de géométrie est indispensable : une règle graduée, une équerre, un compas et, pour la première fois de manière systématique, un rapporteur pour la mesure des angles. Des balances (type Roberval) avec des masses marquées, des mètres-rubans, des horloges (cadrans) et de la monnaie (fictive ou réelle) sont essentiels pour les leçons sur les grandeurs.

PARTIE 1. NUMÉRATION ET FONDEMENTS DES OPÉRATIONS

Cette première partie établit les fondations de l’année en étendant l’univers numérique de l’élève. Elle se concentre sur la maîtrise des nombres entiers jusqu’à 100 000, en insistant sur la compréhension de la valeur de position. Elle introduit ensuite de manière formelle les deux grands ensembles de nombres non-entiers : les fractions et les nombres décimaux. L’objectif est de s’assurer que l’élève peut lire, écrire, comparer et décomposer tous ces types de nombres avant d’y appliquer des calculs complexes.

CHAPITRE 1. L’UNIVERS DES NOMBRES ENTIERS JUSQU’À 100 000

Ce chapitre vise à développer une aisance totale dans la manipulation des nombres à cinq chiffres. L’élève apprend à les compter, les lire, les écrire et à comprendre la structure qui les régit, notamment la différence fondamentale entre la valeur absolue d’un chiffre et sa valeur relative déterminée par sa position.

1.1. Comptage, Lecture et Écriture des Nombres

🔢 L’élève apprend à étendre la chaîne numérique jusqu’à 100 000. L’accent est mis sur la lecture correcte, en respectant les classes (ex: lire « vingt-cinq-mille-trois-cents » et non « deux-cinq-trois-zéro-zéro »). Des exercices de comptage en ordre croissant et décroissant sont pratiqués, ainsi que le comptage par bonds (par groupes de 100, 1000, ou 250), ce qui prépare au calcul mental et à la compréhension des grands écarts numériques, utile pour appréhender les distances entre des villes comme Kinshasa et Matadi.

1.2. Valeur Absolue et Valeur Relative des Chiffres

Ce module crucial enseigne la structure positionnelle de notre système numérique. L’élève apprend que la valeur absolue d’un chiffre est sa valeur propre (ex: dans 52 500, le « 5 » a une valeur absolue de 5), tandis que sa valeur relative dépend de sa position (le premier « 5 » vaut 50 000, le second vaut 500). L’utilisation du tableau de numération (Unités, Dizaines, Centaines, Unités de Mille, Dizaines de Mille) est systématique pour visualiser ces différences.

1.3. Écriture des Nombres Entiers en Lettres (jusqu’à 1 000)

L’élève consolide sa capacité à transcrire les nombres en lettres, une compétence requise pour la rédaction de chèques ou de documents officiels. Le programme de 4ème année fixe l’objectif de maîtrise jusqu’à 1 000. L’enseignant insiste sur les règles orthographiques complexes : l’accord de « cent » (deux cents, mais deux cent un), le trait d’union (vingt-et-un), et la graphie des nombres comme « mille » (invariable).

1.4. Comparaison et Rangement des Nombres Entiers

📈 En utilisant les symboles =, > (plus grand que), < (plus petit que), l’élève apprend à comparer des nombres jusqu’à 100 000. La méthode consiste à comparer d’abord le nombre de chiffres, puis, s’ils sont égaux, à comparer les chiffres de gauche à droite (en commençant par les dizaines de mille). Cette compétence est appliquée au rangement de listes de nombres en ordre croissant (du plus petit au plus grand) et décroissant.

CHAPITRE 2. DÉCOUVERTE DES NOMBRES DÉCIMAUX ET DES FRACTIONS

Ce chapitre ouvre un nouvel univers mathématique : les nombres non-entiers. L’élève apprend à représenter, lire et écrire les fractions, puis découvre le lien direct entre les fractions décimales (sur 10, 100, 1000) et les nombres à virgule, en se familiarisant avec les dixièmes, centièmes et millièmes.

2.1. Identification et Représentation des Fractions

L’élève apprend à conceptualiser une fraction comme une partie d’une unité (d’un gâteau, d’une feuille de papier, d’une quantité). Il étudie le vocabulaire spécifique : le numérateur (combien de parts on prend) et le dénominateur (en combien de parts l’unité est coupée). Il s’exerce à représenter graphiquement des fractions (sur un disque, une bandelette ou une droite numérique) et à lire ces représentations.

2.2. Vocabulaire des Écritures Fractionnaires

L’élève apprend à classifier les différentes formes de fractions. Il identifie une unité fractionnaire (où le numérateur est 1, ex: 1/4), une fraction ordinaire (ex: 3/4), et une expression fractionnaire (où la fraction est supérieure à 1, ex: 5/4). Il apprend à décomposer une expression fractionnaire en une partie entière et une partie fractionnaire (ex: 5/4 = 1 + 1/4).

2.3. Des Fractions Décimales aux Nombres Décimaux

Ce module établit le pont conceptuel entre les fractions et les nombres à virgule. L’élève découvre que les fractions dont le dénominateur est 10, 100, ou 1 000 (fractions décimales) peuvent s’écrire plus simplement. Il apprend que 1/10 (un dixième) s’écrit 0,1 ; 1/100 (un centième) s’écrit 0,01 ; et 1/1000 (un millième) s’écrit 0,001.

2.4. Lecture, Écriture et Rôle de la Virgule (jusqu’au millième)

L’élève apprend la fonction de la virgule : elle sépare la partie entière (à gauche) de la partie décimale (à droite). Il s’entraîne à placer les nombres décimaux dans un tableau de numération étendu (Partie Entière | Virgule | Dixièmes | Centièmes | Millièmes). Il apprend à lire correctement (ex: 3,025 se lit « trois unités et vingt-cinq millièmes ») et à écrire les nombres décimaux en lettres.

CHAPITRE 3. OPÉRATIONS FONDAMENTALES : MAÎTRISE ET PROPRIÉTÉS

Ce chapitre se concentre sur la maîtrise technique des quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) appliquées aux grands nombres entiers. Il introduit également les propriétés de ces opérations et les stratégies de calcul mental pour développer la rapidité et la flexibilité.

3.1. Composition et Décomposition (Additive et Multiplicative)

L’élève approfondit sa compréhension de la structure des nombres en les décomposant. Il pratique la décomposition additive (ex: 12 400 = 10 000 + 2 000 + 400) et la décomposition multiplicative (ex: 12 400 = 1×10000 + 2×1000 + 4×100). Cette compétence est essentielle pour comprendre le fonctionnement des multiplications complexes et pour le calcul mental.

3.2. Propriétés des Opérations (Commutativité, Associativité)

L’élève découvre les « règles » qui facilitent le calcul. Il apprend la commutativité de l’addition et de la multiplication (on peut changer l’ordre des termes, 2+8 = 8+2). Il découvre l’associativité (on peut regrouper les termes différemment, (2+3)+7 = 2+(3+7)). Il comprend que la soustraction et la division n’ont pas ces propriétés.

3.3. Procédés de Calcul Rapide (Groupement, Décomposition)

Fort des propriétés, l’élève développe des stratégies de calcul mental. Pour calculer 25 + 18 + 75, il apprend à regrouper 25 et 75 (qui font 100) avant d’ajouter 18. Pour multiplier par 99, il apprend à multiplier par 100 puis à soustraire le nombre une fois. Ces techniques visent à simplifier les calculs et à développer l’agilité d’esprit.

3.4. Complément d’un Nombre et Arrondi

Deux compétences pratiques sont développées. L’élève apprend à trouver le complément d’un nombre (ex: le complément de 70 à 100 est 30). Il apprend également à arrondir un nombre à la dizaine, à la centaine ou au millier le plus proche (ex: 4 890 est arrondi à 5 000), une compétence essentielle pour l’estimation de l’ordre de grandeur avant d’effectuer une opération.

PARTIE 2. APPLICATION DES OPÉRATIONS ET MAÎTRISE DES GRANDEURS

Cette deuxième partie applique les compétences de calcul aux nouveaux ensembles de nombres (décimaux et fractions) et au vaste domaine des grandeurs. L’élève apprend non seulement à calculer avec des nombres abstraits, mais aussi à manipuler des unités concrètes de mesure (mètres, litres, grammes, francs, heures), à les convertir et à résoudre des situations réelles impliquant ces mesures.

CHAPITRE 4. OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS

Ce chapitre étend la maîtrise des quatre opérations aux nombres non-entiers. L’élève doit surmonter la difficulté conceptuelle de la virgule dans les calculs et apprendre les algorithmes spécifiques aux opérations sur les fractions.

4.1. Addition et Soustraction des Nombres Décimaux

L’élève apprend la règle fondamentale pour additionner ou soustraire des nombres décimaux : l’alignement vertical des virgules. Cette technique assure que l’on additionne ou soustrait les chiffres de même valeur positionnelle (les dixièmes avec les dixièmes, les centaines avec les centaines). L’élève apprend à gérer les « trous » en ajoutant des zéros (ex: 12,5 + 3,025 devient 12,500 + 3,025).

4.2. Multiplication et Division des Nombres Décimaux

La multiplication des décimaux est enseignée en deux temps : effectuer la multiplication comme avec des entiers, puis placer la virgule dans le résultat final en comptant le nombre total de chiffres après la virgule dans les facteurs. La division est également abordée, y compris la division rapide par 0,1, 0,01 et 0,001 (qui revient à multiplier par 10, 100 ou 1000).

4.3. Comparaison et Opérations sur les Fractions (Même Dénominateur)

L’élève apprend à comparer deux fractions (laquelle est la plus grande ?). Il commence par le cas le plus simple : l’addition et la soustraction de fractions ayant le même dénominateur. Il découvre la règle : on additionne ou soustrait uniquement les numérateurs, et on conserve le dénominateur commun (ex: 2/7 + 3/7 = 5/7).

4.4. Multiplication et Division des Fractions (Introduction)

L’élève est initié aux opérations plus complexes sur les fractions. Il apprend la règle de la multiplication (multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux). La division de fractions est également introduite (multiplier par l’inverse), permettant à l’élève de résoudre des problèmes de partage plus complexes.

CHAPITRE 5. LE SYSTÈME MÉTRIQUE : LONGUEUR, CAPACITÉ ET MASSE

Ce chapitre ancre les mathématiques dans le réel en se concentrant sur les mesures physiques. L’élève approfondit sa connaissance du système métrique, en maîtrisant les conversions entre les unités de longueur, de capacité et de masse, et en apprenant à les additionner ou les soustraire.

5.1. Mesures de Longueur : Opérations et Conversions

📏 L’élève explore toute la gamme des unités de longueur, du millimètre (mm) au kilomètre (km). Il utilise systématiquement le tableau de conversion pour transformer une mesure d’une unité à l’autre (ex: convertir 1,5 km en mètres). Il apprend également à effectuer des opérations sur des mesures complexes (ex: 2 m 50 cm + 1 m 80 cm).

5.2. Mesures de Capacité : Opérations et Conversions

L’élève étudie les unités de mesure des liquides, avec le litre (L) comme unité centrale. Il manipule les multiples (hectolitre, décalitre) et les sous-multiples (décilitre, centilitre) en utilisant le tableau de conversion. Des problèmes concrets sont posés (ex: combien de bouteilles de 75 cl peut-on remplir avec un bidon de 15 L ?).

5.3. Mesures de Masse : Opérations et Conversions

⚖️ L’élève travaille avec les unités de masse, du milligramme (mg) à la tonne (T) et au quintal (q), en passant par le kilogramme (kg). Il apprend à utiliser une balance pour des pesées réelles et s’exerce aux conversions dans le tableau. Cette compétence est cruciale pour le commerce, par exemple pour calculer la masse d’un sac de manioc à Boma ou d’un lot de minerais au Katanga.

5.4. Masse Brute, Masse Nette et Tare

Ce module introduit un vocabulaire commercial et industriel essentiel. L’élève apprend à différencier :

• Masse Nette (MN) : Le poids de la marchandise seule (ex: le riz).
• Tare (T) : Le poids de l’emballage (ex: le sac vide).
• Masse Brute (MB) : Le poids total (marchandise + emballage). Il maîtrise la relation : MB = MN + T.

CHAPITRE 6. MESURES DIVERSES : AIRE, TEMPS, MONNAIE ET ANGLES

Ce chapitre complète l’étude des grandeurs en abordant des concepts plus abstraits. L’élève découvre la mesure de la surface (l’aire), se perfectionne dans la mesure du temps (base 60), manipule la monnaie nationale dans des situations de la vie courante et, grande nouveauté, apprend à mesurer les angles.

6.1. Mesures d’Aire (m², dm², cm²)

L’élève passe de la mesure de la longueur (1 dimension) à la mesure de l’aire ou surface (2 dimensions). Il découvre les unités carrées : le mètre carré (m²), le décimètre carré (dm²) et le centimètre carré (cm²). Il apprend la règle spécifique de conversion pour les aires : chaque unité occupe deux colonnes dans le tableau de conversion.

6.2. Mesures du Temps : Opérations et Conversions

⏳ L’élève approfondit sa maîtrise du temps en intégrant les secondes (s). Il révise les relations (1h = 60 min, 1 min = 60 s) et s’exerce à des opérations (additions, soustractions) sur des durées, en gérant le système en base 60 (les « retenues » ne se font pas à 10, mais à 60). Il perfectionne sa lecture de l’heure sur une horloge à aiguilles.

6.3. La Monnaie Nationale : Opérations et Échanges

L’élève applique ses compétences en calcul décimal à la monnaie nationale (Franc Congolais, FC). Il résout des problèmes concrets d’achat et de vente, en calculant des totaux, en déterminant le prix de plusieurs articles (multiplication) ou le prix d’un seul (division). Une compétence clé est le rendu de la monnaie (soustraction).

6.4. Mesure des Angles : Le Degré et le Rapporteur

📐 C’est une innovation majeure de la 4ème année. L’élève découvre l’angle comme une « ouverture » et apprend que son unité de mesure est le degré (°). Il est initié à l’utilisation du rapporteur, l’instrument qui permet de mesurer l’amplitude (la « taille ») d’un angle donné en degrés (ex: mesurer qu’un angle fait 45° ou 110°).

PARTIE 3. GÉOMÉTRIE, GRANDEURS APPLIQUÉES ET RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

Cette dernière partie est celle de la synthèse et de l’application. L’élève mobilise toutes les connaissances acquises en numération, opérations et grandeurs pour explorer le monde de la géométrie et résoudre des problèmes complexes tirés de la vie courale. L’accent est mis sur la construction précise de figures, le calcul de leurs mesures (périmètre et aire) et la méthodologie rigoureuse de la résolution de problèmes.

CHAPITRE 7. PROPRIÉTÉS ET CONSTRUCTION DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Ce chapitre est consacré à l’étude détaillée des figures planes. L’élève ne se contente plus de les reconnaître, il doit les décrire, connaître leurs propriétés spécifiques (diagonales, médianes) et être capable de les construire avec précision à l’aide d’instruments.

7.1. Identification et Description des Figures

L’élève révise et décrit avec précision les figures géométriques planes : le carré (4 côtés égaux, 4 angles droits), le rectangle (côtés opposés égaux, 4 angles droits), le triangle (3 côtés), le losange (4 côtés égaux) et le parallélogramme (côtés opposés parallèles). Il apprend ce vocabulaire par des exercices de pliage, de découpage et de coloriage.

7.2. Dimensions et Propriétés (Diagonales, Médianes, Hauteurs)

L’élève explore les « secrets » de chaque figure. Il apprend à tracer et à identifier leurs dimensions spécifiques : les côtés, la hauteur (d’un triangle ou d’un parallélogramme), les diagonales (qui relient les sommets opposés) et les médianes. Il compare les propriétés (ex: les diagonales du losange sont perpendiculaires, celles du rectangle ne le sont pas).

7.3. Classification des Angles

Faisant le lien avec le chapitre 6, l’élève apprend à classifier les angles selon leur mesure en degrés. Il identifie : l’angle nul (0°), l’angle aigu (entre 0° et 90°), l’angle droit (exactement 90°), l’angle obtus (entre 90° et 180°), l’angle plat (exactement 180°) et l’angle plein (360°).

7.4. Construction de Figures et de Droites

✏️ L’élève passe de l’observation à l’action. En utilisant son jeu d’instruments (règle, équerre, compas, rapporteur), il apprend à construire méticuleusement les figures étudiées (ex: construire un rectangle de 8 cm sur 5 cm). Il apprend également à tracer des droites parallèles et des droites perpendiculaires avec l’équerre, une compétence fondamentale en géométrie.

CHAPITRE 8. PÉRIMÈTRES, AIRES ET TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES

Ce chapitre applique le calcul aux figures géométriques. L’élève apprend à calculer le « tour » (périmètre) et la « surface » (aire) des figures usuelles. Il est également initié aux transformations géométriques simples, qui sont la base de la géométrie dynamique.

8.1. Calcul du Périmètre des Figures Étudiées

L’élève apprend à calculer le périmètre (la longueur du contour) des polygones. Il découvre et applique les formules : Périmètre du carré = côté x 4 ; Périmètre du rectangle = (Longueur + largeur) x 2. Il comprend que pour les autres figures (triangle, losange, parallélogramme), il suffit d’additionner la longueur de tous les côtés.

8.2. Calcul de l’Aire des Figures Étudiées

En lien avec les mesures d’aire (m²), l’élève apprend à calculer la surface intérieure d’une figure. En 4ème année, l’accent est mis sur les formules de base : Aire du carré = côté x côté ; Aire du rectangle = Longueur x largeur. Il résout des problèmes concrets (ex: calculer l’aire d’un champ rectangulaire).

8.3. La Symétrie Axiale : Construction et Axes

L’élève explore la symétrie. Il apprend à construire l’image symétrique d’une figure par rapport à une droite (l’axe de symétrie), en utilisant le pliage ou le quadrillage. Il apprend également à identifier les axes de symétrie dans les figures usuelles (le carré en a 4, le rectangle en a 2, le losange en a 2).

8.4. La Translation : Construction sur Quadrillage

L’élève découvre une deuxième transformation : la translation. Il apprend qu’une translation est un « glissement » de la figure sans la tourner. Sur un papier quadrillé, il s’exerce à translater une figure en suivant un déplacement précis (ex: « 3 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le bas »).

CHAPITRE 9. MÉTHODOLOGIE ET APPLICATION DE LA RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

Ce dernier chapitre est l’aboutissement de tout le programme de l’année. L’élève apprend à mobiliser l’ensemble de ses connaissances (nombres, opérations, grandeurs, géométrie) pour résoudre des problèmes complexes et concrets, en suivant une démarche structurée.

9.1. Méthodologie de Résolution de Problèmes

📋 L’élève apprend une méthode de travail rigoureuse pour aborder tout problème. Cette démarche se décompose en plusieurs étapes :

1. Lire et comprendre l’énoncé (identifier la situation).
2. Identifier les données (trier les informations utiles et inutiles).
3. Poser la question (que cherche-t-on ?).
4. Choisir la méthode et les opérations (planifier la solution).
5. Effectuer les calculs.
6. Rédiger la phrase-réponse et vérifier la vraisemblance du résultat.

9.2. Problèmes Commerciaux (Prix, Bénéfice, Perte)

L’élève applique la méthodologie à des situations d’achat et de vente. Il résout des problèmes impliquant le Prix d’Achat (PA), le Prix de Vente (PV), le Bénéfice (PV > PA) et la Perte (PV < PA). Il apprend aussi à calculer le Prix de Revient (PR), qui inclut le prix d’achat plus les frais (transport, douane), un cas fréquent à Kasumbalesa.

9.3. Problèmes de Partage et de Moyenne Arithmétique

Ce module se concentre sur deux types de problèmes. D’abord, les problèmes de partage en parts égales (division simple) ou en parts multiples (divisions combinées). Ensuite, le calcul de la moyenne arithmétique (ex: calculer la moyenne des points d’un élève, la production moyenne d’un champ sur plusieurs années).

9.4. Problèmes de Mouvement (Vitesse, Distance)

🏃 L’élève est initié aux problèmes de mouvement simple. Il apprend la relation entre la vitesse moyenne, la distance parcourue et le temps du trajet. L’accent est mis sur le calcul de la distance parcourue (Distance = Vitesse x Temps), en s’assurant que les unités sont compatibles (ex: un camion roule à 60 km/h pendant 3 heures).

Annexes

Annexe 1. Tableaux de Numération et de Conversion

Cette annexe fournit les outils visuels essentiels à photocopier :

• Le tableau de numération (Classe des Mille, Classe des Unités) incluant la partie décimale (dixièmes, centièmes, millièmes).
• Les tableaux de conversion pour les longueurs (km à mm), les capacités (hl à cl), les masses (T à mg) et les aires (m², dm², cm²).

Annexe 2. Formulaire des Périmètres et des Aires

Une fiche mémo récapitulant les formules à mémoriser :

• Périmètre (Carré): P = c x 4
• Périmètre (Rectangle): P = (L + l) x 2
• Aire (Carré): A = c x c
• Aire (Rectangle): A = L x l

Annexe 3. Glossaire des Termes Mathématiques (4ème Année)

Un lexique définissant de manière simple les nouveaux termes introduits cette année : Numérateur, Dénominateur, Fraction décimale, Nombre décimal, Virgule, Tare, Masse Brute, Masse Nette, Aire, Périmètre, Angle (aigu, obtus, droit), Rapporteur, Symétrie, Translation, Vitesse moyenne, Bénéfice.